Максвелл теңдеулері

КІРІСПЕ

 

Электродинамика физикалық  құбылыстардың өте кең аумағын  қамтиды. Ол макроскопиялық өрістерге, токтарға, зарядтар үлестірімдігіне  арналған кез келген есепті теориялық жолмен шеше алады. Осы тұрғыдан ол механика саласы сияқты теорияның ең көрнекті моделі болып табылады. Ол белгілі бір құбылыстарды, жеке заңдарды түсіндіріп қана қоймай, жаңа эффектілерді болжауға да шамасы жетеді. Мысалы: Максвелдің электромагниттік толқындардың мүмкіндігі жөніндегі болжамы дәлелденіп қана қоймай, жарықтың теориясына айналды.

Зарядталған бөлшектер өзара  әсерлеседі. Олардың әсерін алыстан  бір-біріне жеткізіп тұрған материалдық орта – өріс болу керек. Зарядтар төңірегіндегі өрісті – электромагниттік өріс деп атайды. Зарядтардың өзара әсерлесуі олар орналасқан кеңістіктегі болатын өзгерістер арқылы іске асырылады. Кеңістік бөлшектерді сақтауға арналған бос орын ғана емес. Кеңістіктегі материя оның қасиеттерін өзгертеді, ал өз кезегінде кеңістік материяның қалай қозғалуын анықтайды. Кеңістік пен материя бір-бірімен тығыз байланысты. Кеңістіксіз материя өмір сүре алмайды, ал материя жоқ жерде бос кеңістік те болмайды.

1831 жылы Фарадейдің ашқан электромагниттік индукция заңы    практикалық маңызы өте үлкен фундаменталды физикалық құбылыстарға жатады. Сондықтан оның ашылу жолын электротехниканың туған мерзімі деп атайды. Контурды қиып өтетін магнит ағыны уақытқа байланысты    өзгерсе де, онда электр қозғаушы күш, яғни индукциялық ток пайда болады.

Максвелл электромагниттік индукция құбылысын түсіндірудің тамаша жолын ұсынды. Өткізгіш контурында токтың пайда болуын Максвелл бойынша құбылыстың негізгі мәселесі деп қарастыруға болмайды. Өйткені кез келген токты электр өрісі туғызады. Олай болса айнымалы магнит индукциясының ағынынан пайда болған электр өрісінің әсерінен индукциялық ток пайда болады.  Өткізгіштік контур құбылыста тек электр өрісін туғызып, оны практикада қолдану үшін пайдаланылады. Сонымен Максвелл бойынша кез келген айнымалы магнит индукциясының ағын сызығы тұйық және магнит ағынын қоршайтын электр өрісін туғызады. Статикалық және стационарлық электр өрістерінде күш сызықтарының әрқашан көздері бар, яғни бұл өріс – потенциалды. Тұйық және құйынды электр өрісі бар деп болжамдау өте батыл гипотеза болып есептеледі.

Максвелл теңдеулері –  кез келген ортадағы электромагниттік құбылысты сипаттайтын классикалық  макроэлектродинамиканың діңгекті теңдеулері.

Максвелл өзге ғалымдардың  электр, магнит құбылыстарының тәжірибелері мен теориялық зерттеулеріне, әсіресе  Фарадейдің еңбектеріндегі ілімдерге  арқа сүйей отырып, электр зарядтары  бар денелердің өзара байланыстары элетромагниттік өріс арқылы жүретіндігін зерттеулерінің негізі етіп алды. Максвелл теориясының орнығуына Герцтің 1888 жылы электромагниттік толқындарды ашуы көп көмектесті.

Максвелл теңдеулері электр зарядтары мен токтардан, электр және магнит индукцияларынан туындаған  электромагниттік өрістердің өзара байланыстарын сипаттайды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Вакуумдегі электромагнитттік өріс үшін Максвелл теңдеулері

 

Максвелдің негізгі екі  теңдеуі және кейбір басқа қатынастармен  бірігіп, электромагниттік өрістің толық теңдеулер жүйесін құрайды. Егер уақыттың қандай да бір бастапқы мезетінде кеңістіктің барлық нүктелерінде және векторларының мәндері беріліп, электромагниттік өріс теңдеулер жүйесімен бірмәнді анықталса, ондай жүйе толық деп аталады.

Теңдеулер жүйесі төмендегідей реттілікпен жазылады:

Максвелдің бірінші теңдеуі:

 

 

 

Максвелдің екінші теңдеуі:

 

 

 

Индукция векторының дивергенциясы  үшін теңдеу мынадай болып түрленеді:

 

 

 

 

 

Үзіліссіз теңдеуді (электр зарядының сақталу заңы) келтірейік:

 

 

 

Зарядтың сақталу заңы ескерілген үшінші және төртінші теңдеулер  бірінші екі теідеудің салдары болып табылатындығына қарамастан, оларды электромагнитті өрісті сипаттайтын теңдеулер қатарына жатқызады. Сонымен қатар, өрістің негізгі теңдеулері ретінде электромагниттік өріс векторларын байланыстыратын төмендегі теңдіктерді қарастыра аламыз:

 

 

 

Мұнда:   магнит тұрақтысы, ал   электр тұрақтысы деп аталады.

Максвелдің бірінші,екінші теңдеулері симметриялы емес. Бірінші  теңдеуге екінші теңдеуде ұқсастығы  жоқ өткізгіштік ток кіреді. Егер идеал диэлектриктегі өріске көшсек, теңдеулер симметриялы болып түрленеді.

