Анализ установившихся и переходных режимов в линейных электрических цепях

 

 

 

 
 
 
Выразим I₁ из каждого уравнения и приравняем их.  

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получим:

Амплитудо-частотную  характеристику (также см. рис14):

 

 

2. Фазо-частотную характеристику (также см. рис15):

         

 

 

Найдем U_вых при заданных U_вх, ω и найденном W(ω):

 

значение U_вых согласуется со значением в пункте 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3(а) Амплитудо- и фазо-частотные характеристики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис14. Амплитудо-частотная характеристика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис15. Фазо-частотная характеристика

 

                                              2.3(б) Годограф.

                                            рис16.Годограф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                             2.4 Переходная и импульсная характеристики.

 

R₁ = 80 Ом;

R₂ = 10 Ом;

R₃ = 10 Ом;

L = 250 мГн;

рис16. Схема для расчета переходной характеристики

Подготовка  схемы, определение начальных условий (см рис.17):

 

I_С(0-) = i_С(0+) = 0 А;

 

рис17. схема «до коммутации»

 

Составление характеристического  уравнения и определение его  корней (см рис.18):

Z(p) = 1/Cp+R₁(R₂+ +R₃)/ (R₁+R₂+ +R₃)=0;

p = -250 1/с ;

рис18. схема для определения характеристического уравнения и его корней

 

 

 

 Вынужденный режим:

i_вын = 1/R₁+R₂+R₃ = 0,01 A;

u_Cвын = 1-i_вынR₁=0,2 В;

 

u_C(t) = u_Cвын + Ае^pt;     при t = 0-      0 = 0,2 + A;       A = - 0,2;

u_C(t) = 0,2 -0,2 e^-250t;

i_C = C du_c/dt; 
i_C = 0,00125e^-250t

   i₂(t) = i_вын + B е^pt;  при t = 0+       0 = 0.01 + B;      B = -0,01;

   i₂(t) = 0,01-001e^-250t ; 
  

   u_вых(t) = i₂(t) R₃ = 0,1 - 0,1 e^-250t;

   i_вх(t) = i_C(t) + i₂(t) = 0,01 – 0,00875 e^-250t;

 

Отсюда получим:

h_i(t) = i_вх(t) / 1В = 0,01 – 0,00875 e^-250t   См;     (см. рис19.)

k_i(t) = 0,00125δ(t) + 2,1875 e^-250t   Cм/с;         (см. рис20.)

 

h_u(t) = u_вых(t) / 1В = 0,1 - 0,1 e^-250t  б/р;            (см. рис21.)

k_u(t) = 25 e^-250t 1/c;                                            (см. рис22.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис19. Переходная характеристика по току

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис20. Импульсная характеристика по току

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис21. Переходная характеристика по напряжению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                          рис22. Импульсная характеристика по напряжению

 

 

 

 

Покажем связь  между переходной характеристикой  и передаточной функцией:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                3. Расчет переходных процессов классическим методом

3.1 Расчет входного тока и напряжения четырехполюсника при подключении его к леммам с напряжением u4(t) в момент времени      t=(2kπ-ψ_u3)/ω.

 

 

 

 

 

 

рис23. Схема для расчета переходных процессов

1. Определение времени коммутации: 
   из заданного условия u₃(t) = 0 находим  
   0 = 7,07sin(1000t₀ + π/2);  
   1000t₀ + π/2 = 0; 
   t₀ =  -π /2*1000 = -0,00157 c ;
2. Определение начальных условий: 
   при заданных 
   U_C = 0,235 – 0,059j;            u_C(t) = 0,34sin(1000t + 14^o); 
   I_вх = 0,002941 – 0,062j;       i_вх(t) = 0,062sin(1000t + 90^o); 
                                                  u₃(t) = 7,07sin(1000t + π/2); 
   определим независимые начальные условия: 
   u_c(t₀) = 0,34sin(-90^o + 14^o) = -0,33 В; 
   Теперь начало расчёта примем за ноль (t₀ = 0); 
   u_С(t₀-) = u_С(t₀+) = - 0,33 В. 
   определим зависимые начальные условия из системы: 
    
