Исследование реакции электрической цепи на внешнее воздействие
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Сентября 2015 в 23:54, курсовая работа
Описание работы
Цель – исследование реакции электрической цепи на внешнее воздействие при помо-
щи средств системы MathCad.
В курсовой работе ставятся следующие задачи:
– при помощи системы MathCad рассчитать значения функции реакции q(t) на внеш-
нее воздействие L(t);
– исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции q(t);
– построить аналитические аппроксимирующие функции влияния изменяемого параметра на зависимость q(t).
Содержание работы
ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................................................3
1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ................4
1.1
Понятие математической модели, их классификация и свойства ............................4
1.2
Система MathCad. Основные функции .......................................................................7
2 АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ....................................................................11
2.1
Полная постановка задачи..........................................................................................11
2.2
Графическая схема алгоритма и ее описание...........................................................12
3 ОПИСАНИЕ РЕАЛИЗАЦИИ В СИСТЕМЕ MATHCAD................................................14
3.1
Описание реализации базовой модели в MathCad ...................................................14
3.2
Описание исследований в MathCad...........................................................................15
3.3
Аппроксимация результатов в MathCad....................................................................16
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................................18
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ..................................................................19
Приложение А Базовая модель………………………………………………………………..20
Приложение Б Исследования………………………………………………………………….22
Приложение В Аппроксимация………………………………….……………………………27
Файлы: 1 файл
2
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................................................3
1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ................4
1.1
Понятие математической модели, их классификация и свойства ............................4
1.2
Система MathCad. Основные функции .......................................................................7
2 АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ....................................................................11
2.1
Полная постановка задачи..........................................................................................11
2.2
Графическая схема алгоритма и ее описание...........................................................12
3 ОПИСАНИЕ РЕАЛИЗАЦИИ В СИСТЕМЕ MATHCAD................................................14
3.1
Описание реализации базовой модели в MathCad ...................................................14
3.2
Описание исследований в MathCad...........................................................................15
3.3
Аппроксимация результатов в MathCad....................................................................16
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................................18
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ..................................................................19
Приложение А Базовая модель………………………………………………………………..20
Приложение Б Исследования………………………………………………………………….22
Приложение В Аппроксимация………………………………….……………………………27
Изм. Лист
№ докум.
Подп. Дата
Лит.
Лист
Листов
2
УО ГГТУ
им. П.О. Сухого
Пояснительная записка
Разраб.
Проверил
Миронов
3
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы заключается в необходимости выполнять исследования всевоз-
можных процессов как в научной, так и в инженерной сферах деятельности. Исследова-
ния удобнее всего производить не над непосредственным объектом, а над его моделью,
отражающей наиболее существенные для исследователя свойства объекта.
В последнее время в связи с широким распространением персональных вычислитель-
ных компьютеров широкое распространение получили численные методы моделирования.
Одним из наиболее простых и удобных в использовании программных пакетов в данной
сфере является продукт фирмы MathSoft – математический пакет MathCad. При помощи
данного пакета может решаться самый широкий круг задач, связанный с математическим
моделированием.
Mathcad – это популярная система компьютерной математики, предназначенная для
автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях
науки, техники и образования.
При помощи встроенных функций системы MathCad можно определять коэффициен-
ты различных регрессий; строить графики функций, вычислять сложные математические
формулы.
Объект исследования – электрическая цепь.
Предмет исследования – реакция электрической цепи на внешнее воздействие.
Цель – исследование реакции электрической цепи на внешнее воздействие при помо-
щи средств системы MathCad.
В курсовой работе ставятся следующие задачи:
– при помощи системы MathCad рассчитать значения функции реакции q(t) на внеш-
нее воздействие L(t);
– исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции q(t);
– построить аналитические аппроксимирующие функции влияния изменяемого па-
раметра на зависимость q(t).
