Моделирование и модели

Кроме контролируемых факторов в любом процессе наличествует бесчисленное множество факторов неконтролируемых, причем мы можем даже не знать о их существовании. Почему так может быть? Во-первых, мы иногда не знаем, что данный фактор заметно влияет на наш процесс. В таких случаях приходится говорить, что процесс недостаточно изучен, и зачастую без дальнейших исследований его нельзя реализовать. Но есть и иная причина, действующая даже тогда, когда процесс изучен хорошо. В любом реальном случае имеется огромное, практически бесконечное число очень слабых воздействий. Каждое из них нет смысла контролировать, потому что оно слабое. Все — нельзя потому, что их слишком много. В то же время совокупное действие этого множества уже не мало, оно заметно влияет на функционирование системы.

Это влияние обладает одной важной особенностью. Не контролируя входы, мы не можем знать, каково оно в данный момент и каким окажется впоследствии. Поэтому воздействие неконтролируемых факторов носит случайный характер. При измерениях оно выражается в случайных погрешностях, в эксперименте — в случайных ошибках, при протекании любого процесса — в случайных возмущениях.

Случайные неконтролируемые воздействия могут не только приходить извне, но и возникать внутри системы. Однако чаще всего нет смысла подробно разбираться, откуда они исходят: случайные колебания, случайные отклонения в процессе целесообразно рассматривать как нечто единое. Часто это единое обозначают термином шум.

 

5 Условия моделирования

При организации моделирования  возникают важнейшие вопросы: какие условия обеспечат традукцию и какова возможность распространения полученных данных на поведение оригинала? Эти условия различны в физическом и математическом моделировании.

Традуктивность при  физическом моделировании обеспечивается подобием оригинала и модели. Теория подобия — важнейшая часть теоретического фундамента науки о процессах и аппаратах химической технологии и подробно рассматривается в соответствующих курсах [1]. Очень коротко можно сказать так: если два объекта (две системы) физически подобны друг другу, то процесс в каждом из этих объектов может быть описан набором безразмерных характеристик — чисел подобия, и в соответствующих точках обоих объектов числа подобия имеют равные значения. При этом те же самые числа играют роль критериев подобия — признаков, по которым можно установить, что подобие существует. А именно: если краевые и начальные условия процесса, выраженные через числа подобия, для одной системы — количественно такие же, как для другой, то процессы в обеих системах протекают подобным образом, системы все время остаются подобными друг другу. Набор необходимых критериев подобия определяют либо исходя из дифференциальных уравнений, описывающих процесс, либо основываясь на анализе размерностей.

Метод подобия оказался высокоэффективным при моделировании гидромеханических процессов (течение жидкостей в каналах, фильтрация через пористые среды, движение морских и воздушных судов), процессов переноса тепла и вещества. Значительные трудности возникли при попытках моделировать на основе подобия хими ческие процессы — процессы, основным содержанием которых являются химические превращения (реакции). Многолетний анализ этих трудностей показал, что во многих случаях они непреодолимы. Дело в том, что при изменении размеров объекта (масштабировании) разные критерии подобия могут предъявлять противоречащие друг другу требования к условиям проведения процесса в модели.

Подобие процессов течения  при взаимодействии потока с поверхностью какого-либо тела (обтекание препятствий, течение в каналах) определяется критерием Рейнольдса Re, а подобие течения жидкости со свободной поверхностью — критерием Фруда Fr :

где w — линейная скорость течения; L — размер; g — ускорение силы тяжести; V— коэффициент кинематической вязкости.

Рассмотрим достаточно распространенный случай, когда в процессе течения существенны оба критерия. Будем считать, что при моделировании нецелесообразно идти на экзотические приемы — изменение в несколько раз g и к Тогда при размерах модели в п раз меньших, чем размеры оригинала, для равенства критерия Рейнольдса в оригинале и модели потребуется увеличить скорость течения в и раз, а для равенства критерия Фруда — уменьшить скорость в п^1/2 раз. Одновременное соблюдение обоих условий возможно только при п= 1, когда модель равна по размерам оригиналу.

В примере подобие определяется лишь двумя критериями (и еще, разумеется, геометрическим подобием). Но большинство химических процессов — это системы, подсистемами которых является целый ряд процессов, каждый из которых требует своих условий подобия. Очень часто реакция — сложная, и каждая из ее стадий посвоему зависит от концентраций и температуры; на ход реакции сильно влияют выделение (или поглощение) и перенос тепла, перенос вещества, движение потоков. Лишь в некоторых достаточно простых случаях удается сформулировать условия проведения процесса так, что масштабирование оказывается возможным. Чаще всего так бывает при проведении достаточно медленных реакций в аппаратах с мешалками. В большинстве остальных случаев добиться подобия при масштабировании не удается.

