Дискретная случайная величина

Практическая работа №4

ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ  ВЕЛИЧИНА

 

Основные  понятия и формулы
Форма задания  закона распределения
Ряд распределения
Многоугольник распределения Функция распределения  (интегральная функция  распределения)
Основные числовые характеристики и их свойства
Математическое ожидание:		М(С) = С М(СХ) = С·М(Х) М(Х1 + Х2 + …+ Хn) = М(Х1) + М(Х2) + ... + М(Хn) М(Х1 · Х2 · ... · Хn) = М(Х1) · М(Х2) · ... · М(Хn)
Дисперсия:		D(С) = 0 D(СХ) = С2 · D(Х) D(Х1 ± Х2 ± ... ± Хn) = D(Х1) + D(Х2) + ... + D(Хn)
Среднее квадратичное отклонение (среднее квадратическое отклонение)
Основные законы распределения
Биномиальное	Геометрическое	Гипергеометрическое		Пуассона
Основные  умения и навыки: задавать форму закона распределения исходя из поставленной цели; определять числовые характеристики, используя их свойства; применять основные законы распределения; моделировать законы распределения в Exel.

 

Дискретной называют случайную  величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут  принимать только некоторые заранее определенные значения. Например, денежный выигрыш в какой-нибудь лотерее, или количество очков при бросании игральной кости, или число появления события при нескольких испытаниях. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным множеством). Для сравнения - непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого числового промежутка: например, температура воздуха в определенный день, вес конкретной детали в партии, и т.д.

 

Форма задания  закона распределения

Для дискретной случайной  величины Х простейшей формой задания закона распределения является ряд распределения, представляющий собой таблицу, в верхней строке которой указаны возможные значения  , а в нижней – соответственно вероятности того, что Х примет значение .

Х			…
р			…

При построении ряда распределения  необходимо помнить, что:

1. 0 по свойству вероятности;
2. , т.к. события составляют полную группу попарно несовместных событий.

Закон распределения также  может быть задан аналитически (формулой) и графически: многоугольником распределения, соединяющим точки (; ). Пример многоугольника распределения приведен на рис. 1.

Другим способом представления  закона распределения дискретной случайной  величины является функция распределения (интегральная функция). Функция распределения F(X) - это вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: F(X) = P(Х < х). Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины (см. рис. 2). Поэтому функция распределения – неубывающая, она принимает значения в интервале от 0 до 1.

Пример 1. Задан закон распределения случайной величины Х. Построить многоугольник распределения и функцию распределения.

Х	-2	-1		0		1	2
р	0,1	0,2		0,5		0,1	0,1
Рис. 1. Многоугольник  распределения.			Рис. 2. Функция  распределения (интегральная функция  распределения).

Закон распределения случайной  величины является ее исчерпывающей  характеристикой. Но при решении многих практических задач нет необходимости указывать закон распределения, а можно обойтись основными числовыми характеристиками.

 

Основные числовые характеристики

Основную роль при решении  практических задач играют математическое ожидание, задающее "центральное" значение случайной величины, и дисперсия, характеризующая разброс значений случайной величины вокруг математического ожидания.

Математическое  ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: .

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: М(С) = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = С·М(Х).

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n).
4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n).

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

. Чаще используют формулу: .

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х).
3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ± ... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) + ... + D(Х_n).

Среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратическое отклонение есть корень квадратный из дисперсии:   . Среднее квадратичное отклонение было введено как дополнительная характеристика рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания и, в отличие от дисперсии, совпадающая по размерности со случайной величиной.

Пример  2. Задан закон распределения случайной величины (см. пример 1). Определить ее основные числовые характеристики.

M(X) = -2·0,1 - 1·0,2 + 0·0,5 + 1·0,1 + 2·0,1 = -0,1

D(X) = (-2 + 0,1)²·0,1 + (- 1 + 0,1)²·0,2 + (0 + 0,1)²·0,5 + (1 + 0,1)²·0,1 + (2 + 0,1)²·0,1 = 1,09

или D(X) = (-2)²·0,1 + (-1)²·0,2 + 0²·0,5 + 1²·0,1 + 2²·0,1 - (-0,1)² = 1,1 - 0,01 = 1,09

σ = ≈ 1,04

Пример 3. M(X) = 5,6; D(X) = 3,04. Вычислить M(Y) и D(Y), если Y = 3Х + 2.

M(Y) = 3M(X) + 2 = 3 ·  5,6 + 2 = 18,8

D(Y) = 3²·D(X) + 0 = 9 · 3,04 = 27,36

 

Основные законы распределения

Биномиальное распределение – закон распределения дискретной случайной величины Х, представляющей собой число m наступлений события А в серии n независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с одной и той же вероятностью р. Вероятности вычисляют по формуле Бернулли (где q = 1 - p):

	0	1	…	m	…	n
			…		…

Для биномиального распределения: M(X) = np, D(X) = npq.

Пример  4. Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,6. Найти среднее число попаданий и дисперсию. Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трех бросках, имеет биномиальный закон распределения.

0 1 2 3   0,064 0,288 0,432 0,216      Контроль: 0,064+0,288+0,432+0,216=1 M(X)= 3·0,6 = 1,8 D(X) = 3·0,6·0,4 = 0,72 σ(X) = 0,85

 

Геометрическое  распределение. Производится серия испытаний. Случайная величина Х - количество испытаний до появления первого успеха (например, бросание мяча в корзину до первого попадания). Закон распределения имеет вид:

	1	2	3	…	k	…
	p	qp	qp2	…	qpk-1	…

Если количество испытаний  не ограничено, т.е. если случайная величина может принимать значения 1, 2, ..., ∞, то математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения можно найти по формулам: M(X) = 1/p, D(X) = q/p².

Пример  5. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 при каждом выстреле. Случайная величина X - число возможных выстрелов до первого попадания, имеет геометрическое распределение. а) Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить ее график и найти все числовые характеристики. б) Найти математическое ожидание и дисперсию для случая, если стрелок намеревается произвести не более трех выстрелов.

	1	2	3	…	k	…
	0,6	0,24	0,096	…	0,4 · 0,6 k-1	…

 

	M(X) = 1/0,6 = 1,667 D(Х) = 0,4/0,36 = 1,111 σ(Х) = 1,054
Рис. 3. Функция  распределения.

 

Гипергеометрическое распределение. Имеется N объектов. Из них n объектов обладают требуемым свойством. Из общего количества отбирается m объектов. Случайная величина X - число объектов из m отобранных, обладающих требуемым свойством. Закон распределения имеет вид:

	0	1	2	…	k	…
				…		…

М(X) = nm /N и D(X) = nm(1-m /N)(1-n /N) / (N-1)

Пример 6. Среди 20 книг, стоящих на полке, 8 книг по математической статистике. Случайная величина X - число книг по математике из четырех случайно взятых с этой полки книг. Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить ее график и найти числовые характеристики.

Х	0	1	2	3	4
р	0,1022	0,3633	0,3814	0,1387	0,0114

Контроль: 0,1022+0,3633+0,3814+0,1387+0,0114 = 1.

Рис. 4. Многоугольник распределения.	Рис. 5. Функция  распределения.