Погрешности результатов измерений, испытаний и контроля при автоматизации: источники погрешностей, расчет погрешностей, нормируемые метр

Характеристики  измеряемого сигнала задаются в  виде функции от времени или функции  спектральной плотности. Для случайного входного сигнала задается спектральная плотность мощности или автокорреляционная функция. Во многих случаях для оценки погрешности бывает достаточно знания скорости нарастания входного сигнала.[7]

3.2  Методы суммирования погрешностей

 

Перед суммированием  все погрешности делятся на следующие  группы:

- систематические и случайные;

- в группе случайных - коррелированные и некоррелированные;

- аддитивные и мультипликативные;

- основные и дополнительные.

Такое деление  необходимо потому, что систематические  и случайные погрешности, а также  коррелированные и некоррелированные  суммируются по-разному, а аддитивные погрешности нельзя складывать с мультипликативными.

Если некоторые  погрешности указаны в виде доверительных  интервалов, то перед суммированием  их нужно представить в виде среднеквадратических отклонений.[7]

Дополнительные  погрешности могут складываться с основными либо перед суммированием погрешностей, либо на заключительном этапе, в зависимости от поставленной задачи. Второй вариант часто предпочтительнее, поскольку он позволяет оценивать погрешность всего измерительного канала в зависимости от величины внешних влияющих факторов в конкретных условиях эксплуатации.

При последовательном соединении нескольких средств измерений  погрешности, проходя через измерительный  канал с передаточной функцией (функцией преобразования)   могут усиливаться или ослабляться. Для учета этого эффекта используют коэффициенты влияния, которые определяются по формуле(1).

                      (1)

 

Где f(x) - функцией преобразования

 Все погрешности  перед суммированием приводят  к выходу (или входу) измерительного  канала путем умножения (деления) на коэффициент влияния. В дальнейшем будем предполагать, что такое приведение уже выполнено.

Погрешности средств  измерений являются случайными величинами, поэтому при их суммировании в  общем случае необходимо учитывать  соответствующие законы распределения. На практике пользуются более грубыми упрощенными методами, разработанными математической статистикой.[7]

Математическое ожидание погрешностей средств измерений, как  правило, равно нулю. Если это не так, то его (в виде поправки) складывают с систематической составляющей погрешности. В средствах автоматизации введение поправки выполняется автоматически с помощью микроконтроллера, входящего в состав средств измерений. Математическое ожидание случайной составляющей всегда равно нулю, поскольку при нормировании метрологических характеристик его относят к систематической составляющей.

Наиболее полное определение  итоговой погрешности измерительного канала состояло бы в нахождении функции  распределения суммы нескольких погрешностей измерения. Однако функция распределения суммы случайных величин находится с помощью операции свертки, что приводит к значительным практическим трудностям. Поэтому для оценки итоговой погрешности ограничиваются только суммированием дисперсий погрешностей.

Погрешности суммируют по однородным группам, затем находят общую погрешность, используя  геометрическое суммирование для случайных погрешностей и алгебраическое для детерминированных.[6]

Существует  три способа суммирования погрешностей:

1. Алгебраический, формула (2):

(2)

(4.100)

где   - номер погрешности,   - их количество.

2. Геометрический, формула (3):

(3)

(4.101)

где   - среднеквадратическое значение  -той погрешности;

3. с учетом корреляции, формула (4):

(4)

(4.102)

В этой формуле (4)   потому, что члены с   уже учтены в сумме  , а   для того, чтобы суммировать только члены, лежащие ниже диагонали корреляционной матрицы, поскольку вследствие ее симметричности  + = .

При   выражение (формула (4)) переходит в формулу алгебраического суммирования (5):

(5)

(4.103)

где   складывается со своим знаком, т.е. коррелированные погрешности с противоположными знаками частично взаимно компенсируются, если их коэффициент корреляции равен единице.

При   погрешности вычитают попарно, в соответствии с формулой (6):

 

(6)

(4.104)

т.е. при отрицательной корреляции погрешности частично компенсируются, если они имеют один и тот же знак.

Учитывая, что  получить удовлетворительные оценки коэффициентов  корреляции практически довольно трудно, используют следующий прием: при   считают, что  , при   полагают   [3].

 3.3 Расчет систематических погрешностей

 

В наиболее типовом  случае систематические составляющие основных погрешностей средств измерений суммируются геометрически, поскольку они являются случайными величинами.

Если комплекс метрологических характеристик средств измерений включает предел допускаемых значений систематической составляющей основной погрешности   без указания среднеквадратического значения [ГОСТ 8.009-84] то соответствующую ему среднеквадратическое значение находят, в соответствии с рекомендациями РД 50-453-84 , по формуле (7)

(7)

(4.105)

Эта формула  справедлива, если нет оснований  полагать, что функция распределения данной погрешности является несимметричной и имеет несколько максимумов.

Метрологическая инструкция МИ 2232-2000 рекомендует иную формулу - половину предела допускаемой погрешности.

