Расчёт бруса на прочность при изгибе

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА № 5

 

Тема: Расчёт бруса на прочность при изгибе.

Цель: Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; подобрать сечение стального двутавра.

Оснащение: методические указания; алгоритм; карточки индивидуальных заданий.

Ход работы:

1) Ознакомиться с краткими  теоретическими сведениями.

2) Ответить на контрольные  вопросы.

3) Выполнить индивидуальное  задание.

4) Оформить отчёт.

 

Краткие теоретические  сведения

Основные понятия  и определения

Изгибом называется такой  вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор — изгибающий момент.

Брус, работающий на изгиб, называют балкой.

На рисунке 1 изображён  брус, закреплённый справа (защемление), нагруженный внешними силами и моментом.

 

Рисунок 1 – Брус, нагруженный  внешними силами и моментом

 

Плоскость, в которой расположены  внешние силы и моменты, называют силовой плоскостью.

Если все силы лежат  в одной плоскости, изгиб называют плоским.

Плоскость, проходящая через  продольную ось бруса и одну из главных центральных осей его поперечного сечения, называется главной плоскостью бруса.

Если силовая плоскость  совпадает с главной плоскостью бруса, изгиб называют прямым.

Если силовая плоскость  не проходит через главную плоскость  бруса, изгиб называют косым изгибом (рисунок 2).

Рисунок 2 – Косой изгиб

 

Внутренние силовые  факторы при изгибе

Рассмотрим балку, на которую  действует пара сил с моментом m и внешняя сила F (рисунок 3). Для определения внутренних силовых факторов пользуемся методом сечений.

Рисунок 3 – Балка, нагруженная силой и моментом

 

Рассмотрим равновесие участка 1 (рисунок 4).

Под действием внешней  пары сил участок стремится развернуться по часовой стрелке. Силы упругости, возникающие в сечении 1, удерживают участок в равновесии.

Рисунок 4 – Равновесие участка балки

 

Продольные силы упругости  выше оси бруса направлены налево, а силы ниже оси направлены направо. Таким образом, при равновесии участка 1 получим: Σ F_Z = 0. Продольная сила N в сечении равна нулю. Момент сил упругости относительно оси Ох может быть получен, если суммировать элементарные моменты сил упругости в сечении    1 – 1 относительно оси Ох:

Этот момент называют изгибающим моментом М_Х = М_И.

Из схемы вала видно, что  часть волокон (выше оси) испытывают сжатие, а волокна ниже оси растянуты. Следовательно, в сечении должен существовать слой не растянутый и не сжатый, где напряжения σ равны нулю.

Такой слой называют нейтральным  слоем (НС). Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения бруса называют нейтральной осью.

Нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Здесь нейтральный слой совпадает  с осью Ох.

Практически величина изгибающего  момента в сечении определяется из уравнения равновесия:

Σ m_X1-1 = m – M_X1 = 0;    M_X1 = m.

Таким образом, в сечении 1 – 1 продольная сила равна нулю, изгибающий момент в сечении постоянен.

Изгиб, при котором в  поперечном сечении бруса возникает  только изгибающий момент, называется чистым изгибом.

Рассмотрим равновесие участка  бруса от свободного конца до сечения 2           (рисунок  5).

Рисунок 5 – Равновесие участка балки до второго сечения

 

Запишем уравнение равновесия для участка бруса:

Σ F_Y = 0;    Q₂ – F = 0;    Q₂ = F = const.

В сечении бруса 2 – 2 действует  поперечная сила, вызывающая сдвиг.

Σ m_X2-2 = 0;    m – F·(Z₂ –a),

где Z₂ – расстояние от сечения 2 до начала координат.

Изгибающий момент зависит  от расстояния сечения до начала координат.

Изгиб, при котором в  поперечном сечении бруса возникает  изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным изгибом.

 

Принятые в  машиностроении знаки поперечных сил  и изгибающих моментов

Знаки поперечных сил: поперечная сила в сечении считается положительной, если она стремится развернуть сечение по часовой стрелке, если против — отрицательной (рисунок 6).

Рисунок 6 – Знаки поперечных сил

 

Знаки изгибающих моментов: если действующие на участке внешние  силы стремятся изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент считается положи- тельным, если наоборот — отрицательным (рисунок 7).

Рисунок 7 – Знаки изгибающих моментов

 

Правила построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Эпюры поперечных сил и  изгибающих моментов можно строить, предварительно разделив балку на участки нагружения и составляя уравнения, выражающие изменения Q и М_х по участкам.

Общие правила построения эпюр:

1. Для участка, где отсутствует  распределенная нагрузка, поперечная  сила постоянна, а изгибающий момент меняется по линейному закону.

2. В частном случае, когда  поперечная сила на участке  равна нулю, изгибающий момент  постоянен (чистый изгиб), график  — прямая линия, параллельная  продольной оси.

3. В том месте, где  к балке приложена внешняя  сосредоточенная сила, на эпюре  Q возникает скачок на величину  приложенной силы, а на эпюре  моментов — излом.

4. В сечении, где к  балке приложена пара сил (сосредоточенный  момент), на эпюре М_и возникает скачок на величину момента этой пары. Поперечная сила при этом не изменяется.

5. В сечении на конце  балки поперечная сила равна  приложенной в этом сечении  сосредоточенной силе или реакции  в заделке.

