Глаз

    2.2. Дифракция Фраунгофера на щели и круглом отверстии.

    Если  перед линзой расположена диафрагма  в виде узкой щели ширины D, то расчет для дифракционной картины Фраунгофера не представляет труда. В этом случае для распределения интенсивности в дифракционной картине получается выражение

     (2.2) 

    Здесь q – угловая координата плоскости наблюдения. При наблюдении дифракции в геометрически сопряженной плоскости линейная координата r связана (в случае малых углов) с угловой координатой соотношением: r = F*q. (или r = F₂*q для случая рисунка 2.2).

    Распределение l(q) имеет главный максимум при q = 0 и эквидистантно расположенные нули при sinq = ml/D, где m – целое число. Значительная часть энергии света, прошедшего через щель, локализуется в главном дифракционном максимуме, угловая полуширина которого равна l/D. Интенсивность соседнего максимума составляет приблизительно 5 % от интенсивности в центре дифракционной картины. Этот случай представляет для дифракционной теории оптических инструментов чисто методический интерес, поскольку, как правило, входные апертуры имеют вид круглых отверстий. Расчет фраунгоферовой дифракции на круглом отверстии оказывается достаточно громоздким и приводит к бесселевым функциям первого порядка I₁.

    Распределение интенсивности света при дифракции  Фраунгофера на круглом отверстии диаметра D выражается формулой

     (2.3) 

     Распределения (2.2) и (2.3) очень похожи друг на друга. Картина дифракции на круглом отверстии имеет вид концентрических колец. Центральное светлое пятно носит название пятна Эйри. Интенсивность в максимуме первого светлого кольца составляет приблизительно 2 % от интенсивности в центре пятна Эйри. Распределение (2.3) показано на рис. 2.3.

    Рисунок 2.3.

    Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии. 

    При оценке разрешающей способности  оптических инструментов важно знать  размер центрального дифракционного максимума. Угловой радиус пятна Эйри выражается соотношением

     (2.4) 

    2.3. Интенсивность света в фокусе линзы.

    Как следует из формулы (2.4), линейный размер дифракционного пятна пропорционален 1/D , а его площадь в фокальной плоскости ~ 1/D². При этом полный поток световой энергии, проходящий через линзу, изменяется пропорционально ее площади (~ D²). Таким образом, интенсивность света в фокусе (в центре пятна Эйри) изменяется прямо пропорционально D⁴. Этот результат можно строго получить методом зон Френеля. Линзу следует рассматривать, как зонную пластинку, которая компенсирует фазовые сдвиги световых колебаний в фокусе как от различных зон Френеля так и от разных элементов одной и той же зоны. На языке векторных диаграмм это означает, что линза «выпрямляет» цепочку элементарных векторов, образующих векторную диаграмму для кольцевых зон Френеля.

    Число зон Френеля, укладывающихся на линзе, в случае, когда точка наблюдения совпадает с главным фокусом, равно m = D²/4lF. Вклад одной зоны равен pA₀, где А₀ - амплитуда волны от источника. Пренебрегая закручиванием спирали, то есть считая вклады всех зон одинаковыми, получим А = mpA₀. Следовательно, выигрыш от фокусировки

     (2.5) 

где S – площадь  линзы. Из-за малого значения оптической длины волны отношение I / I₀ оказывается весьма значительным. Например, для линзы диаметром D = 5 см и фокусным расстоянием F = 50 см выигрыш от фокусировки оказывается порядка 10⁸.  

    2.4. Дифракционный предел разрешения оптических инструментов

    2.4.1. Разрешающая способность телескопа.

    Под разрешающей способностью телескопа  принято понимать разрешающую способность  его объектива. Телескопы предназначены  для наблюдения удаленных объектов (звезд). Пусть с помощью телескопа, объектив которого имеет диаметр  D, рассматриваются две близкие звезды, находящиеся на угловом расстоянии . Изображение каждой звезды в фокальной плоскости объектива имеет линейный размер (радиус пятна Эйри), равный lF/D. При этом центры изображений находятся на расстоянии y*F. Как и в случае спектральных приборов, при определении дифракционного предела разрешения используется условный критерий Рэлея (рис. 2.4). Разница состоит в том, что в случае спектральных приборов речь идет о разрешении двух близких спектральных линий по их изображениям, а в случае оптических инструментов – о разрешении двух близких точек объекта.

     Согласно критерию Рэлея, две близкие  точки объекта считаются разрешенными, если расстояние между центрами дифракционных изображений равно радиусу пятна Эйри.

    Рисунок 2.4.

    Предел  разрешения изображений двух близких  звезд по Рэлею. 

    Применение  критерия Рзлея к объективу телескопа  дает для дифракционного предела  разрешения:

     (2.6) 

    Следует отметить, что в центре кривой суммарного распределения интенсивности (рис. 2.4) имеется провал порядка 20 % и поэтому критерий Рэлея лишь приблизительно соответствует возможностям визуального наблюдения. Опытный наблюдатель уверенно может разрешать две близкие точки объекта, находящиеся на расстоянии в несколько раз меньшем y_min.

    Числовая  оценка дает для объектива диаметром D = 10 см, y_min = 6,7*10^-6 рад = 1,3”, а для D=10² см, y_min = 0,13”.