Действительно, сопоставим протекание химической реакции в геометрически подобных оригинале и модели при следующих условиях: в реакторе проводится экзотермическая реакция, выделяющееся тепло отводится с наружной поверхности, причем концентрации и температура в рассматриваемом отрезке реактора одинаковы для оригинала и модели (различия в этих параметрах по-разному влияют на разные стадии реакции, а чтобы не нарушалось подобие, они должны быть одинаковыми).

Количество выделяющегося  в единицу времени тепла в этих условиях пропорционально объему, в котором идет реакция, количество отводимого тепла — поверхности теплообмена. Соотношение между отводом и выделением тепла определяется отношением поверхности к объему—удельной поверхностью. Поверхности подобных фигур пропорциональны квадратам их размеров, а объемы — кубам размеров. Поделив квадрат размера на куб, увидим, что удельная поверхность обратно пропорциональна размеру тела. У оригинала большого размера она намного меньше, чем у маленькой модели. При проведении процесса в модели одна из главных наших забот будет заключаться в том, чтобы не потерять слишком много тепла с большой удельной поверхности, не переохладить реакционную смесь. А в оригинале мы будем озабочены тем, чтобы не перегреть реактор: малой удельной поверхности не хватит для отвода большого количества выделившего тепла.

Связь удельной поверхности  с размером играет большую роль в  природе. Теплокровные животные не могут  быть слишком маленькими, иначе их удельная поверхность окажется столь велика, что никакой пищи не хватит для восполнения потерь тепла в окружающую среду. Поэтому в разных классах и отрядах таких животных самые мелкие представители (карликовые землеройки, карликовые летучие мыши, мыши-малютки, колибри) имеют близкие размеры — массу около 5 г и некоторые общие черты: густой пух для снижения теплоотдачи, а также большую прожорливость. Колибри поедает в день нектар цветов — высококалорийный сахарный сироп — в количестве, равном 1 /3 массы ее тела.

А если тело очень велико, то его малая удельная поверхность сильно ограничивает мощность отдаваемой энергии. Температура поверхности Солнца — около 6000 К, а температура человеческого тела — около 300 К. Мощность излучения с единицы поверхности пропорциональна Т⁴, т.е. каждый квадратный сантиметр поверхности светила излучает приблизительно в 160000 раз большую мощность, чем квадратный сантиметр поверхности нашего тела. Но если рассчитать удельную мощность обоих нагревателей — мощность, отнесенную к единице массы, — то окажется, что по этому показателю мы раз в 5 превосходим нашу звезду. Каждый килограмм нашего тела вырабатывает в 5 раз большую тепловую мощность, чем килограмм вещества Солнца. Так что к расхожему штампу журналистов о «чудовищной мощи термоядерных реакций, бушующих в недрах Солнца», можно относиться критически.

Сложности, связанные  с нарушением подобия при масштабировании, явились причиной того, что в середине прошлого века моделирование химических процессов находилось в глубоком кризи д из него се. Выхонашелся — это математическое моделирование, где трудности, сопряженные с обеспечением подобия, снимаются. Здесь есть лишь одно главное требование: математическое описание моделируемой системы должно быть адекватным. Необходимо, чтобы все основные количественные закономерности достаточно точно воспроизводились в математической модели, остальное — уже дело вычислительных методов и вычислительной техники. А первое и самое главное — хорошо составленное математическое описание.

Эффективность математического моделирования связана с замечательной особенностью многих систем — аналогией между ними. Аналогия — понятие, более широкое, чем подобие, о котором шла речь выше. Это определенное сходство между разными системами, причем физическое содержание этих систем может очень различаться. Важнейшее для практики свойство аналогичных систем — общность их математических описаний. Разные системы оказываются одинаково описанными, и их математическое моделирование осуществляется однообразно. В этом проявляется замечательная особенность математики — быть универсальной моделью, моделью любых систем.

 

 

Заключение

Математическое моделирование  — удивительно интересный научный метод, дающий уникальную возможность исключительно быстро и экономично «проиграть» на компьютере множество предполагаемых вариантов реализации процесса, что чрезвычайно расширяет кругозор инженера. Это проявляется особенно ярко, когда математическое моделирование приводит к неожиданным выводам. Хорошая математическая модель содержит в скрытом виде очень много информации об оригинале, в том числе и такой, о которой не подозревает автор модели.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

1 Общий курс процессов и аппаратов химической технологии: В 2 кн. / Под ред. В.Г. Айнштейна. — Изд. 2-е. — М.: Логос, 2006. — 1758 с.

2 Кутепов A.M., Бондарева Т.И., Беренгартен М.Г. Общая химическая технология. — Изд. 3-е. — М.: Академкнига, 2007. — 528 с.

3 Гартман Т.Н., Клушин Д.В. Основы компьютерного моделирования химико-технологических процессов. — М.: Академкнига, 2006. — 416 с.