Анализ и синтез замкнутой линейной системы автоматического регулирования САР

2.3 Исследование системы на устойчивость по критерию Найквиста.

 

Критерий Найквиста  базируется на частотные характеристиках  разомкнутой цепи система автоматического  регулирования и даёт правила, согласно которым по виду АФХ разомкнутой  системы можно судить об устойчивости системы.

Характеристический полином первого звена:

 

Вещественный корень:

.

Характеристический полином второго звена:

 

имеет два комплексных  корня:

.

Характеристический полином третего звена:

 

Вещественный корень:

Разомкнутая система  неустойчивая. Характеристический полином  такой системы имеет корни  с положительной вещественной частью, остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

 

Записываем передаточную функцию разомкнутой АСР.

 

Записываем передаточную функцию разомкнутой АСР.

 

 

Определим частотную передаточную функцию всей системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выделили действительную и мнимую части:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2 – Расчет АФЧХ разомкнутой системы.

w	-100	-90	-80	-70	-60	-50	-40	-30
U	-2,0026	-2,00395	-2,00627	-2,01058	-2,01927	-2,03887	-2,09036	-2,25873
V	-0,0141	-0,01921	-0,0271	-0,03991	-0,06209	-0,10378	-0,19094	-0,40051

 

 

Рисунок 5 – АФЧХ разомкнутой  системы.

Вывод: Система не устойчива, дуга охватывает точку с координатами -1,j0

 

2.4 Определение устойчивости по  логарифмическим частотным характеристикам

 

Для определения устойчивости замкнутой системы по логарифмическим  частотным характеристикам разомкнутой  системы необходимо выполнить следующие операции:

 

1. Представить структурную схему разомкнутой системы.
2. Записать передаточную функцию разомкнутой системы.
3. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ в соответствии с алгоритмами для построения этих характеристик. Строим логарифмические характеристики звеньев, а затем их геометрически складывают. Частоту w_i , при которой пересекаются отрезки прямых (асимптоты), называют сопрягающей.
4. По ЛАЧХ и ЛФЧХ выяснить устойчивость замкнутой АСР. Для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180⁰ при положительных значениях ЛАЧХ было чётным.

 

 

Определили передаточную функцию  разомкнутой системы:

 

 

Найдем коэффициент  демпфирования для звена  по формуле

 

 

Подставив численные  значения, получим . Заметим, что , следовательно, звено апериодическое второго порядка. Следовательно, это звено можно представить как последовательное соединение двух инерционных звеньев.

 

Применив формулу для нахождения частот, получим

 

 

Подставив, численные значения, найдем .

 

Рассчитаем параметры для построения ЛФЧХ разомкнутой системы, путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

 

Для апериодического  звена  и ЛФЧХ вычисляется по формуле:

 

 

 

Для апериодического звена второго порядка ЛФЧХ при

 

 

Значения результирующей ЛФЧХ найдем как

 

 

Таблица 3 – Расчет фазовой  частотной характеристики

Частота, w	Звено 1		Звено 2		Звено 3
	wT		wT		wT
0	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	-180,00	-180,00
5	2,50	-68,20	0,33	-18,00	1,30	-98,36	-184,56
10	5,00	-78,69	0,65	-33,02	2,60	-121,49	-233,20
15	7,50	-82,41	0,98	-44,27	3,90	-135,21	-261,89
20	10,00	-84,29	1,30	-52,43	5,20	-144,15	-280,88
25	12,50	-85,43	1,63	-58,39	6,50	-150,31	-294,13
30	15,00	-86,19	1,95	-62,85	7,80	-154,75	-303,79
35	17,50	-86,73	2,28	-66,27	9,11	-158,08	-311,08
40	20,00	-87,14	2,60	-68,96	10,41	-160,65	-316,75
45	22,50	-87,46	2,93	-71,13	11,71	-162,70	-321,28
50	25,00	-87,71	3,25	-72,90	13,01	-164,36	-324,97
55	27,50	-87,92	3,58	-74,37	14,31	-165,74	-328,03
60	30,00	-88,09	3,90	-75,62	15,61	-166,89	-330,60
65	32,50	-88,24	4,23	-76,68	16,91	-167,88	-332,80
70	35,00	-88,36	4,55	-77,60	18,21	-168,72	-334,69
75	37,50	-88,47	4,88	-78,41	19,51	-169,46	-336,34
80	40,00	-88,57	5,20	-79,11	20,81	-170,11	-337,79
85	42,50	-88,65	5,53	-79,74	22,11	-170,68	-339,08
90	45,00	-88,73	5,85	-80,30	23,41	-171,20	-340,22
95	47,50	-88,79	6,18	-80,80	24,71	-171,65	-341,25
100	50,00	-88,85	6,50	-81,25	26,02	-172,07	-342,17

 

Вывод: ЛФЧХ совершает один отрицательный переход при положительных значениях ЛАЧХ, следовательно, замкнутая система не устойчива.

 

Рисунок 6 – Логарифмическая ЛАЧХ характеристика разомкнутой системы.

 

Рисунок 7 – Логарифмическая  ЛФЧХ характеристика разомкнутой системы.

 

2.5 Синтез линейной автоматической  системы регулирования по логарифмическим  частотным характеристикам.