    Этот  пример показывает, насколько важны  большие астрономические инструменты. Крупнейший в мире действующий телескоп-рефлектор  имеет диаметр зеркала D = 6 м. Теоретическое  значение предела разрешения такого телескопа y_min = 0,023”. Для второго по величине телескопа-рефлектора обсерватории Маунт-Паломар с D = 5 м теоретическое значение y_min = 0,028”. Однако, нестационарные процессы в атмосфере позволяют приблизиться к теоретическому значению предела разрешения таких гигантских телескопов лишь в те редкие кратковременные периоды наблюдений. Большие телескопы строятся главным образом для увеличения светового потока, поступающего в объектив от далеких небесных объектов.  

    2.4.2. Разрешающая способность глаза.

     Все сказанное выше о пределе  разрешения объектива телескопа  относится и к глазу. На сетчатке глаза при рассмотрении удаленных  объектов формируется дифракционное  изображение. Поэтому формула (2.6) применима и к глазу, если под D понимать диаметр зрачка d_3p . Полагая d_3p = 3 мм, l = 550 нм, найдем для предельного разрешения человеческого глаза:  

    Известно, что сетчатка глаза состоит из светочувствительных рецепторов конечного  размера. Полученная выше оценка находится  в очень хорошем согласии с  физиологической оценкой разрешающей способности глаза. Оказывается, что размер дифракционного пятна на сетчатке глаза приблизительно равен размеру светочувствительных рецепторов. В этом можно усмотреть мудрость Природы, которая в процессе эволюции стремится реализовать оптимальные свойства живых организмов.  

    2.4.3. Предел разрешения микроскопа

    В случае микроскопа объект располагается  вблизи переднего фокуса объектива. Интерес представляет линейный размер деталей объекта, разрешаемых с  помощью микроскопа. Изображение, даваемое объективом, располагается на достаточно большом расстоянии L>>F. У стандартных микроскопов L = 16 см, а фокусное расстояние объектива – несколько миллиметров. Объект может располагаться в среде, показатель преломления которой n > 1 (иммерсия).

    Радиус  пятна Эйри в плоскости изображения  равен 1.22lL/D, где D – диаметр объектива. Следовательно, микроскоп позволяет разрешить две близкие точки объекта, находящиеся на расстоянии l, если центры их дифракционных изображений окажутся на расстоянии l', превышающим радиус дифракционного пятна (критерий Рэлея).

     (2.7)

Здесь u’= D/2L – угол, под которым виден радиус объектива из плоскости изображения (рис. 2.5).

    Рисунок 2.5.

    К условию синусов Аббе. 

    Чтобы перейти к линейным размерам самого объекта, следует воспользоваться  так называемым условием синусов  Аббе, которое выполняется для  любого объектива микроскопа:

     (2.8) 

При написании  последнего выражения принята во внимание малость угла u'. Отсюда для  предела разрешения объектива микроскопа получаем выражение:  

     (2.9) 

    Угол 2u называют аппретурным углом, а  произведение n*sinu – числовой апертурой. У хороших объективов угол u близок к теоретическому пределу u=p/2. Полагая для примера показатель преломления иммерсионной жидкости n = 1,5, получим оценку: l_min=0,4l. 

    2.4.4. Замечание о нормальном увеличении оптических инструментов.

    Как в телескопе, так и в микроскопе изображение, полученное с помощью  объектива, рассматривается глазом через окуляр. Для того, чтобы  реализовать полностью разрешающую  способность объектива система окуляр–глаз не должна вносить дополнительных дифракционных искажений. Это достигается целесообразным выбором увеличения оптического инструмента (телескопа или микроскопа). При заданном объективе задача сводится к подбору окуляра. На основании общих соображений волновой теории можно сформулировать следующее условие, при котором будет полностью реализована разрешающая способность объектива: диаметр пучка лучей, выходящих из окуляра не должен превышать диаметра зрачка глаза d_3p . Таким образом, окуляр оптического инструмента должен быть достаточно короткофокусным.

     Поясним это утверждение на примере  телескопа. На рис. 2.6 изображен телескопический ход лучей.

    Рисунок 2.6.

    Телескопический ход лучей

      Две близкие звезды, находящиеся  на угловом расстоянии y_min в фокальной плоскости объектива изображаются дифракционными пятнами, центры которых располагаются на расстоянии y_minF₁. Пройдя через окуляр, лучи попадут в глаз под углом y_minF₁/F₂ . Этот угол должен быть разрешимым для глаза, зрачок которого имеет диаметр d_3p. Таким образом: 
 
 

    Здесь g = F₁/F₂ – угловое увеличение телескопа. Отношение D/g имеет смысл диаметра пучка, выходящего из окуляра. Знак равенства в (4.10) соответствует случаю нормального величения.

     (2.11) 

    В случае нормального увеличения диаметр  пучка лучей, выходящих из окуляра, равен диаметру зрачка d_3p . При g>g_N в системе телескоп–глаз полностью используется разрешающая способность объектива. Аналогичным образом решается вопрос об увеличении микроскопа. Под увеличением микроскопа понимают отношение углового размера объекта, наблюдаемого через микроскоп, к угловому размеру самого объекта, наблюдаемого невооруженным глазом на расстоянии наилучшего зрения d, которое для нормального глаза полагается равным 25 см. Расчет нормального увеличения микроскопа приводит к выражению:

     (2.12) 

    Вывод формулы (2.12) является полезным упражнением для студентов. Как и в случае телескопа, нормальное увеличение микроскопа есть наименьшее увеличение, при котором может быть полностью использована разрешающая способность объектива. Следует подчеркнуть, что применение увеличений больше нормального не может выявить новые детали объекта. Однако, по причинам физиологического характера при работе на пределе разрешения инструмента целесообразно иногда выбирать увеличение, превосходящее нормальное в 2–3 раза.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Заключение