4
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
1.1 Понятие математической модели, их классификация и свойства
Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Модели-
рование – это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А
называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б – моделью. Дру-
гими словами, модель – это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изу-
чение некоторых свойств оригинала [1, с. 38].
Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использова-
ние информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой;
а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения
объекта.
Моделирование широко используются в различных сферах человеческой деятельно-
сти, особенно в сферах проектирования и управления, где особенными являются процессы
принятия эффективных решений на основе получаемой информации.
Модель всегда строится с определенной целью, которая оказывает влияние на то, ка-
кие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие – нет. Модель
представляет собой как бы проекцию объективной реальности под определенным углом
зрения. Иногда в зависимости от целей можно получить ряд проекций объективной реаль-
ности, вступающих в противоречие. Это характерно, как правило, для сложных систем, у
которых каждая проекция выделяет существенное для определенной цели из множества
несущественного.
Теорией моделирования является раздел науки, изучающий способы исследования
свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В
основе теории моделирования лежит теория подобия. При моделировании абсолютное по-
добие не имеет места и лишь стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отобра-
жала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может
иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.
Все модели можно разделить на два класса [2, с. 54]:
– вещественные;
– идеальные.
В свою очередь вещественные модели можно разделить на:
– натурные,
– физические,
– математические.
Идеальные модели можно разделить на:
– наглядные,
5
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
– знаковые,
– математические.
Вещественные натурные модели – это реальные объекты, процессы и системы, над
которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.
Вещественные физические модели – это макеты, муляжи, воспроизводящие физиче-
ские свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые,
электрические, световые модели).
Вещественные математические – это аналоговые, структурные, геометрические, гра-
фические, цифровые и кибернетические модели.
Идеальные наглядные модели – это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги,
структурные и геометрические модели.
Идеальные знаковые модели – это символы, алфавит, языки программирования, упо-
рядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.
Идеальные математические модели – это аналитические, функциональные, имитаци-
онные, комбинированные модели.
В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (напри-
мер – аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мыслен-
ных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека [2, с. 64].
Остановимся на одном из наиболее универсальных видов моделирования – математи-
ческом, ставящим в соответствие моделируемому физическому процессу систему матема-
тических соотношений, решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении
объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэф-
фективной.
Математическое моделирование – это средство изучения реального объекта, процесса
или системы путем их замены математической моделью, более удобной для эксперимен-
тального исследования с помощью ЭВМ.
По принципам построения математические модели разделяют на [3, с. 97]:
– аналитические;
– имитационные.
В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов
или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей.
Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической про-
блемы:
– уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),
аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, численное интегрирова-
ние и дифференцирование);
– задачи оптимизации;
6
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
– стохастические проблемы.
Однако по мере усложнения объекта моделирования построение аналитической моде-
ли превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда исследователь вынужден исполь-
зовать имитационное моделирование.
В имитационном моделировании функционирование объектов, процессов или систем
описывается набором алгоритмов. Алгоритмы имитируют реальные элементарные явле-
ния, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и после-
довательности протекания во времени. Имитационное моделирование позволяет по ис-
ходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные
моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем
здесь затруднительно. Можно сказать, что имитационные модели – это проводимые на
ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями, имитирующими по-
ведение реальных объектов, процессов или систем.
В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математиче-
ские модели могут быть:
– детерминированные:
– стохастические.
В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздей-
ствий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установ-
ленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминирован-
ных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравне-
ния, матричная алгебра.
Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объ-
ектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической
статистики.
По виду входной информации модели разделяются на:
– непрерывные,
– дискретные.
Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи ус-
тойчивы, то модель – непрерывная. И наоборот, если информация и параметры – дискрет-
ны, а связи неустойчивы, то и математическая модель – дискретная.
По поведению моделей во времени они разделяются на:
– статические,
– динамические.
Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-
либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или
системы во времени.