 

Синтез АСР есть выбор ее структуры и параметров такими, чтобы удовлетворялись определенные заданные требования к качеству регулирования. Если система не обеспечивает заданное качество регулирования, а тем более неустойчива, то необходимо ввести дополнительные специальные звенья, корректирующие переходный процесс, называемые корректирующими устройствами.

 

Сущность метода заключается в  следующем. Сначала строят асимптотическую  ЛАЧХ исходной системы  . Затем на том же рисунке строят желаемую ЛАЧХ разомкнутой системы .

Разность:

 

 

Есть ЛАЧХ дополнительного элемента, который нужно ввести в систему, чтобы она имела необходимые  свойства.

 

 

 

2.6 Построение желаемой  ЛАЧХ.

 

 

Желаемую ЛАЧХ условно  разделяют на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

Низкочастотная часть определяет статическую точность системы - точность в установившемся режиме. Требования к системе в установившемся режиме не оговариваются, поэтому низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ должна совпадать с низкочастотной асимптотой исходной системы .

Высокочастотная часть  желаемой ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Она должна иметь такой же наклон, что и высокочастотная часть , поэтому либо совпадает, либо параллельна ей.

Среднечастотная асимптота  определяет устойчивость, запас устойчивости, быстродействие системы. Ее параметрами являются частота среза , наклон, выражаемый в децибелах на декаду и диапазон частот.

Частоту среза , запасы устойчивости по модулю и по фазе  выбирают по заданным значениям максимального перерегулирования и времени регулирования . в соответствии с номограммами.

 

Выбираем  , , .

Выбираем частоту среза согласно формуле

 

 

Подставляя численные значения, получим 

Отмечают ее на оси частот на том  же рисунке, где изображена ЛАЧХ исходной системы. Через точку проведем прямую линию с наклоном .

На оси ординат отметим точки  с координатами , через которые проведем пунктиром горизонтальные прямые до пересечения их с линией .

Частоты, которым соответствуют  точки пересечения прямых определяют нижнюю и верхнюю границы среднечастотного диапазона (это и ).

Отметим, что  ,

Среднечастотную асимптоту  желаемой ЛАЧХ сопрягаем с низкочастотной. Сопряжение осуществляем асимптотами с наклоном –40 дБ/дек для того чтобы характеристика возможно меньше отличалась от и корректирующее устройство было возможно более простым.

Сопряжение среднечастотной  асимптоты с высокочастотной  осуществляется асимптотой с наклоном –40 дБ/дек.

 

 

 

2.7 Построение ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства

Построим ЛАЧХ последовательного  корректирующего устройства путем графического вычитания ЛАЧХ исходной системы из желаемой ЛАЧХ

 

 

 

 

2.8 Проверка запаса устойчивости по фазе скорректированной системы.

 

Проверяем запас устойчивости по фазе для желаемой ЛАЧХ.

Для этого сначала  получим выражение для фазовой  частотной характеристики ФЧХ системы по виду желаемой ЛАЧХ.

Фиксируем частоты излома желаемой ЛАЧХ:

, , ,

Постоянные времени  найдем по формулам

 

 

Расчет фазовой частотной характеристики системы:

 

Запас устойчивости:

Условие запаса устойчивости не выполняется для частот и , т.к.

 

 

Проверим выполнение данного условия на частоте среза .

Подставив численные  значения, получим  , условие выполняется.

Вывод: данный метод использует приближённые значения, то данные запасы устойчивости принимаем и вопрос о коррекции, желаемой ЛАЧХ, решаем на основе оценки качества системы.

 

 

 

2.9 Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы

 

Звенья, которые входят в скорректированную систему, определяем, как и при составлении фазовой  частотной характеристики, по изменению наклона ЛАЧХ.

 

 

2.10 Передаточная функция корректирующего устройства.

 

По ЛАЧХ последовательного  корректирующего устройства составляем его передаточную функцию таким  же способом, как для разомкнутой системы.

Передаточная функция  последовательного корректирующего  устройства имеет вид

 

 

Исходя из ранее найденных  значений отметим частоты излома ЛАЧХ корректирующего устройства:

 

 

Для частот излома найдем соответствующие им постоянные времени корректирующего устройства по формуле

 

 

Подставив численные  значения, получим

 

 

По найденным значениям  получим окончательный вид передаточной функции корректирующего устройства

 

 

Рисунок 8 - Построение желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего устройства.

 

 

3 Расчет переходного процесса  в скорректированной системе.

 

 

В данном разделе проверяется  качество скорректированной системы, поскольку построение желаемой ЛАЧХ основано на определенных допущениях. С этой целью строится переходная характеристика замкнутой системы, и определяются показатели ее качества. Расчет выполнен частотным методом. Частотный метод, использующий вещественные частотные характеристики замкнутой системы, называют методом трапеций.

 

 

3.1 Метод трапеций.

 

 

Этот метод основан  на уравнении, связывающем переходный процесс устойчивой САР, с ее вещественной частотной характеристикой, полученной при подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия.

Для этого необходимо построить вещественную частотную характеристику замкнутой системы.

 

 

 

Рисунок 8 – Вещественная частотная характеристика замкнутой  системы

 

Рассчитываем переходные процессы отдельно для каждой трапеции.

 

 

Рисунок 9 – Разбиение на трапеции.

 

 

 

 

Определим параметры  трапеций.