Выбор способа  суммирования систематических составляющих основных погрешностей не является однозначным и это связано с отсутствием полной информации о законе распределения. Дело в том, что причиной существования основной погрешности является как технологический разброс параметров электронных компонентов, так и нескомпенсированная нелинейность. Технологический разброс обычно является случайным и на этом основании систематическая составляющая погрешности может рассматриваться как случайная величина на множестве средств измерений одного и того же типа. Поэтому в формулах для расчета погрешностей она учитывается геометрически.

Однако нелинейность передаточной характеристики средства измерений (нелинейность аналого-цифровых преобразователей, нормирующих усилителей, термопар) у всех экземпляров приборов одного типа будет иметь примерно один и тот же вид, величину и знак. Например, погрешность, вызванная нелинейностью, в начале шкалы может быть положительной, в середине шкалы – отрицательной, у верхнего предела шкалы - опять положительной, и так для всех экземпляров приборов одного типа. Поэтому погрешности, обусловленные нелинейностью, должны суммироваться алгебраически.[7]

В современных  модулях аналогового ввода используется автоматическая калибровка, позволяющая  уменьшить случайную компоненту систематической погрешности и  в этом случае преобладающей является детерминированная погрешность нелинейности.

Поскольку ГОСТ 8.009-84 не предусматривает нормирование таких тонких нюансов поведения погрешностей, выбор способа суммирования начинает зависеть не от технических, а от политических факторов. Если фактическая погрешность окажется выше расчетной и это повлечет за собой угрозу жизни людей, большой экономический ущерб, техногенную катастрофу и т. п. [МИ 2232-2000], то суммирование погрешностей выполняют алгебраически, причем используют не среднеквадратические отклонения, а пределы допустимых значений погрешности.

Если известен знак систематической погрешности, то его учитывают при суммировании.

Для наиболее ответственных  применений следует использовать средства измерений, для которых указаны  погрешность без разделения на случайную и систематическую компоненты, поскольку в этом случае погрешность указана с доверительной вероятностью, равной единице. Если же используются средства измерений, для которых указана случайная составляющая, то для них рассчитывают величину погрешности при доверительной вероятности, равной единице. Это условие существенно завышает требования к точности средства измерений.

Алгебраическое  суммирование часто дает слишком  завышенную оценку погрешности. Поэтому  МИ 2232-2000 предусматривает промежуточный  вариант между формулами геометрического и алгебраического суммирования, формула (8):

(8)

где   - поправочный коэффициент, равный 1,2 для наиболее важных параметров устройств аварийной защиты и блокировки, контроля за соблюдением требований техники безопасности и экологической безопасности, контроля характеристик готовой продукции [МИ 2232-2000].

Для конкретных экземпляров приборов могут быть указаны не номинальные характеристики (имеющие одну и ту же величину для всех приборов данного типа), а индивидуальные. В этом случае систематическая погрешность является не случайной, а детерминированной величиной, поэтому должна учитываться в итоговой погрешности измерительного канала алгебраически.

3.4 Случайные  погрешности при автоматизации

 

Случайные составляющие основной погрешности средств измерений  по ГОСТ 8.009 задаются своими среднеквадратическими  отклонениями, поэтому их суммирование выполняется непосредственно по формуле геометрического суммирования.[8]

Если случайная  погрешность является коррелированным  случайным процессом и задана в виде функции автокорреляции   или спектральной плотности мощности  , то сначала находят среднеквадратическое значение случайной составляющей погрешности по формуле (9):

(9)

где   - верхняя граничная частота полосы пропускания всего измерительного канала или цифрового фильтра, используемого при обработке полученных данных.

Случайная составляющая погрешности может быть уменьшена  в несколько раз (в зависимости  от величины фликкер-шума) путем усреднения результатов многократных измерений.

3.5 Дополнительные погрешности при автоматизации

 

Дополнительные  погрешности задаются в виде функции  влияния внешних факторов (температуры, влажности, напряжения питания) на основную погрешность измерения или, в  случае линейной функции влияния, коэффициентом  влияния. Например, может быть задано, что основная погрешность увеличивается на +0,05% при изменении напряжения питания на +20%.

Если задан  диапазон изменения влияющих величин, в качестве их математического ожидания для расчетов с помощью функции  влияния берут их среднее значение [РД 50-453-84].

Среднеквадратическое  отклонение дополнительной погрешности  для линейной функции влияния  находят по формуле (10)

(10)

где   - коэффициент влияния внешнего фактора;   - нижняя и верхняя граница изменения влияющей величины.

Дополнительная  погрешность может увеличивать  как систематическую, так и случайную  составляющую основной погрешности. Для  этого функции влияния задаются раздельно на каждую составляющую.[8]

Если известно, что дополнительные погрешности  нескольких средств измерений коррелируют (например, синхронно возрастают при  увеличении напряжения питания в  сети или температуры окружающей среды), то такие погрешности суммируют  как коррелированные величины, с учетом коэффициента корреляции.

Дополнительные  погрешности считаются несущественными, если их сумма составляет менее 17% от наибольшего возможного значения инструментальной погрешности в рабочих условиях эксплуатации [ГОСТ 8.009-84].