7
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
1.2 Система MathCad. Основные функции
Программа Mathcad – это мощный и эффективный инструмент количественного пред-
ставления и исследования аналитических моделей. Особенностью этой программы явля-
ется наличие "умного" рабочего поля (woprksheet), позволяющего ставить Mathcad задачи
и получать решения в форме, близкой к привычной математической [4, с. 98].
К основным элементам математических выражений MathCAD относятся типы дан-
ных, операторы, функции и управляющие структуры.
Операторы – элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математиче-
ские выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки
вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т.д.
Оператор определяет:
– действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операн-
дов;
– сколько, где и какие операнды должны быть введены в оператор. Операнд – число
или выражение, на которое действует оператор.
Например, в выражении 5! + 3 число 3 и выражение 5! – операнды оператора +
(плюс), а число 5 операнд оператора факториал (!). После указания операндов операторы
становятся исполняемыми по документу блоками.
К типам данных относятся числовые константы, обычные и системные переменные,
массивы (векторы и матрицы) и данные файлового типа.
Константами называют поименованные объекты, хранящие некоторые значения, ко-
торые не могут быть изменены. Переменные являются поименованными объектами,
имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения програм-
мы. Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми,
строковыми, символьными и т. д. Имена констант, переменных и иных объектов называют
идентификаторами. Идентификаторы в MathCAD представляют собой набор латинских
или греческих букв и цифр.
В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести
ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после
запуска программы. Их правильнее считать системными переменными, имеющими пре-
допределенные системой начальные значения.
Обычные переменные отличаются от системных тем, что они должны быть предвари-
тельно определены пользователем, т. е. им необходимо хотя бы однажды присвоить зна-
чение. В качестве оператора присваивания используется знак :=, тогда как знак = отведен
для вывода значения константы или переменной.
8
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
При решении дифференциального уравнения искомой величиной является функция.
Для ОДУ неизвестная функция – функция одной переменной. Дифференциальные уравне-
ния в частных производных – это дифференциальные уравнения, в которых неизвестной
является функция двух или большего числа переменных. Mathcad имеет ряд встроенных
функций, предназначенных для решения ОДУ. Каждая из этих функций предназначена
для численного решения дифференциального уравнения. В результате решения получает-
ся матрица, содержащая значения функции, вычисленные на некотором множестве точек
(на некоторой сетке значений). Для каждого алгоритма, который используется при реше-
нии дифференциальных уравнений, Mathcad имеет различные встроенные функции. Не-
смотря на различные методы поиска решения, каждая из этих функций требует, чтобы
были заданы по крайней мере следующие величины, необходимые для поиска решения:
– начальные условия;
– набор точек, в которых нужно найти решение;
– само дифференциальное уравнение, записанное в некотором специальном виде.
Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, которое не содержит
производных выше первого порядка от неизвестной функции [4, с. 227].
Функция rkfixed использует для поиска решения метод Рунге-Кутты четвертого по-
рядка. В результате решения получается матрица, имеющая два следующих столбца:
– первый столбец содержит точки, в которых ищется решение дифференциального
уравнения;
– второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.
Функция rkfixed имеет следующие аргументы [5, с. 230]:
rkfixed ( y, x1, x2, npoints, D)
y – вектор начальных условий размерности n, где n – порядок дифференциально-
го уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравне-
ний). Для дифференциального уравнения первого порядка вектор начальных
значений вырождается в одну точку y
0
= y(x1);
x1, x2 – граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных
уравнений. Начальные условия, заданные в векторе y, – это значение решения
в точке x1;
npoints – число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное
решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1 + npoints)
в матрице, возвращаемой функцией rkfixed;
D (x, y) – функция, возвращающая значение в виде вектора из n элементов, содержа-
щих первые производные неизвестных функций.
Наиболее трудная часть решения дифференциального уравнения состоит в определе-
нии функции D(x,y), которая содержит вектор первых производных от неизвестных функ-
9
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
ций. Иногда, особенно в случае нелинейных дифференциальных уравнений, это может
быть трудно. В таких случаях иногда удаётся разрешить уравнение относительно в сим-
вольном виде и подставить это решение в определение для функции D(x,y). Для этого
можно использовать команду Решить относительно переменной из меню Символика.
Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные отличия от уравнения пер-
вого порядка состоят в следующем:
– вектор начальных условий y теперь состоит из двух элементов: значений функции и
её первой производной в начальной точке интервала x1;
– функция D(t, y) является теперь вектором с двумя элементами
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
)(
''
)(
'
)
,(
t
y
t
y
y
t
D
;
(1.1)
– матрица, полученная в результате решения, содержит теперь три столбца: первый
столбец содержит значения t, в которых ищется решение; второй столбец содержит
y(t); и третий – y'(t).
Для аналитического описания полученных экспериментальных данных, как правило,
выполняется их регрессионный анализ и осуществляется подбор аппроксимирующей
функции, наиболее точно отражающей полученной закономерности [4, с. 182].
Математически постановка задачи регрессии сводится к следующему. Пусть есть набор
точно определенных значений x
i
, и соответствующих им неточных значений y
i
. Предпола-
гается, что существует некоторая зависимость f(x, a0, a1,…,ak), которая может рассматри-
ваться как приближение к зависимости y(x), чьи точки представлены как y
i
(x
i
). Тогда будет
верным выражение
ξ
+
=
)
,...,
,
,
(
ak
a
a
x
f
y
i
i
1
0
.
(1.2)
Здесь
ξ
– независимые случайные величины, с некоторым (чаще всего нормальным)
законом распределения, определяющие погрешность задания y
i
. Обычно они являются
следствием ошибок эксперимента. Задача регрессии заключается в том, чтобы найти па-
раметры a0, a1, …, ak такими, при которых представление y(x) функции имело наимень-
шую среднеквадратичную погрешность. Для этого нужно минимизировать функцию
∑
−
=
Φ
2
1
0
1
0
)
)
,...,
,
,
(
[
)
,...,
,
(
i
i
y
ak
a
a
x
f
ak
a
a
(1.3)
К примеру, для линейной регрессии вида
x
a
a
x
f
⋅
+
=
1
0
)
(
надо минимизировать выра-
жение
∑
−
⋅
+
=
Φ
2
1
0
1
0
]
[
)
,
(
i
y
x
a
a
a
a
.
Величины a0 и a1 находят решением уравнений
0
0
=
∂
Φ
∂
a
и
0
1
=
∂
Φ
∂
a
.
(1.4)
В курсовой работе анализ заданных графиков производился с использованием такого
мощного средства MathCad, как линейной функции регрессии общего вида. Данный вид
10
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
регрессии означает, что заданная совокупность точек приближается функцией вида
)
(
...
)
(
)
(
)
,...,
,
,(
x
F
k
x
F
k
x
F
k
k
k
k
x
F
n
n
n
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
2
2
1
1
2
1
.
(1.5)
То есть функция регрессии является линейной комбинацией функций
)
(x
F
1
,
)
(x
F
2
, … ,
)
(x
F
n
.
(1.6)
Сами функции могут быть нелинейными, что резко расширяет возможности такой ап-
проксимации.
Для реализации линейной регрессии общего вида используется функция linfit(X,Y,F),
которая возвращает вектор коэффициентов линейной регрессии общего вида K, при кото-
ром среднеквадратичная погрешность приближения облака исходных точек, координаты
которых хранятся в векторах X и Y, оказывается минимальной. Вектор F должен содер-
жать функции
)
(x
F
1
,
)
(x
F
2
, … ,
)
(x
F
n
, записанные в символьном виде.
Кроме того, при разработке моделей, широко используется методика решения систем
нелинейных уравнений
Под нелинейной регрессией общего вида подразумевается нахождение вектора К па-
раметров произвольной функции
)
,...,
,
,
(
Kn
K
K
x
F
2
1
,
(1.7)
при котором обеспечивается минимальная среднеквадратическая погрешность приближе-
ния "облака" исходных точек.
Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется функция
genfit(X,Y,S,F) [5, с. 309]. Она возвращает вектор K параметров функции F, дающий ми-
нимальную среднеквадратичную погрешность приближения функцией F(x,K1,K2,…,Kn)
исходных данных. F должен быть вектором с символьными элементами, причем они
должны содержать уравнение исходной функции и ее производных по всем параметрам.
Вектор S должен содержать начальные значения элементов вектора K, необходимые для
решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным методом.
11
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
2 АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ
2.1 Полная постановка задачи
Исходные данные для курсовой работы:
С – значение емкости конденсатора, мкФ;
R – исходное сопротивление, Ом;
L(t) – исходная функция индуктивности, Гн;
С
0
– параметр функции емкости, мкФ;
ω – частота изменения емкости, рад/с;
q
0
– начальное значение заряда на конденсаторе, Кл;
Т – время исследования, мкс.
Значения исходных данных приведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1 – Исходные данные для расчетов (ω = 314)
№
варианта
C,
Ф
R,
Ом
q
0
,
Кл
L
0
,
Гн
T,
с
Функция для
решения ДУ
Вид аппроксими-
рующей зависимости
и функция Mathcad
для аппроксимации
Варьируемый пара-
метр и диапазон его
изменения
14
10
-5
14 1,1·10
-6
0,19 0,043
rkfixed
ax + b
genfit
C=(0,5…2)·10
-5
Электрическая цепь, приведенная на рисунке 2.1, состоит из линейных неизменных во
времени С и R и изменяющейся во времени индуктивности по закону
(
)
t
L
L
ω
2
cos
05
.0
1
0 −
=
(2.1)
и описывается дифференциальным уравнением вида
0
)(
2
=
+
+
t
C
q
dt
dq
R
dt
q
d
L
.
(2.2)
Требуется:
1) с использованием системы MathCAD рассчитать значения функции заряда на кон-
денсаторе в заданной электрической схеме. Построить графики функции емкости
Рисунок 2.1 – Схема исследуемой электрической цепи
C
L
R
12
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
конденсатора и функции заряда.
2) исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции заряда на
конденсаторе.
3) построить сводный график всех полученных функций заряда на одном поле.
4) подобрать аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследова-
ний пункта 2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.
2.2 Графическая схема алгоритма и ее описание
Опишем последовательность реализации математической модели (рисунок 2.2).
Вводим исходные данные, приведенные в таблице 2.1 и в формуле (2.1), и решаем
дифференциальное уравнение (2.2), описывающее значение функции q(t) в зависимости от
L(t) при заданном значении емкости С. Решение производим при помощи встроенной в
MathCad функции rkfixed (блоки 1 – 2).
Далее выполняем построение полученной графической зависимости q(t) для заданно-
го исследуемого промежутка времени (0; T) и определяем минимальное значение заряда q
(блок 3).
Задаем значения варьируемого параметра С (блок 4) для дальнейшего решения диф-
ференциальное уравнение (2.2) для каждой из величин.
После получения зависимости задаем значения варьируемого параметра
С: С1, С2, ... , С11 и путем решения дифференциального уравнения функцией rkfixed по-
лучаем вектора значений исследуемого параметра q1, q2, ... , q11 для каждого из этих па-
раметров на заданном промежутке времени (0; Т) (блоки 5 – 10).
Строим на одном графике зависимость q(t) при различных значениях С – сводный
график зависимости q(t) (блок 11).
Для построения на одном графике минимальных значений q(t) на исследуемом интер-
вале при различных С, задаем вектора Сv и minqv. Полученную зависимость отображаем
на графике в виде точек (блоки 12 – 13).
Строим для исследуемого интервала график зависимости минимальных значений q(t)
от варьируемого параметра С. Далее выполняем аппроксимацию значений между векто-
рами Сv и minqv при помощи функции заданного вида ax + b. При помощи встроенной
функции genfit определяем неизвестные параметры a и b. Полученный график аппрокси-
мирующей функции строим на том же рисунке, что и исходная зависимость (блок 14).
Выполняем анализ полученных результатов и делаем вывод о степени соответствия
аппроксимирующей функции экспериментальным данным (блок 15).
13
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
Рисунок 2.2 – Графическая схема алгоритма
Решение дифференциального уравнения (2.2) для заданного С
Выполняем опыт номер i
Решение дифференциального уравнения (2.2) для нового Сi
Получение результирующего вектора qi для исследуемого интервала (0; Т)
пока i ≤ 11
i=i+1
Да
Нет
Задание вектора Сv со значениями варьируемого параметра С
Задание вектора minqv c минимальными значениями qi
Анализ полученных результатов
Ввод исходных данных: таблица 2.1 и формула (2.1)
Начало
Конец
i = 1
Построение графика q(t)
Задание значений варьируемого параметра С: С1,С2,...С11
Построение сводного графика всех qi
на заданном интервале (0; Т)
Построение значений minqv и функции регрессии
на одном графике
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
5
4
3
2
1
0
6
14
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
3 ОПИСАНИЕ РЕАЛИЗАЦИИ В СИСТЕМЕ MATHCAD
3.1 Описание реализации базовой модели в MathCad
Базовая модель выполнения расчётов, приведенная в приложении А, состоит из:
– исходного емкости конденсатора (С);
– исходного сопротивления (R);
– исходной функции индуктивности ( L(t) );
– параметра функции индуктивности (L0);
– частоты изменения индуктивности (ω);
– начального значения заряда на конденсаторе (q);
– времени исследования (T);
– системы решения дифференциального уравнения для заданного С для функции q(t);
– вычисления минимального значения функции q(t);
График функции переменной индуктивности представлен на рисунке 3.1.
При решении базовой модели получили функцию заряда конденсатора, график кото-
рой представлен на рисунке 3.2.
Рисунок 3.1 – График функции индуктивности от времени
Рисунок 3.2 – График функции заряда конденсатора базовой модели
15
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
Согласно построенному графику можно сделать вывод, что на рассматриваемом от-
резке времени [0; T] функцию функция индуктивности изменяется по синусоидальному
закону.
Под влиянием изменяющейся индуктивности функция заряда конденсатора q(t) изме-
няется периодически с затухающей амплитудой, достигая своего минимального значения
=
)
min(q
-0,9648 мкКл.
3.2 Описание исследований в MathCad
Опишем алгоритм проведения исследований, приведенных в приложении Б:
– ввод исходных данных для варьируемого параметра;
– решение дифференциальное уравнения (2.2) на интервале [0, T] с помощью функ-
ции rkfixed;
– по результатам решения уравнений строим графики зависимости заряда конденса-
тора от времени и выполняем аппроксимацию полученных данных.
Таким образом, вначале выполняем решение дифференциального уравнения (2.2) для
11 значений варьируемого параметра С от 5 до 20 мкФ с шагом 1,5 мкФ. При каждом ре-
шении уравнения определение минимального значения заряда конденсатора.
Строим графики всех полученных в результате решения дифференциального уравне-
ния (2.2) функций заряда конденсатора в одной графической области.
Задаем зависимости минимального заряда конденсатора от значений варьируемого
параметра С в виде двух векторов: Сv – взначения варьируемого параметра в возрастаю-
щем порядке, minqv – соответствующие минимальные значения заряда конденсатора для
заданного интервала времени, полученные при выполнении второй части задания. Опре-
деление коэффициентов аппроксимацией при помощи функции genfit пакета MathCad.
Строим графиков исходной и аппроксимирующей зависимостей.
Варьируя значениями параметра С и решаем полученные дифференциальные уравне-
ния. Для полученных начальных условий строим сводный график зависимости заряда на
конденсаторе от времени при различных значениях C (рисунок 3.3) согласно полученным
в приложении Б результатам.
Из графика делаем вывод, что при увеличении параметра C в диапазоне от 5 до
20 мкФ минимальное значение функции q(t) увеличивается с -0,9992 до -0,91 мкКл, как
это показывает результат численного расчета на рисунке 3.4.
16
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
Рисунок 3.3 – Сводный график функций заряда конденсатора
3.3 Аппроксимация результатов в MathCad
Согласно заданию, производим аппроксимацию значений, представленных на рисун-
ке 3.4 при помощи функции регрессии вида f(x) = ax + b. В результате использования
функций genfit получим общий вид аппроксимирующей функции (приложение В):
3
6
( ) 5,847 10
1,025 10
f x
x
−
−
=
⋅
⋅ −
⋅
.
(3.1)
Расчетные точки зависимости Cv и minqv представлены на рисунке 3.5 вместе с ап-
проксимирующей их функцией. Как видно из рисунка, функция аппроксимации удовле-
творительно описывает характер зависимости на заданном промежутке значений. Для по-
лучения численных значений за пределами исследуемого промежутка следует выбрать
другой вид аппроксимирующей функции.
17
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
Рисунок 3.4 – Минимальное значение исследуемого параметра q(t)
Рисунок 3.5 – Зависимость минимального заряда от варьируемого параметра
и график аппроксимирующей функции
18
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В курсовой работе c использованием системы MathCAD рассчитаны значения функ-
ции заряда конденсатора q(t) при изменяющейся индуктивности L(t).
Под влиянием изменяющейся индуктивности функция заряда конденсатора q(t) изме-
няется периодически с затухающей амплитудой колебаний, достигая своего минимально-
го значения
7
min
8,417 10
q
−
= −
⋅
Кл.
Исследовано влияние значений изменяемого параметра на вид функции реакции q(t):
при увеличении параметра С при постоянных прочих параметрах, значение функции q(С)
увеличивается. Для сравнения построен сводный график всех полученных функций на
одном поле.
Исследовано влияние значений изменяемого параметра на минимальное значение ве-
личины заряда q(t). При увеличении параметра С в диапазоне от C в диапазоне от 5 до
20 мкФ минимальное значение функции q(t) увеличивается с -0,9992 до -0,91 мкКл.
Минимальное значение функции заряда q
min
от емкости С аппроксимировано функции
регрессии заданного вида: полученный вид функции
3
6
( ) 5,847 10
1,025 10
f x
x
−
−
=
⋅
⋅ −
⋅
.
Полученная аппроксимирующая функция удовлетворительно описывает характер за-
висимости на исследуемом промежутке значений. Для получения численных значений за
пределами исследуемого промежутка следует выбрать другой вид аппроксимирующей
функции.
19
Изм. Лист
№ докум.
Подп.
Дата
Лист
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Дьяконов, В.П. Новые информационные технологии. Основы математики и мате-
матическое моделирование: учебное пособие / В.П. Дьяконов, И.В. Абраменкова,
А.А. Пеньков. Смоленск: СГПУ, 2003. 422 с.
2. Бородич, Л.И. Справочное пособие по приближенным методам решения задач
высшей математики / Л.И. Бородич, А.И. Герасимович. М.: Высш. шк., 1986. 194 с.
3. Волков, Е.А. Численные методы: уч. пос. для вузов / Е.А. Волков. М.: Наука, 1987.
346 с.
4. Самарский, А.А. Численные методы: уч. пос. для вузов / А.А. Самарский,
А.В. Гулин. М.: Наука, 1989. 390 с.
5. Плис А.И. Сливина Н.А. Mathcad 14: математический практикум / А.И. Плис,
Н.А. Сливина. М.: Наука, 2008. 682 с.
Информация о работе Исследование реакции электрической цепи на внешнее воздействие