Дискретная случайная величина

M(X) = 8∙4/20 = 1,6;   D(X) = 8∙4(1- 4/20)(1- 8/20) / (20 - 1) = 0,81;  σ(X) = 0,9 .

 

Распределение Пуассона. Пусть имеется некоторая последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (поток событий). Интенсивность потока (среднее число событий, появляющихся в единицу времени) равна λ. Свойства потока:

1. вероятность появления k событий за определенный промежуток времени зависит только от длины этого промежутка, но не от точки отсчета, другими словами, интенсивность потока есть постоянная величина (свойство стационарности);
2. вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись события в прошлом или нет (свойство "отсутствия последействия");
3. появление более одного события за малый промежуток времени практически невозможно (свойство ординарности).

Поскольку вероятность наступления  события А в каждом испытании мала, закон распределения Пуассона еще называют законом редких событий. Закон распределения имеет вид:

	0	1	…	k	…	…
			...		…	…

М(Х) = D(X) = .

Пример 7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 4 минуты поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Случайная величина Х – среднее число вызовов, поступающих на АТС, распределена по закону Пуассона.

	0	1	2	3	…
	0,0003	0,0027	0,0107	0,0143	…

а) P(k = 3) = 0,0143;

б) P(k < 3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,0137;

в) P(k ≥ 3) = 1 - P(k<3) = 1 - 0,0137 = 0,9863.

 

Моделирование дискретных случайных величин в Exel

Функция БИНОМРАСП (число __ успехов; число __ испытаний; вероятность __ успеха; интегральная) рассчитывает биномиальное распределение. Интегральная – логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент равен 1, то функция БИНОМРАСП рассчитывает интегральную функцию распределения, т.е. вероятность того, что число успешных испытаний не больше заданного значения. Если аргумент равен 0, то рассчитывается вероятность того, что число успешных испытаний в точности равно заданному числу успехов.

 Пример 8. Промышленное предприятие производит крупными партиями электрические лампочки. Отдел технического контроля из каждой партии случайным образом выбирает 100 лампочек. Партия принимается, если выборка содержит не более 3 дефектных лампочек. Какова вероятность принятия партии, если в процессе производства в среднем 0,5% лампочек дефектны?

Применительно к  статистике эту задачу можно сформулировать иначе: какова вероятность не более 3 успешных исходов в 100 независимых испытаниях Бернулли, если вероятность успешного исхода при одном испытании составляет 0,005? БИНОМРАСП (3; 100; 0,005; 1) = 0,9983. Таким образом, вероятность принятия партии составляет 99,83%.

Функция ГИПЕРГЕОМЕТ (число __ успехов в выборке; размер __ выборки; число __ успехов в совокупности; размер __ совокупности) рассчитывает гипергеометрическое распределение.

Пример 9. Из партии, содержащей 30 специальных высоконадежных электронных ламп, случайным образом выбираются и подвергаются испытаниям на долговечность 6 ламп. Если в процессе испытания ни одна лампа не выйдет из строя или выйдет из строя только одна лампа, то партия принимается. В противном случае вся партия бракуется. Какова вероятность того, что партия будет принята, если из 30 ламп 4 являются дефектными?

ГИПЕРГЕОМЕТ (0; 6; 4; 30) + ГИПЕРГЕОМЕТ (1; 6; 4; 30) = 0,388 + 0,443 = 0,831. Таким образом, с вероятностью 83,1% данная партия будет принята.

ФУНКЦИЯ ПУАССОН (количество __ событий; интенсивность __ появления событий; интегральная).

Пример 10. На станке отказ инструмента происходит в среднем 1 раз за 4 часа работы.  Требуется найти вероятность того, что за смену (8 часов) число отказов будет заключено в интервале от 2 до 4 (не менее 2 и не более 4). Очевидно, что интенсивность отказов за смену λ = 1/4 ∙ 8 = 2.

ПУАССОН (2; 2; 0) + ПУАССОН (3; 2; 0) + ПУАССОН (4; 2; 0) = 0,271 + 0,180 + 0,090 = 0,541. Таким образом, вероятность того, что за смену на станке будет не менее 2 и не более 4 отказов, равна 54,1%.

 

 

Задачи для самостоятельной  работы

Задача 1. Найти числовые характеристики случайной величины Х, заданной законом распределения:

а)	Х	4,3	5,1	10,6	-
	р	0,2	0,3	0,5	-

 

б)	Х	131	140	160	180
	р	0,05	0,10	0,25	0,60

 

Задача 2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания Х и Y:

а) Z = X + 2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3.   б) Z = 3X + 4Y, M(X) = 2, M(Y) = 6.

 

Задача 3. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х₁ = -1,      х₂ = 0, х₃ = 1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X) = 0,1 и M(X²) = 0,9. Найти вероятности р₁, р₂, р₃, соответствующие возможным значениям Х.

 

Задача  4. Случайные величины Х и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z, если известны дисперсии Х и Y:

а) Z = 3X + 2Y, D(X) = 5, D(Y) = 6.  б) Z = 2X - 3Y, D(X) = 4, D(Y) = 5.

 

Задача  5. В партии из восьми деталей пять стандартных. Наудачу взяты четыре детали. Построить:

1. ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных;
2. многоугольник распределения вероятностей;
3. интегральную функцию распределения;
4. найти числовые характеристики;
5. определить вероятность того, что в контрольной партии будет:

     а) более трех стандартных деталей;

     б) хотя бы две стандартные детали.