Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования «СибАДИ»

 

Специальность « Строительство  уникальных зданий и сооружений»

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА Д-8

Применение общего уравнения  динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

По дисциплине « Теоретическая  механика»

 

Вариант №8

 

       Проверил:

                                                         Лукин А.М. _______________________            

                                      (подпись, дата)

                       Разработал студент:

                                             Карева Е.А группа СУЗ-11П1

_______________________            

                                      (подпись, дата)

 

 

 

 

 

 

 

 

Омск 2012

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

1

 

 Разраб.

Авдонин Д.В.

 Провер.

Лукин А.М.

 Т. Контр.

 

 Н. Контр.

 

 Утверд.

 

 

Лит.

Листов

5

 

 Реценз.

 

 

Масса

Масштаб

 

 

1 : 1

Условие задачи.

Для заданной механической системы (рис. 1) определить ускорение  груза 1 при его опускании.

Рис.1

 

 

 

 

 

Дано: P = 10G; G₁ = G; G₂ = 2G; G₃ = 3G;    G₄ = 4G; f = 0,1; α = 45^°; r₂ = r; R₂ = 2∙r м; r₃ = r; R₃ = 2∙r м, где G₁, G₂, G₃, G₄ – вес соответствующих тел механической системы; P – внешняя сила, f – коэффициент трения скольжения тела 1 при его движении по шероховатой поверхности; α, R₂, R₃, r₂, r₃ – геометрические параметры. Механическая система начинает движение из состояния покоя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Механическая система  имеет одну степень свободы. Примем за обобщенную координату q координату S_C1 тела 1

 

.

 

 

                                                          Рис.2

Для определения силы F_tr1 трения рассмотрим поступательное движение груза 1 (рис. 3) в инерциальной системе отсчета O₁Y₁X₁. Используя известные положения динамики, примем груз 1 за материальную точку.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

3

 

Рис.3

    На рис. 3 использованы условные обозначения: N₁ – нормальная реакция шероховатой поверхности; V_С1, a_С1 – соответственно скорость и ускорение центра масс тела 1.

Составим дифференциальное уравнение поступательного движения тела 1.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

4

m₁∙Ÿ_С1 = – G₁∙cosα + N₁,

где Ÿ_С1 – проекция ускорения a_С1 на координатную ось O₁Y₁.

Так как Ÿ_С1 = 0, то получим

N = G₁ ∙cosα.

Тогда имеем

F_tr1 = f∙N₁ = f∙G₁∙cosα = f∙G∙cosα.

Таким образом, сила трения F_tr1 определена.

Вернемся к рис. 2. Зададим возможное перемещение δS_C1 центру масс тела 1. При этом тело 2 получит возможное угловое перемещение δφ₂ = δS_C1/R₂. В точке А, принадлежащей телу 2, перемещение равно δS_А = δS_С1, в точке В оно будет равно

δS_В = δS_С1∙(r₂/R₂) = δS_С1∙(r/2∙r) = 0,5∙δS_С1.

          Так как точки В и С принадлежат одному барабану с малым радиусом, то

δS_С = δS_В = 0,5∙δS_С1 .

         Линейные перемещения точек тела 3 будет равны:

δS_D = δS_C = 0,5∙δS_С1;

δS_E = δS_D∙(r₃/R₃) = 0,5∙δS_С1∙(r/2∙r) = 0,25∙ δS_С1.

         Перемещение центра масс 3 равно

δS_С3 = δS_E ∙( r₃/2∙r₃) = 0,25∙ δS_С1∙0,5 = 0,125∙ δS_С1,

а угловое

δφ₃ = δS_C3/R₃ = (0,125∙ δS_С1)/ R₃ .

          Что касается линейного перемещения центра масс 4, то оно будет равно

δS_C4 = δS_С3 = 0,125∙ δS_С1.

           Двойным дифференцированием по времени возможных перемещений δφ₂, δφ₃,δS_С3, δS_C4 определим угловое ускорение ₂ тела 2, угловое ускорение ₃ тела 3, ускорение a_C3 центра масс тела 3 и ускорение a_C4 центра масс тела 4.

₂ = a_С1/R₂; ₃ = a_С3/R₃ = (0,125∙ a_С1)/R₃; a_С3 = 0,125∙a_C1; a_C4 = a_C3 = 0,125∙a_C1.