   i₁(t) + i₂(t) = i_вх(t) 
   0 = i_вх(t)R₁ + i₂(t)R₂ + i₂(t)R₃ – u₄(t) 
   0 = -i₂(t) (R₂ + R₃) + u_C(t) 
    
   u_C(t) – i₂(t)(R₂ + R₃) = 0; 
   i₂(t) = u_C(t) / (R₂ +R₃ ) = - 0,0165 A; 
   i_вх(t)R₁+i₂(t)(R₂+R₃)-u₄(t) = 0;

i_вх(t)= (-i₂(t)(R₂+R₃)+u₄(t)) /R₁=0,13 А; 
i₁(t)= i_вх(t)- i₂(t)=0,1465 А;

3. Рассмотрим первый полупериод (0+ ≤ t ≤ T/2-)   u₄ = 10 В; 
   i_вх(0+) = 0,13 A; 
   i₁(0+)=i_C(0+) = 0,1465 A; 
   i₂(0+) = -0,0165 А; 
   u_С(0+)=u_С(0+) = - 0,33 В; 
   u_вых (0+) = i₂(0+)R₃ = - 0,165 B; 
    
   i_вх(t) = i_вхвын + A e^-250t;             i_вхвын = u₄ / (R₁+R₂ + R₃) = 0,1 A; 
            при t = 0                            i_вх(0) = i_вхвын + A e⁰;   A = 0,03; 
   i_вх(t) = 2 + 0,3 e^-250t; 
    
   u_C(t) = u_Cвын + В e^-250t;             u_Cвын = i_вхвын (R₂+R₃) = 2 В; 
            при t = 0                          u_C(0) = u_Cвын + В e⁰;   В = - 2,33; 
   u_C(t) = 2 - 2,33 e^-250t; 
    
   u_вых(t) = U_выхвын + С e^-250t;             u_выхвын = i_вхвын R₃= 1 А; 
            при t = 0                            u_вых (0) = u_выхвын + С e⁰;   С = - 1,165; 
   u_вых (t) = 1 – 1,165 e^-250t;
4. Рассмотрим второй полупериод (T/2+ ≤ t ≤ T-)   u4 = -10 В; 
   T=000628 c; 
   u_С(T/2-) = u_С(T/2-) =2 – 2,33 e^-250T/2 = 0,94 В; 
    
   Из системы 
    
   i₁(t) + i_L(t) = i_вх(t) 
   0 = i_вх(t)R₁ + i₂(t)R₂ + i₂(t)R₃ – u₄(t) 
   0 = -i₂(t) (R₂ + R₃) + u_C(t) 
    
   Находим  i_вх(T/2+) = - 0,14 A; 
                     i₂(T/2+) =  0,047 A; 
                     i₁(T/2+) = - 0,187 A 
                     u_вых(T/2+) = 0,47 В; 
                      
   i_вх(t) = i_вхвын + D e^{-250( t  - T/2)};    i_вхвын = u₄ / (R₁+R₂ + R₃) = - 0,1 A; 
           при t = 0                            i_вх(T/2+) = i_вхвын + De⁰;   D = - 0,04; 
   i_вх(t) = - 0,1 - 0,04 e^{-250( t  - T/2)}; 
    
    
   u_C(t) = u_Cвын + E e^{-250( t  - T/2)}; 
                                          u_Cвын = i_вхвын (R₂+R₃) = - 2 В; 
            при t = 0                            u_C (T/2+) = u_{C вын} + E e⁰;   E = 2,94; 
   u_C (t) = -2 + 2,94 e^{-250( t  - T/2)}; 
    
   u_вых(t) = U_выхвын + F e^{-250( t  - T/2)};             u_выхвын = i_вхвын R₃= -1В; 
            при t = 0                            u_вых (T/2+) = u_выхвын + Fe⁰;   F= 1,47; 
   u_вых(t) = -2 + 2,94 e^{-250( t  - T/2)}; 
   