6. На свободном конце  балки или шарнирно опертом  конце момент равен нулю, за  исключением случаев, когда в  этом сечении приложена пара  сил (внешний момент).

7. Для участка балки  с равномерно распределенной  нагрузкой поперечная сила Q изменяется  по линейному закону, эпюра ограничена  наклонной прямой. Изгибающий момент  изменяется по квадратичному  закону, эпюра М_х ограничена параболой второго порядка.

8. В сечении, где эпюра  Q переходит через  ноль (наклонная  линия пересекает нулевую линию), изгибающий момент экстремален: касательная к эпюре М_х в этом месте параллельна оси абсцисс.

9. Параболическая и прямолинейная  части эпюры моментов там, где  кончается или начинается распределенная  нагрузка, сопрягаются плавно, без   излома,  если  в  соответствующем сечении к балке не приложена сосредоточенная сила.

10. Если распределенная  нагрузка направлена вниз, то  эпюра момента очерчена параболой,  обращенной выпуклостью вверх.

11. Из теоремы Журавского  следует:

— если на участке Q > 0, М_и растет;

— если на участке Q < 0, М_и убывает;

— если на участке Q = 0, изгибающий момент постоянен (чистый изгиб);

— если в точке Q = 0, изгибающий момент достигает экстремального значения.

 

Деформации при  чистом изгибе

При чистом изгибе в сечении  возникает только один внутренний силовой  фактор — изгибающий момент.

Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней парой сил  с моментом m (рисунок 8).

Рисунок 8 – Брус, нагруженный внешней парой сил

 

При чистом изгибе выполняются  гипотезы плоских сечений и ненадавливаемости слоев:

1. Сечения бруса, плоские и перпендикулярные продольной оси, после деформации остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси.

2. Продольные волокна не давят друг на друга, поэтому слои испытывают простое растяжение или сжатие.

Действуют только нормальные напряжения. Поперечные размеры сечений  не меняются.

Продольная ось бруса  после деформации изгиба искривляется и образует дугу окружности радиуса ρ (рисунок 9). Материал подчиняется закону Гука.

Можно заметить, что слои, расположенные выше продольной оси, растянуты, расположенные ниже оси  — сжаты. Так как деформации по высоте сечения меняются непрерывно, имеется слой, в котором нормальные напряжения σ равны нулю; такой слой называют нейтральным слоем (НС). Доказано, нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения; ρ — радиус кривизны нейтрального слоя.

Рисунок 9 – Брус после деформации

 

Рассмотрим деформацию слоя, расположенного на расстоянии у от нейтральной оси (участок АВ).

Длина участка до деформации равна длине нейтральной оси:

l₀ = ρ·dφ.

Абсолютное удлинение  слоя

Δl = (ρ + y)·dφ – ρ·dφ = y·dφ.

Относительное удлинение

Относительное удлинение  прямо пропорционально расстоянию слоя до нейтральной оси.

Используем закон Гука при растяжении: σ = Е·ε. Получим зависимость нормального напряжения при изгибе от положения слоя:

 

Формула для расчета  нормальных напряжений при изгибе

Рассмотрим изогнутый участок бруса dz (рисунок 10).

Рисунок 10 – Изогнутый участок бруса

 

dN — элементарная продольная сила в точке сечения;

dA — площадь элементарной площадки;

dm — элементарный момент, образованный силой относительно нейтрального слоя.

dN = σ_и·dA;    dm = σ_и·y·dA.

Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении

где J_X — осевой момент инерции сечения.

Таким образом,

Откуда

Ранее получено

После ряда преобразований получим формулу для определения  нормальных напряжений в любом слое поперечного сечения бруса:

где J_X — геометрическая характеристика сечения при изгибе.

Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе изображена на рисунке 11.

Рисунок 11 – Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе

 

По эпюре распределения  нормальных напряжений видно, что максимальное напряжение возникает на поверхности.

Подставим в формулу напряжения значение у = y_max.

Получим

W_X – момент сопротивлении сечения при изгибе, или осевой момент сопротивления; [мм³].

W_Х характеризует влияние формы и размеров сечения на прочность при изгибе.

Напряжение на поверхности

 

Рациональные  сечения при изгибе

Определим рациональные сечения  при изгибе, для этого сравним  моменты сопротивления простейших сечений.

Осевой момент инерции прямоугольника (рисунок 12) равен

Осевой момент сопротивления  прямоугольника

Рисунок 12 – Прямоугольник с заданными размерами

 

Сравним сопротивление изгибу двух прямоугольных сечений  (рисунок 13). Вариант на рисунке 6 б обладает большим сопротивлением изгибу при прочих равных условиях.

Осевой момент инерции круга (рисунок 14) равен

Осевой момент сопротивления  круга

Рисунок 13 – Сравнение сопротивления изгибу двух прямоугольных сечений

 

Рисунок 14 – Круг заданного диаметра

 

Все необходимые расчетные  данные (площади, моменты инерции  и сопротивления) стандартных сечений приводятся в таблицах ГОСТ.

 

Расчет на прочность  при изгибе

Рассчитать на прочность  — это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым.

Условие прочности при  изгибе:

 

 

где [σ_и] — допускаемое напряжение.

По этому неравенству  проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балки.

Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и  сжатой зоне одновременно (рисунок 15).

 

 

При проектировочном расчете определяют потребные размеры поперечных сечений балки или подбирают материал.