 

 

 

Диэлектрикте  және деп алсақ, теңдеуі төмендегідей болып шығады:

 

 

 

Вакуумдегі электромагниттік өріс үшін мынадай болып түрленеді:

 

 

 

Теңдеулердің бұл жазылымында  электр және магнит өрістерінің арасындағы байланыстар ерекше айқын көрініп  тұр. Олардың біреуінің уақыт бойынша өзгерісі басқа вектордың құйынды өрісін туғызады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Максвелл теңдеулерінің интегралдық түрі

 

Максвелл теңдеулері интегралдардың көмегңмен де жазылуы мүмкін:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 және векторлары өрістер айнымалы болса ғана байланыста болатындығын ерекше атап өткен жөн. Егер стационарлық өрістермен шектелсек, яғни векторлар уақытқа тәуелсіз болса , онда өрістер теңдеуінен  және алынып тасталады. Сондықтан өрістің дифференциалдық теңдеулер жүйесі екі тәуелсіз жүйелерге ыдырайды.

 

 стационарлы магнит  өрісінің теңдеулерінің жүйесі

 

 электростатикалық өріс теңдеулерінің жүйесі.

 

Осы екі теңдеулер жүйесінің  бір-біріне тәуелсіздігі электростатикалық және стационарлық магнит өрістерін жеке-жеке зерттеуге мүмкіндік береді.

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Максвелл теңдеулерінің дифференциалдық түрі

 

Максвелл теңдеулері сызықты  дифференциалдық теңдеулер болғандықтан, оның дербес шешімдерінің қосындысы  да сол теңдеулердің шешімі болады. Мұны векторлық өрістер үшін суперпозиция принципі деп атайды және есеп шығарған кезде жиі қолданылады. Теңдеулердің дифференциалдық түрін жазайық.

Максвелдің бірінші теңдеуі:

 

 

 

Максвелдің екінші теңдеуі:

 

 

 

Индукция векторының дивергенциясы  үшін теңдеу төмендегідей болады:

 

 

 

 

 

Үзіліссіз теңдеу

 

 

 

Материалдық теңдеу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Максвелл теңдеулерінің физикалық мағынасы

 

Максвелл теңдеулерінің  физикалық мағынасына тоқталу үшін оларды екі жұпқа топтастырайық:

Дифференциалды түрі

 

 

 

 

 

Интегралдық түрі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Токтар мен зарядтардың  үлестірулерін белгілі деп алып, Максвелл теңдеулерінің көмегімен  және векторларының тәуелсіз алты құраушысын табуға болады. Максвелдің сегіз скалярлық дифференциалдық теңдеулер жүйесінде алты тәуелсіз теңдеулер бар. (4) теңдеуі Фарадейдің индукция заңының жалпылама түрін беріп, уақыт бойынша магнит өрісінің өзгерісі құйынды электр өрісіні туғызатындығын көрсетеді. (5) теңдеуі магнит өрісінің мінездемесі соленойдалы және оның сызықтары тұйық немесе шексіздікке кететіндігін дәлелдейді. (6) теңдеуінен құйынды магнит өрісі зарядтардың қозғалысынан және уақыт бойынша электр өрісінің өзгерісінен туындайтындығын көреміз. (7) теңдеуі электр өрісінің көзі электр зарядтары болып табылатындығын көрсетеді.

 

 

ҚОРЫТЫНДЫ

Максвелл теңдеулерінің  электромагнетизмнің теориясы мен  практикасында атқаратын рөлі өте  зор.

Максвелл электромагниттік өріс үшін теңдеулерді өз еңбектерінде ең алғаш орта үшін жазылған күйде  келтірді. деп алғанда бұл теңдеулердің салдары вакуум үшін жазылған күйге келеді. Бұл күйдегі теңдеулерге 1903 жылы ең алғаш Лоренц өз еңбегіне сүйенеді. Ал Герц пен Хевисайд еңбектерінде бұл теңдеулер қазіргі күйге келеді. Қорытындылай келе, мына жайттарды атап өтейік:

1. Бұл теңдеулерде 4 тәуелсіз айнымалы бар: 3 координат және уақыт. Теңдеуге кіретін дербес туындылар бір шама бойынша алынатын болса, қалғандары тұрақты деп есептеледі. Уақыт бойынша дербес туынды өріс және заряд кеңістіктің бір нүктесінде қарастырылатындығын білдіреді.
2. Максвелл теңдеулері жұптасқан күйде жазылады, бұл жеке-дара теңдеулердің байланыстарын көрсету үшін беріледі.
3. Теңдеулер бос кеңістікте элементар бөлшектер мен иондардың макроскопиялық ағындарын зерттегенде қолданылады. Ал зарядтар жүйесі дене ішінде болса және токтар өткізгіш бойымен қозғалатын болса, бұл теңдеулерді қолданбайды. Бірақ та кейбір жағдайларда денелер және орта болған кезде бұл теңдеулерді қолдануға болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1 Кенжәлиев Д.И., Электродинамика және арнаулы салыстырмалылық теориясы. Оқулық. – Алматы, ЖШС «Эверо», 2012. – 150 б.

2  Күреңкеев Т.Б., Электродинамика және салыстырмалық теориясы. Оқулық. Алматы, ЖШС «Эверо», 2012. –352 б.

3 Бижігітов Т., Электродинамика және салыстырмалылық арнайы теориясы. Оқулық. – Алматы: ЖШС РПБК «Дәуір»,2012. – 448 бет.