Физические и математические маятники. Колебания физических и математических маятников

Содержание:

1.Физические маятники

• 1Дифференциальное уравнение движения физического маятника
• 2 Центр качания физического маятника
• 2.1 Теорема Гюйгенса
• 2.1.1 Формулировка
• 2.1.2 Доказательство
• 3 Период колебаний маятника
• 3.1 Период малых колебаний физического маятника

2. Математические  маятники

• 1 Уравнение колебаний маятника
• 2 Решения уравнения движения
• 2.1 Гармонические колебания
• 2.2 Нелинейный маятник
• 2.3 Движение по сепаратрисе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Физические маятники

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

 Определения

• — угол отклонения маятника от равновесия;
• — начальный угол отклонения маятника;
• — масса маятника;
• — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
• — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
• — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Основная статья: Приведённая длина

Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение  колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

.

Полагая , предыдущее уравнение можно переписать в виде:

.

Последнее уравнение  аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной . Величина называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в  центре качания, то центр качания  будет совпадать с центром  масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен  , а момент силы тяжести относительно той же оси . Легко заметить, что уравнение движения не изменится.

Теорема Гюйгенса

Формулировка

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается  новым центром качания.

Доказательство

Вычислим приведенную  длину для нового маятника:

.

Совпадение приведённых  длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Период колебаний физического маятника

Для того, чтобы  найти период колебаний физического  маятника, необходимо решить уравнение  качания. Для этого умножим левую  часть этого уравнения на , а правую часть на . Тогда:

.

Интегрируя это  уравнение, получаем.

,

где произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты . Получаем: . Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

.

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

.

Удобно сделать  замену переменной, полагая  . Тогда искомое уравнение принимает вид:

.

Здесь — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

.

Здесь — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

 Период малых колебаний физического маятника

Если амплитуда  колебаний  мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

.

Математические  маятники.

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит^[1] от амплитуды и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

 Уравнение колебаний маятника

Колебания математического  маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где L ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

.

 Решения уравнения движения

 Гармонические колебания

Маятник, совершающий  малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для  определения закона движения маятника необходимо задать два начальных  условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

где A — амплитуда колебаний маятника, θ₀ — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

Нелинейный маятник

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

где  — это синус Якоби. Для он является периодической функцией, при малых совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр  определяется выражением

где  — энергия маятника в единицах t⁻².

Период колебаний  нелинейного маятника

где K — эллиптический интеграл первого рода.

 Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени  он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону  с нулевой скоростью, постепенно набирает её, и останавливается, возвратившись  в исходное положение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература: ru.wikipedia.org›wiki/Физический_маятник

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  МИНИСТЕРСТВО СПОРТА,ТУРИЗМА И  МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ»

 

КАФЕДРА ЕСТЕСТВЕННО – НАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ.

 

Реферат

по  физике

 

ТЕМА:

«Физические и математические маятники. Колебания  физических и математических маятников.»

                           

 

 

Выполнила студентка 2-го курса ФЗО

21АФК  группа

Гурова  Е.П.

 

Волгоград 2012г.

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                      1