Методика расчета неопределенности измерения массовой доли веществ удаляемых при прокаливании

Суммарная стандартная неопределенность – стандартная неопределенность результата измерения, когда результат  получают из значений ряда других величин, равная положительному квадратному  корню суммы  членов,  причем  члены  являются  дисперсиями  или  ковариациями  этих других величин,  взвешенными в  соответствии  с  тем, как  результат  измерения  изменяется  в зависимости от изменения этих величин.

Расширенная неопределенность – величина,  определяющая  интервал  вокруг  результата  измерения,  в  пределах которого,  можно  ожидать,  находится  большая  часть  распределения  значений, которые  с  достаточным  основанием  могли  быть  приписаны  измеряемой величине.

Обычно результат измерений  является только аппроксимацией или  оценкой значения измеряемой величины и, таким образом, он будет полным, только, когда оцененное значение измеряемой величины сопровождается значением  неопределенности. Весь процесс оценивания значения некоторой измеряемой величины и неизбежно сопровождающую ее неопределенность, можно представить в виде следующих  этапов:

1. описание процесса измерения и составление его модели;
2. оценивание значений и стандартных отклонений входных величин;
3. анализ корреляций;

4. составление бюджета  неопределенности;

5. расчет результата измерения;

6. расчет суммарной стандартной  неопределенности;

7. расчет расширенной  неопределенности;

8. представление конечного,  результата измерения.

 

 

 

 

 

 

 

2.2  Оценивание  неопределенностей

Любой процесс измерения  можно представить в виде последовательности выполнения операций. Поэтому для  описания измеряемой величины и выявления  источников неопределенности целесообразно  представить цепь преобразования измеряемой величины в виде схемы, отображающей последовательность процесса измерения. 

                                X₁                             X₂

                           Z₁                          W₁        

                                                                                            

                                     U₁                         F₂                                      Y

                                                   U₂                            

                                                                          F₁

                                              X₃                    X_n                                                              

 

Рис.2.1

 

Модель измерения –  это функциональная зависимость, которая  связывает измеряемую величину Y с другими величинами X.

,

где X1, X2, X3,… Xn – входные величины; Y – выходная величина

В свою очередь Х может  зависить от других физических величин:

      и т. д.

С целью обобщения источников неопределенности измеряемую величину и выявленные источники неопределенности целесообразно представить на диаграмме  «причина - следствие» (рис.2.1).

Источниками неопределенности могут быть пробоотбор, условия хранения, аппаратурные эффекты, чистота реактивов, условия измерений, влияние пробы, вычислительные и случайные эффекты, влияние оператора.

То есть количественное описание неопределенностей, возникающих от различных источников. Это можно  сделать двумя путями:

- оцениванием неопределенности, возникающей от каждого отдельного  источника с последующим суммированием  составляющих;

- непосредственным определением  суммарного вклада в неопределенность  от некоторых или всех источников  с использованием данных об  эффективности метода в целом.

Показатели эффективности  метода устанавливают в процессе его разработки и межлабораторных  или внутрилабораторных исследований. К показателям эффективности относятся правильность, характеризуемая смещением, и прецизионность, характеризуемая повторяемостью, воспроизводимостью и промежуточной прецизионностью.

Оценки эффективности  могут включать не все факторы, поэтому  влияние любых оставшихся следует  оценить отдельно и затем просуммировать. Для каждой входной величины необходимо определить оценку и стандартную  неопределенность. При этом все входные  величины вследствие того, что их значения не могут быть точно известны, являются случайными непрерывными. Тогда оценками входных величин (x1, х₂,..., х_n), обозначаемых малыми буквами, являются их математические ожидания, а стандартными неопределенностями u(хi,) входных величин - стандартные отклонения. Оценку входных величин хi, и связанную с ней стандартную неопределенность получают из закона распределения вероятностей входной величины /2,4/.

Оценивание неопределенности от каждого источника возможно двумя  способами: по типу А (путем статистического анализа ряда наблюдений) и по типу В (иным способом, чем статистический анализ ряда наблюдений).

Исходными данными для  оценивания стандартной неопределенности по типу А являются результаты многократных измерении xi1,…,xin; i=1,…,n. На основании полученных результатов рассчитывается среднее арифметическое по формуле (2.1), которое является оценкой входной величины Хi.

                                                                           (2.1)

Стандартная неопределенность, связанная с оценкой  , является экспериментальным стандартным отклонением среднего значения и равна положительному квадратному корню из экспериментальной дисперсии среднего значения.

Стандартная неопределенность u(хi,) вычисляется по формуле:

                                            (2.2)

для результата измерения хi = , вычисленного как среднее арифметическое.

