Случайные процессы в нелинейных системах автоматического управления

Содержание

Введение	3
1 Нелинейные системы автоматического  управления	4
2 Понятие случайного процесса	6
3 Случайные процессы  в нелинейных  системах автоматического управления	8
Заключение	14
Список использованных источников	15

 

 

 

Введение

Задача автоматизации состоит в осуществлении автоматического управления различными техническими процессами. Любой технологический процесс можно расчленить на ряд более простых неравнозначных составных, но связанных между собой процессов. В связи с этим говорят, что в технологическом процессе выделяют рабочие операции, т.е. действия, непосредственным результатом которых является требуемая обработка материала, энергии, информации, и операции управления, обеспечивающие придание в нужные моменты нужных режимов, направлений и т.п.

Рабочие операции сопряжены с затратами энергии, и, если они выполняются человеком, то на их выполнение затрачивается его физическая сила. На операции управления затрачивается интеллектуальный труд человека, и эти операции требуют определенной квалификации исполнителя.Замена труда человека в рабочих операциях работой машин и механизмов называется механизацией.

Совокупность операций управления образует процесс управления. Таким образом, под управлением понимают такую организацию того или иного процесса, которая обеспечивает достижение определенной цели.

Замена труда человека в операциях управления действиями технических управляющих устройств называется автоматизацией. Техническое устройство, выполняющее операции управления без непосредственного участия человека, называется автоматическим устройством [1].

Совокупность технических средств, выполняющих данный процесс, является объектом управления. Совокупность средств управления и объекта образует систему управления. Система, в которой все рабочие операции и операции управления выполняют автоматические устройства, называется автоматической. Система, в которой автоматизирована только часть операций, другая же их часть сохраняется за людьми, называется автоматизированной (частично автоматической).

Важность автоматизации невозможно переоценить, для этого создана теория автоматического управления.

1 Нелинейные системы автоматического управления

Автоматическая система управления является нелинейной, если хотя бы один ее элемент описывается нелинейным уравнением. Практически все реальные системы управления содержат один или несколько нелинейных элементов. Нелинейной характеристикой часто обладает и объект управления. Так, например, все электрические машины имеют нелинейную и неоднозначную зависимость магнитного потока от тока возбуждения. Индуктивности обмоток машины также зависят от токов[2].

Некоторые нелинейные элементы вводят в систему преднамеренно, чтобы улучшить качество управления. Такими нелинейностями являются, например, релейные управляющие устройства, обеспечивающие высокое быстродействие процесса управления. Применяются также нелинейные корректирующие устройства.

 Нелинейную САУ можно представить в виде соединения двух частей (рисунок 1, а) – линейной части (ЛЧ), описываемой линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, и нелинейного элемента (НЭ).

Рисунок 1 - структурная схема нелинейной САУ (а) и характеристики НЭ (б)

Нелинейный элемент является безынерционным, и его входная   и выходная   величины связаны между собой нелинейными алгебраическими уравнениями. Если система содержит несколько нелинейных элементов, то ее в ряде случаев можно свести к рассматриваемому классу, заменив нелинейные элементы одним с результирующей статической характеристикой[2]. Например, при параллельном, последовательном и встречно-параллельном соединении такая замена возможна. На рисунке 1, б показана замена двух параллельно соединенных нелинейных звеньев со статическими характеристиками 1 и 2 одним звеном с характеристикой 3, полученной суммированием исходных характеристик по оси ординат.

Различают два вида нелинейных элементов: существенно нелинейные и несущественно нелинейные. Нелинейность считается несущественной, если ее замена линейным элементом не изменяет принципиальных особенностей системы и процессы в линеаризованной системе качественно не отличаются от процессов в реальной системе. Если такая замена невозможна, и процессы в линеаризованной и реальной системах сильно отличаются, то нелинейность является существенной.

Главная особенность существенно нелинейных систем заключается в том, что они не подчиняются принципу наложения, а форма и показатели переходного процесса зависят от величины и формы внешнего воздействия.

Другой важной особенностью динамики существенно нелинейных систем является зависимость условий устойчивости от величины внешнего воздействия. В связи с этим для нелинейных систем применяют понятия "устойчивость в малом", "устойчивость в большом", "устойчивость в целом".

Система устойчива в малом, если она устойчива только при малых начальных отклонениях. Система устойчива в большом, если она устойчива при больших начальных отклонениях. Система устойчива в целом, если она устойчива при любых отклонениях.

Специфической особенностью существенно нелинейных систем является также режим автоколебаний. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающие из-за нелинейных свойств системы. Режим автоколебаний нелинейной системы принципиально отличается от колебаний линейной системы на границе устойчивости. В линейной системе при малейшем изменении ее параметров колебательный процесс становится либо затухающим, либо расходящимся. Автоколебания же являются устойчивым режимом и малые изменения параметров не приводят к их исчезновению. Автоколебания в общем случае нежелательны, однако, в некоторых нелинейных системах они являются основным рабочим режимом.

 

2 Понятие случайного процесса

Случайная величина — это величина, значение которой определяется неконтролируемыми нами причинами и поэтому не может быть точно предсказано. Примеры случайных величин — ошибка при стрельбе в цель, результат измерения какой-либо величины в условиях помех, результат бросания монеты или игральной кости.

Случайный процесс — это случайная величина, являющаяся функцией времени, или по-другому — это функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной.

Пример случайного процесса — изменение напряжения электрической сети питания во времени. В каждый момент времени напряжение является случайной величиной. Совокупность этих величин во времени представляет собой случайный процесс. Именно случайным процессом являются случайные изменения выходной величины в системах автоматического управления.

Вместо термина «случайный» употребляют также термины стохастический и вероятностный.

Основными для случайных процессов являются понятия состояния и перехода из одного состояния в другое. Случайный процесс находится в некотором состоянии, если он полностью описывается значениями переменных, которые задают это состояние. Процесс совершает переход из одного состояния в другое, если описывающие ее переменные изменяются от значений, задающих одно состояние, на значения, которые определяют другое состояние. Случайный процесс состоит в том, что с течением времени процесс переходит из одного состояния в другое заранее не известное состояние.

Понятия «состояние» и «переход» используются как для описания случайного процесса, так и системы, в которой этот процесс протекает. Поэтому при моделировании реальных систем часто говорят о состоянии системы и переходе системы из одного состояния в другое.

Если множество состояний, в которых может находиться процесс счётное, то есть все возможные состояния могут быть пронумерованы, то соответствующий процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями или просто дискретным случайным процессом. В этом случае переменные, описывающие состояния случайного процесса, принимают либо целочисленные значения, либо вполне конкретные отделённые друг от друга дискретные значения. Обычно состояния дискретного случайного процесса определяются таким образом, чтобы каждое возможное состояние могло быть обозначено порядковым номером, при этом число возможных состояний системы может быть конечным: E1 ,E2 ,..., En или бесконечным: E1, E2, … En, … (иногда состояния нумеруются, начиная с нуля).

Для случайного процесса с дискретными состояниями характерен скачкообразный переход из одного состояния в другое. Например, случайный процесс, протекающий в простейшей СМО с однородным потоком заявок, может быть представлен количеством заявок, находящихся в системе в произвольный момент времени. Тогда состояние E k случайного процесса и, следовательно, самой системы будет означать, что в СМО находится ровно k =0,1,2,... заявок.

Если множество состояний не может быть пронумеровано, то имеем случайный процесс с непрерывными состояниями или просто  непрерывный случайный процесс, для которого характерен плавный переход из состояния в состояние и который задаётся в виде непрерывной функции времени: E(t). Например, процесс изменения температуры некоторого объекта может рассматриваться как случайный процесс с непрерывными состояниями.

 

3 Случайные  процессы  в нелинейных системах автоматического управления

В  реальных  системах  чаще  всего имеются помехи (возмущения), действующие  в каналах передачи информации. К этому добавляется также неточное знание некоторых  параметров  системы  управления.  Часто  не  имеется  никакой,  кроме  статистической,  информации  об  этих факторах. Это  заставляет  считать  эти  параметры случайными величинами, возможно даже с заранее неизвестными законами распределения.  Так  возникает  задача  управления  в  условиях  неопределенности,  то  есть теория стохастических систем управления.  Здесь имеются два аспекта: 

• управление в условиях неопределенности; 
• задача фильтрации, то есть задача борьбы с помехами.

Случайные сигналы будем считать случайными процессами, т.е. функциями времени,  принимающими  случайные  значения[5]. В  каждый момент  времени,  значение  случайного процесса есть случайная величина x(t). Имеются следующие характеристики этой случайной величины в момент времени t, согласно рисунку 2.

Рисунок 2 – реализация случайного процесса

p(x,t) -плотность вероятности в момент t. Математическое ожидание рассчитывается по формуле (1):

 

(1)

 

Дисперсия рассчитывается по формуле (2):

(2)

 

M(t) и D(t) характеризуют значение x(t) в отдельные моменты времени. Для описания статистической взаимосвязи значений x(t) в разные моменты времени вводятся [4]:

- Корреляционная функция сигнала x(t) по формуле (3):

(3)

- Взаимная корреляционная функция сигналов x(t) и y(t) по формуле (4):

(4)

Отметим, что Kx(t,t) = Dx(t), т.е. при t1=t2=t это есть дисперсия в момент времени t.

Стационарным случайным процессом называется такой случайный процесс, для которого корреляционная функция, на самом деле, зависит не от абсолютных значений t1 и t2, а только от их разности. Это просто означает, что статистическая связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени определяется лишь расстоянием между этими моментами времени, но не самим значением времени. Дисперсия и математическое ожидание для стационарного случайного процесса являются константами [7]. Стационарный случайный процесс для САУ не меняет своих статистических характеристик за время жизни системы.

Итак, для стационарных случайных процессов K(t1,t2) = K(t1-t2) = К(τ)[3]. Для стационарного процесса математическое ожидание и дисперсия также не зависят от времени. Корреляционная функция, математическое ожидание, дисперсия могут быть определены экспериментально. Этим вопросом занимается математическая статистика. Корреляционная функция приведена на рисунке 3.

Рисунок 3 – типичный график корреляционной функции

Будем считать, что в САУ помехи могут быть в двух основных местах в канале управления и в измерителе. Схема САУ с помехами приведена на рисунке 4.

Рисунок 4 – Схема САУ с помехами

W - помеха в канале  управления.  К управлению добавляется  помеха.

V - помеха  в канале измерения. Выходной  сигнал измеряется с помехой.

Задача фильтрации - максимально возможное подавление обеих помех. Возможен также случай косвенного измерения выходного сигнала. Тогда к задаче фильтрации добавляется ещё задача наблюдения. Задача наблюдения - восстановление сигнала по результатам косвенных измерений. В теории доказывается, что решение задачи наблюдения может быть получено в ходе решения задачи фильтрации.

Для того чтобы точнее сформулировать и решить задачу фильтрации, введём дополнительно понятие спектральной плотности случайного процесса. Спектральная плотность S(ω) стационарного случайного процесса, есть интеграл (преобразование) Фурье от корреляционной функции К(τ) [4]. Соответственно, корреляционная функция К(τ) есть обратное преобразование Фурье спектральной плотности S(ω) согласно формуле (5).

(5)

 

Спектральная плотность случайного процесса описывает разложение мощности процесса по гармоническим составляющим. Поскольку известно , что дисперсия стационарного случайного процесса равна значению корреляционной функции в 0: D=K(0). Поэтому можно выразить дисперсию через интеграл от спектральной плотности, это фактически означает, что дисперсия есть суммарная мощность случайного процесса, распределённая по частоте, согласно формуле (6).

(6)

Чтобы интеграл был сходящимся, надо, чтобы спектральная плотность убывала с увеличением частоты ω достаточно быстро[4]. Аналогично можно дать определение взаимной спектральной плотности двух процессов x(t) и y(t), выраженной через взаимную корреляционную функцию Kxy(t)(7):

(7)

Если рассмотреть сигнал бесконечным равномерным спектром, то ему будет соответствовать корреляционная функция в виде δ-функции (8):

(8)

Эти три уравнения описывают "белый шум" с интенсивностью N. Ясно, что такой сигнал не может быть физически реализован в силу бесконечной мощности, однако, имеет привлекательное свойство - его значения в разные моменты времени совершенно не связаны между собой. Как бы в каждый момент времени имеется независимая случайная величина. Цена этой абстракции - не реализуемость такого процесса.