Исследование характеристик системы передачи сообщений

Значение плотности вероятности  внутри интервала от до определим из условия нормировки:

; ; ;

.

Таким образом, аналитическое выражение  для плотности распределения  вероятности случайного процесса а(t) имеет вид:

 

Тогда построим график одномерного закона распределения плотности вероятности мгновенных значений случайного процесса а(t):

Рис 2.1. график одномерного закона распределения плотности вероятности мгновенных значений случайного процесса а(t)

 

2. Найдем математическое ожидание М случайного процесса а(t):

Так как W(а) вне интервала от до равно 0, то получим:

 

       То есть получили, что среднее значение случайного процесса a(t) равно 4.2В.

Найдем дисперсию или математическое ожидание квадрата D случайного процесса a(t):

; ;

 

3 Дискретизатор

 

Дискретизация – первый шаг при  преобразовании аналогового сигнала  в цифровую форму. Передача аналоговых сигналов цифровыми методами сопровождается шумом квантования, возникающим из-за деления динамического диапазона кодека на конечное число дискретных величин (ступеней квантования).

Передача информации от источника  осуществляется по дискретной системе  связи. Для этого сообщение  a(t) в дискретизаторе квантуется по времени и по уровню равномерным шагом. Шаг квантования по уровню .

Требуется:

1)  Определить шаг квантования по времени .

2)  Определить число уровней квантования L.

3)  Рассчитать относительную мощность шума квантования, определив ее как отношение средней мощности шума квантования Р_шк к средней мощности сигнала, т.е. дисперсии σ².

4) Рассматривая дискретизатор, как дискретный источник информации с объемом алфавита L, определить его энтропию Н и производительность Н´ (отсчеты, взятые через интервал , считать независимыми).

 

1. Шаг квантования  по времени  определим из теоремы Котельникова:

2. Число уровней квантования  L при равномерном шаге =0,15 определятся как частное от деления размаха сигнала (a_max-a_min) на шаг квантования .

3. Для нахождения средней  мощности шума квантования надо  знать закон распределения шума - . Так как мгновенные значения равновероятны в заданном интервале, то закон распределения шума в интервале будет равномерным и не будет зависеть от номера интервала.

Следовательно, средняя  мощность шума квантования будет  равна:

Закон определения шума определим из условия нормировки:

; ;

Тогда средняя мощность шума квантования:

Относительную величину мощности шума квантования получим, взяв отношение Р_шк к дисперсии случайного процесса a(t):

4. Энтропия – это математическое  ожидание количества информации  или мера неопределенности сообщений.

При заданном законе распределения мгновенных значений процесса a(t) все уровни квантования равновероятны. Для этого найдем вероятность j-го уровня квантования, что равносильно вероятности попадания a(t) в интервал .

Видно, что  не зависит от j.

Тогда энтропия будет определяться как энтропия дискретного источника независимых сообщений, все символы которого вероятны:

Производительностью такого источника  будет суммарная энтропия сообщений, переданных за единицу времени:

 

 

4 Кодер

 

Шифратор (кодер) - это устройство, представляющее собой преобразователь позиционного кода в двоичный.

В кодере процесс кодирования  осуществляется в два этапа. На 1-ом этапе производится безызбыточное (примитивное) кодирование каждого уровня квантованного сообщения a(t₁) к-разрядным двоичным кодом. На 2-ом этапе к полученной к-разрядной двоичной кодовой комбинации добавляется один проверочный символ, формируемый простым суммированием по модулю 2 всех информационных символов. В результате этих преобразований на выходе кодера образуется синхронная двоичная случайная последовательность b(t) (синхронный случайный телеграфный сигнал), состоящая из последовательности биполярных импульсов единичной высоты, причем положительные импульсы в ней соответствуют нулевым символам кодовой комбинации, а отрицательные - единичным.

 

Требуется:

1) Определить минимальное значение к, необходимое для кодирования всех L уровней квантованного сообщения a(t₁).

2) Определить избыточность кода с одной проверкой на четность Р_к.

3) Записать двоичную кодовую комбинацию, соответствующую передаче a_j-го уровня, считая, что при примитивном кодировании на 1-м этапе a_j-му уровню ставится в соответствие двоичная кодовая комбинация, представляющая собой запись числа в двоичной системе.

4) Определить число двоичных символов, выдаваемых кодером в секунду V_к и длительность двоичного символа Т.

 

1. Найдем минимальное  значение к, необходимое для  кодирования всех L уровней квантованного сообщения a(t₁).

2. Определим избыточность кода с одной проверкой на четность.

n=k+1=7

3. Представим число j=29 в двоичной системе счисления:

Следовательно к-6 информационных символов кодовой комбинации будут иметь вид:

Определим проверочный символ в₇ путем суммирования по модулю 2 всех к=6 информационных символов                   

Учитывая, что правило суммирования по модулю 2 имеет вид:

       

получим, что в₇=0.

Таким образом, искомая кодовая комбинация, соответствующая передаче а₄₆ уровня квантованного сообщения, будет иметь вид:

 

4. Число двоичных символов, выдаваемых кодером в секунду  , определяется числом отсчетов (1/Δt) и числом двоичных символов n, приходящихся на один отсчет.

Длительность двоичного  символа определяется как величина, обратная

 

5 Модулятор

 

В модуляторе синхронная двоичная случайная  последовательность биполярных импульсов в(t) осуществляет манипуляцию гармонического переносчика U(t)=U_mcos(2πf₀t).

Параметры несущей:

U₀=4B,

f₀=100V_k=100*0,51*10

=510 МГц;

;

.

 

Требуется:

1. Изобразить временные диаграммы модулирующего и манипулированного сигналов, соответствующих передаче -го уровня сообщения .

2. Привести выражение и начертить график корреляционной функции модулирующего сигнала .

3. Привести выражение и начертить график спектральной плотности мощности модулирующего сигнала .

4. Определить условную ширину энергетического спектра модулирующего сигнала из условия (где выбирается от 1до 3). Отложить полученной значение на графике .

5. Записать аналитическое выражение модулированного сигнала .

6. Привести выражение и построить график энергетического спектра модулированного сигнала .

7. Определить условную ширину спектра модулированного сигнала . Отложить полученное значение на графике .

 

 

Рис.5.1. Временные диаграммы модулирующего и манипулированного сигналов

 

 

2. Для определения функции корреляции рассмотрим два сечения в моменты t₁  и t₂, (t₂ – t₁=τ) и найдем математическое ожидание произведения X(t₁)X(t₁+ τ).

Если τ>Т, то эти сечения принадлежат  разным тактовым интервалам и произведение может с равной вероятностью принимать  значения  +1 и -1, так что его  математическое ожидание равно 0.

Если τ <Т, то возможны два варианта: случай А, когда они принадлежат  одному интервалу и, следовательно, X(t₁)X(t₁+ τ)=1, и случай В, когда они принадлежат разным таковым интервалам и X(t₁)X(t₁+ τ) может с равной  вероятностью равняться +1 и -1. Поэтому при τ <Т математическое ожидание X(t₁)X(t₁+ τ) равно вероятности р(а) того, что оба сечения оказались в одном интервале. Случай А имеет место, если первое из двух сечений отстоит от начала тактового интервала не более чем Т- , а вероятность этого равна (Т- )/Т .

 

 

Тогда функция корреляции имеет  вид:    

В( )

Рис.5.2. Функция корреляции

 

3. Найдем выражение для спектральной плотности мощности модулированного сигнала по теореме Винера-Хинчина:

Так как B_b(τ)–функция четная, то

 

Возьмем интеграл по частям:

 

Построим график спектральной плотности мощности модулирующего сигнала:

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5.3. График спектральной плотности мощности модулирующего сигнала

 

4. Найдем условную ширину спектра сигнала. Под условной шириной спектра сигнала понимают полосу частот, в которой сосредоточена основная доля мощности сигнала. Чем больше выбранное значение α, тем большая доля мощности будет сосредоточена в этой полосе частот.

Пусть α=2

Определим долю мощности, сосредоточенную  в полосе частот от 0 до .

;                                 

Рассмотрим по отдельности числитель  и знаменатель этого выражения.

Возьмем этот интеграл по частям:

-интегральный синус;

 

Аналогично получим, что 

То есть получили, что 95% всей мощности сигнала приходится на полосу частот от 0 до .

Вторым способом определим условную ширину энергетического спектра сигнала:

 

5. После перекодировки  последовательности и в(t) в последовательность C(t) по правилу нулевому символу соответствует , единичному - . В дальнейшем происходит модулирование сигнала s(t) по правилу:

Пусть , тогда

При , тогда , следовательно

При , тогда , следовательно

6. При ДФМ выражение  энергетического спектра модулированного  сигнала имеет вид:           

Тогда построим график энергетического спектра модулированного сигнала G_s(f).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5.5. График энергетического спектра модулированного сигнала G_s(f)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5.6. График энергетического спектра модулированного сигнала G_s(f) (1)

 

Рис.5.7. График энергетического спектра модулированного сигнала G_s(f) (2)

 

     7. Условная ширина энергетического спектра будет в 2 раза больше условной ширины энергетического спектра модулирующего сигнала:

   ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 Канал связи

 

Характеристики системы связи в значительной мере зависят от параметров канала вязи, который используется для передачи сообщений. Исследуя пропускную способность канала, считается, что его параметры сохраняются постоянными. Однако большинство реальных каналов обладают переменными параметрами. Параметры канала, как правило, изменяются во времени случайным образом. Случайные изменения коэффициента передачи канала m вызывают замирания сигнала, что эквивалентно воздействию мультипликативной помехи.