–

Вернемся к рис. 2. Запишем  уравнение Лагранжа второго рода для рассматриваемой механической системы.

(∂T_s/∂) – ∂T_s/∂S₁ = Q_S1,

где Т_s – кинетическая энергия механической системы; Q_S1 – обобщенная сила по обобщенной координате S₁; = dS₁/dt – обобщенная скорость.

δS₃ = δS₁;δφ₃ = δS₁/R₃,

а центр масс тела 4 Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

 

 

δS₄ = 2∙δS₁.

          Кинетическая энергия механической  системы равна

Т_s = Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄,

где Т₁ – кинетическая энергия груза1; Т₂ – кинетическая энергия барабана 2; Т₃ – кинетическая энергия барабана 3; Т₄ – кинетическая энергия груза 4.

Согласно рис. 2 тело 1 совершает  поступательное движение. Исходя из этого  утверждения, его кинетическую энергию  определим по формуле

T₁ = 0,5∙m₁ ∙()² = 0,5∙(G₁/g) ∙()² = 0,5∙(G/g) ∙()².

Тело 2 совершает вращательное движение относительно оси С₁Х₁. Его кинетическую энергию определим по формуле

T₂ = 0,5∙J_C2X2∙()² = 0,5∙(m₂∙(i_C2X2)²)∙(R₂)² =

= 0,5∙ (2∙G∙2∙r²/g)∙(/2∙r)² = 0,5∙(∙G/g)∙()².

Тело 3 совершает вращательное движение относительно оси С₃Х₃ и поступательное движение. Его кинетическую энергию определим по формуле

T₃ = 0,5∙J_C3X3∙()² + 0,5∙m₃ ∙()² = 0,5∙(m₃∙( i_C3X3)²)∙(8∙R₃)² +

+ 0,5∙m₃ ∙(/8)² = 0,5∙ (3∙G∙2∙r²/g)∙(/8∙2∙r)² + 0,5∙(3∙G/g) ∙(/8)² =

= 0,035∙(G/g)∙()².

Тело 4 совершает поступательное движение. Исходя из этого утверждения, его кинетическую энергию определим по формуле

T₄ = 0,5∙m₄ ∙(/8)² = 0,5∙(G₄/g)∙(/8)² = 0,5∙(4∙G/g) ∙(/8)² = 0,031∙(G/g)∙()².

Кинетическая энергия  механической системы

Т_s = (G/g)∙()² ∙(0,5 + 0,5 + 0,035 +0,031) = 1,066∙(G/g)∙()²

Определим частную производную  от кинетической энергии механической системы по обобщенной скорости dφ₁/dt.

(∂T_s/∂) = 1,066∙(G/g)∙2∙.

 Тогда

(∂T_s/∂) = 2,132∙(G/g)∙.

Так как кинетическая энергия  системы не зависит от обобщенной координаты S_C1, то соответственно ее частная производная ∂T_s/S_C1 равна нулю (∂T_s/S_C1 = 0).

Тогда левая часть уравнения  Лагранжа второго рода равна

(∂T_s/∂)  – ∂T_s/∂φ₁ = 2,132∙(G/g)∙.

Определим элементарную работу δА() сил, приложенных к механической системе на ее возможном перемещении.

δА() = P·δS_C1 + G₁·δS_C1sinα – F_tr1·δS_C1 –

– G₃·δS_C3 – G₄·δS_C4 = 10∙G·δS_C1 + G·δS_C1sin30° – f·G∙cos30°∙δS_C1 –

– 3∙G·0,125∙ δS_С1 – 4∙G·0,125∙ δS_С1.

Согласно определению  обобщенная сила Q_φ1 по обобщенной координате равна

Q_SC1 = δА/ δS_C1 = 10∙G + G·sin30° – f·G∙cos30° –

– 3∙G·0,125 – 4∙G·0,125.

Уравнение Лагранжа второго  рода для рассматриваемой механической системы принимает вид

2,132∙(G/g)∙ =10∙G + G·sin(30°) – f·G∙cos(30°) – 3∙G·0,125 – 4∙G·0,125;

2,132∙(G/g)∙ = 9,539∙G. Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

 

 

Решая это уравнение относительно ускорения , получим

= (9,539∙ g) / 2,132= (9,539∙ 9,81) / 2,132= 43,871 м/с².

Таким образом, ответ на вопрос ( = ?), поставленный в задаче,

получен.