5. Окончательно имеем 
   на первом интервале:  i_вх(t) = 2 + 0,3 e^-250t;

                                                    u_C(t) = 2 - 2,33 e^-250t;

                                                    u_вых (t) = 1 – 1,165 e^-250t; 
              
             на втором интервале:   i_вх(t) = - 0,1 - 0,04 e^{-250( t  - T/2)};

                                                    u_C (t) = -2 + 2,94 e^{-250( t  - T/2)};

                                                    u_вых(t) = -2 + 2,94 e^{-250( t  - T/2)};

Построим графики i_вх(t), u_C (t), u_вых(t):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           рис24. графическая зависимость напряжения на конденсаторе от времени

 

         

 

 

 

 

 

 

рис25. графическая зависимость входного тока от времени

 

 

 

 

 

 

 

рис26. графическая зависимость выходного напряжения от времени

 

3.2 Расчет квазиустановившегося  режима методом припасовывания.

Будем считать, что в цепи наступил квазиустановившейся  период.

Рассмотрим  поведение схемы на двух интервалах:

1. Первый интервал (0+ ≤ t ≤ T/2-)   u₄ = 10 В; 
   u_C1(t) = u_Cвын1 + G e^-250t;                                                    (1) 
   u_Cвын1 = 2 В;
2. Второй интервал (T/2+ ≤ t ≤ T-)   u₄ = - 10 В; 
   u_C2(t) = u_Cвын2 + K e^{-250( t - T/2)};                                            (2) 
   u_Cвын2 = - 2 В;

Согласно законам  коммутации:

u_С1(0+) = u_C2(T-);

U_C2(T/2+) = u_C1(T/2-);

Отсюда, используя (1) и (2), получаем:

G + 2 = K e^{-250 T/2} – 2;

K – 2 = G e^{-250 T/2} + 2;

Решая эту систему  находим K = -2,75;  G = 2,75; Подставим в (1) и (2):

u_C1(t) = 2 – 2,75 e^-250t;

u_C2(t) = -2 + 2,75 e^{-250( t - T/2)};  

С учётом,того что i_C(t)=C du_C(t)/dt=i₁ , получаем

i₁₁(t) = 0,17 e^-250t;

i₁₂(t) = -0,17 e^{-250( t - T/2)};  

      i₂₁(t) = u_C1(t)/( R₂₊R₃) = 0,1 – 0,14 e^-250t;

      i₂₂(t) = u_C2(t)/ ( R₂₊R₃)  = - 0,1 + 0,14 e^{-250( t - T/2)};  

u_вых(t) = i₂(t) R₃ = 1- 1,4 e^-250t ;

u_вых(t) = i₂(t) / R₃ = -1+1,4 e^{-250( t - T/2)} ;

 i_вх1(t) = i₁₁(t) + i₁₂(t) = 0,1+0,3 e^-250t ;

 i_вх2(t) = i_L2(t) + i_R12(t) = -0,1-0,3 e^-250t ;

 

Построим графики  входного тока, выходного напряжения и тока на конденсаторе и напряжения на конденсаторе:

 

 

 

 

 

 

 

 

рис27. Графическая зависимость напряжения на конденсаторе от времени в квазиустановившемся режиме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис28. Графическая зависимость выходногонапряжения от времени в квазиустановившемся режиме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис29. Графическая зависимость входного тока от времени в квазиустановившемся режиме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис30. Графическая зависимость тока на конденсаторе от времени в   квазиустановившемся режиме

 

 

 

 

 

 

 

4. Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при несинусоидальных воздействиях

4.1 Рассчитать законы изменения входного тока и выходного напряжения частотным методом.

 

Входное напряжение после  переключения имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис31. Графическая зависимость несинусоидального входного напряжения от времени

По условию  ограничиваемся 5 нечетными гармониками:

 

Первая гармоника:

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

Третья гармоника:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пятая гармоника: