Исследование поведения неподвижной и подвижной центроид в зависимости от геометрического параметра

Министерство образования  и науки Российской Федерации 

Уральский федеральный  университет имени первого Президента РФ Б.Н. Ельцина

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра механики и математического  моделирования

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

Исследование поведения неподвижной и подвижной центроид в зависимости от геометрического параметра.

 

 

 

 

 

Исполнитель:

 

 

 

 

Екатеринбург 2011

Подвижная и неподвижная центроиды.

Геометрическую картину  движения плоской фигуры в её плоскости  можно представить с помощью  так называемых центроид. При движении плоской фигуры положение мгновенного центра вращения будет непрерывно изменяться как на неподвижной плоскости, так и на плоскости, связанной с движущейся фигурой.

Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости есть, следовательно, непрерывная кривая, которая называется неподвижной центроидой (или неподвижной полодией). Геометрическое место мгновенных центров вращения на подвижной плоскости, связанной с движущейся фигурой, есть также непрерывная кривая, которая называется подвижной центроидой (или подвижной полодией). ¹

При плоском движении твердого тела подвижная центроида катится  без скольжения по неподвижной. Точка  соприкосновения подвижной и  неподвижной центроид является в  данный момент мгновенным центром скоростей. Центроиды можно определить геометрическим построением или аналитически.

Геометрический способ нахождения подвижной и неподвижной центроид заключается в следующем. Для  произвольного положения плоской  фигуры или механизма находится  мгновенный центр скоростей (точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю,  находится как пересечение перпендикуляров к направлениям каких-нибудь двух точек фигуры). Далее, из построения определяется геометрическое место мгновенных центров при заданном движении плоской фигуры, как по отношению к неподвижной системе координат, так и по отношению к осям, жестко связанным с движущейся фигурой.

Аналитическое определение подвижной  и неподвижной центроид производится при помощи формул, дающих значение координат мгновенного центра скоростей. Координаты мгновенного центра скоростей в неподвижной системе осей выражаются так:

                                                          (1)

                                                             (2)

Координаты мгновенного  центра скоростей в системе координат  жестко связанных с плоской фигурой, определяются формулами:

                                                   (3)

                                                    (4)

В этих формулах  ,   - координаты полюса, начало подвижной системы координат,   ,  - проекции скорости полюса на неподвижные оси,  - угол поворота подвижной системы координат по отношению к неподвижной, - проекция угловой скорости плоской фигуры на ось z, перпендикулярную к плоскости, в которой происходит движение.

Переменные, находящиеся  в правой части этих формул, являются явными функциями времени или  выражаются через параметры, зависящие  от времени. Решая совместно уравнения (1) , (2) и ,исключая время, находим уравнение неподвижной центроиды.  Решаем систему уравнений (3), (4). Исключая время, определяем зависимость между координатами , , то есть уравнение подвижной центроиды в явной форме.

В некоторых задачах для нахождения уравнений неподвижной и подвижной центроид удобнее пользоваться полярной системой координат.

При решении задач  на определение подвижной и неподвижной  центроид рекомендуется следующая  последовательность действий:

1. выделить плоскую фигуру, для которой требуется найти подвижную и неподвижную центроиды;
2. выбрать 2 системы координат, неподвижную и подвижную, жестко связанную с движущейся плоской фигурой;
3. найти построением или пользуясь формулами (1), (2) мгновенный центр скоростей для произвольного положения плоской фигуры;
4. составить зависимость координат мгновенного центра, исключив переменный параметр и найти уравнение неподвижной центроиды в явном виде;
5. решив совместно уравнения, выражающие координаты мгновенного центра, исключить переменный параметр и найти уравнение неподвижной центроиды в явном виде;
6. пользуясь формулами (3), (4) или геометрическим построением мгновенного центра скоростей, составить зависимость координат мгновенного центра скоростей в подвижной системе координат от какого-либо переменного параметра движения;
7. решив совместно эти уравнения и исключив переменный параметр, определить уравнение подвижной центроиды в явном виде.²

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.³

Кривошипно-шатунный механизм состоит из кривошипа ОА=r, вращающегося вокруг неподвижной точки О, шатуна AB=l и ползуна B, перемещающегося по горизонтальной прямой Ox. Угол поворота кривошипа , где k – постоянный коэффициент.

Исследовать поведение  подвижной и неподвижной центроид при изменении геометрического параметра l.

Решение.

 

Начало неподвижной  системы координат Oxy выбираем в т. О. Для подвижной системы осей начало берем в т. А, направляем вдоль шатуна AB.  Геометрически отметим мгновенный центр скоростей P.

Координаты точки А:

                                              (5)

Проекции её скорости на неподвижные оси координат:

                                                        (6)

Выразим ординату точки А через угол поворота шатуна, чтобы найти его угловую скорость:

                               (7)

Продифференцируем последнее равенство, учитывая, что

                                         (8)

Отсюда

                                                 (9)

Найдем  из треугольника BNA:

                                                      (10)

Тогда

                                                  (11)

 

Подставляем полученные значения в (1) и (2) , (3) и (4):

                      (12)

 

       (13)

    

 

 

 

Находим уравнение неподвижной  и подвижной центроид в параметрической форме:

                                       (14)

 

                      (15)

 

Пусть k=1, r=5. Построим подвижную и неподвижную центроиды, когда

    и     l > r

                                                                                                                     (рисунок 1.1)

   

 

 

 

                                                                                                                     (рисунок 1.2)

 

 

                                                                                                                       (рисунок 1.3)

 

                                                                                                      (рисунок 1.4)

 

 

 

Из построения видно, что длину шатуна взять больше, чем длина кривошипа  r и постепенно её уменьшать до r, то кривые центроид сомкнуться в окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.⁴

Стержень AB длины l скользит по двум прямым OA и OB, образующими между собой угол .

Исследовать поведение  подвижной и неподвижной центроид при изменении геометрического  параметра , .

Решение.

 

Начало неподвижной системы координат Oxy  выбираем в т. О. Для подвижной системы осей начало берем в т. (серединa стержня AB), направляем вдоль стержня AB. - угол между стержнем AB и прямой OA. Геометрически отметим мгновенный центр скоростей P.

PC перпендикулярно AB.

Заметим, что  !

Для определения зависимости  между координатами неподвижной  центроиды запишем теорему синусов

для треугольника AOB:

                                                           (16)

 

и для треугольника APB:

                                                          (17)

Отсюда

                                                   (18)

Тогда уравнение неподвижной  центроиды будет иметь вид:

                                                (19)

Для определения зависимости  между координатами подвижной центроиды рассмотрим

треугольник APC:

                                         (20)

отсюда 

                                             (21)

и треугольник CPB:

                               (22)

Преобразуем:

                           (23)

    (24)

 

 

Подставим (21) в (24):

        (25)

Преобразуем и получим уравнение подвижной центроиды:

                                (26)

Пусть 1=10. Построим подвижную и неподвижную центроиды, зафиксировав момент времени, когда при различных

                                                                                                                         (рисунок 2.1)

 

 

                                                                                                                (рисунок 2.2)

                                                                                                                (рисунок 2.3)

 

                                                                                                                (рисунок 2.4)

 

Из построения видно, что обе кривые не меняют вида, в  зависимости от параметра  , меняется только размер окружностей центроид.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.⁵

Стержень согнутый в виде прямого угла ABC перемещается так, что точка А движется по оси x, а сторона BC все время проходит через неподвижную точку D на оси y. AB=OD=a.

Исследовать поведение  подвижной и неподвижной центроид при изменении геометрического параметра a.

Решение.

 

 

 

Начало подвижной системы  координат возьмем в точке B, направляем по BA.

Отметим геометрически  мгновенный центр скоростей P.

Заметим, что прямоугольные  треугольники ABE и OED равны, так как

равны углы AEB и OED и AB=OD, а поэтому из равенства треугольников APE и PED имеем, что PD=AP=

Тогда из треугольника PDK имеем:

                                     (27)

 

И уравнение неподвижной центроиды примет вид:

                                                            (28)

 

Построив теперь координаты P в подвижной системе координат будем иметь:

                                                             (29)

Проведем отрезок AL параллельный BD, тогда

Тогда из треугольника APL имеем:

                                (30)

И уравнение подвижной  центроиды примет вид:

                                                 (31)

Построим подвижную  и неподвижную центроиды, рассматривая момент времени, когда динамический параметр угол EMO= будет равным, к примеру, , а геометрический параметр a будем менять.

 

 

 

 

                                                                                                                                (рисунок 3.1)

 

 

 

                                                                                                                            (рисунок 3.2)