Исходными данными для  оценивания стандартной неопределенности по типу В является следующая априорная информация:

- данные предшествовавших  измерений величин, входящих в  уравнение измерения;

- сведения о виде распределения  вероятностей;

- данные, основанные на  опыте исследователя или общих  знаниях о поведении и свойствах  соответствующих приборов и материалов;

- неопределенности констант  и справочных данных;

- данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о приборе  и др.

Если оценка хi берется из спецификации изготовителя, свидетельства о поверке, справочника или другого источника, то неопределенность обычно дается как интервал ±а отклонения входной величины от ее оценки. Имеющуюся информацию о величинах хi, необходимо правильно описать с помощью функции распределения вероятностей. Для определения стандартной неопределенности входных величин необходимо воспользоваться законом распределения вероятностей. При этом чаще всего используют следующие основные распределения:

- равномерное. Об измеряемой величине известно только, что ее значение наверняка лежит в определенной области и что каждое значение между границами этой области с одинаковой вероятностью может приниматься в расчет; сертификат или другой документ дает пределы без определения уровня доверия (например, 25мл ±0,05 мл); оценка получена в форме максимальных значений (±а) с неизвестной формой распределения

                                                        2а(=±а)

                  ½ а

 

    

 

                                                                                    Х

                                                                             (2.3)

- треугольное. Доступная информация относительно значений величины менее ограничена, чем для прямоугольного распределения. Значения возле среднего значения более вероятны, чем у границ; оценка получена в форме максимальных значений диапазона (±а), описанного симметричным распределением вероятностей; когда величина является суммой или разностью двух величин, распределение вероятностей значений которых описывается прямоугольным законом с одинаковыми диапазонами

                                                                  2а(=±а)

 

                                     ½ а

 

 

                                                                       Х

 

                                                                            (2.4)

- нормальное (Гаусса). Оценка получена из повторных наблюдений случайно изменяющегося процесса

 

 

 

 

 

 

 

                                                                             (2.5)

Неопределенность дана в  форме:

- стандартного отклонения  наблюдений

                                                                             (2.6)

- относительного стандартного  отклонения S/

                                                     (2.7)

-   коэффициента дисперсии СV% без установления вида распределения

                                                      (2.8)

Неопределенность дается в форме 95%-го или другого интервала доверия Q без указания вида распределения

                                                          (2.9)

Анализ корреляции

Две входные величины могут  быть независимы или связаны между  собой (коррелированны). В концепции неопределенности имеется в виду корреляция «логическая», а не математическая. Например, может существовать значительная корреляция между двумя входными величинами, если при их определении используют один и тот же измерительный прибор, физический эталон или справочные данные, имеющие значительную стандартную неопределенность.

Мерой взаимной корреляции двух случайных величин является ковариация. Если две входные величины Хi и Xj являются коррелированными, т. е. зависимыми друг от друга, то при оценивании суммарной стандартной неопределенности должна учитываться их ковариация u(xi,xj), которая оценивается по следующей формуле:

, при  ,                         (2.10)

где и(xi) u(xj) - стандартные неопределенности; r(xi,xj) -. – коэффициент корреляции.

Для расчета коэффициента корреляции используются согласованные  пары измерений (xik,xjk); к = 1,…, п.

.                                  (2.11)

 

Расчет оценки выходной величины

Оценка выходной величины y является результатом измерения. Эту оценку получают из уравнения связи, заменяя входные величины Хi их оценками xi:

                                                          (2.12)

Расчет стандартной неопределенности выходной величины

Стандартная неопределенность выходной величины Y представляет собой стандартное отклонение оценки выходной величины или результата измерения и характеризует разброс значений, которые могут быть с достаточным основанием приписаны измеряемой величине. Определяется суммированием стандартной неопределенности входных величин u(xi) и является суммарной, или комбинированной, стандартной неопределенностью, обозначаемой и_с(у).

Применяемый для суммирования метод в терминах концепции неопределенности называется распределение неопределенностей, или корнем из суммы квадратов.

В случае некоррелированных  входных величин суммарная стандартная  неопределенность рассчитывается по формуле:

 

,                                             (2.13)

где - частная производная функции f по аргументу xi; u(xi) - стандартная неопределенность, оцениваемая по типу А или В.

- коэффициент чувствительности.

Если функциональная зависимость  – сумма либо разность, то суммарную  стандартную неопределенность рассчитывают по формуле:

                                                       (2.14)

Если функциональная зависимость  – произведение или частное, то стандартная  неопределенность рассчитывается по формуле:

                                                (2.15)

 

Расчет расширенной неопределенности

Расширенную неопределенность U получают путем умножения стандартной неопределенности выходной величины иc(y) на коэффициент охвата k U=k* иc(y). При выборе значения коэффициента охвата следует учитывать: