Нелинейная рефракция

Аннотация

 В данной курсовой работе изложены теоретические основы явления нелинейной рефракции, суть которой заключается в изменении направления распространения света из-за неоднородности показателя преломления среды, при этом неоднородность показателя преломления создается в среде самой световой волной за счет нелинейной поляризации среды. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………………………….3

1 Распространение слабой световой волны в линейной среде…………………5

2 Распространение сильной  световой волны в нелинейной  среде …………..10

3 Количественные характеристики  процесса нелинейной рефракции……...12

4 Самофокусировка импульсного  излучения…………………………..…….17

5 Самофокусировка лазерного  излучения в других средах………………...19

6 Заключение……………………………………………..………………………20

Список использованных источников……………………………...……………21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Основные законы распространения света хорошо известны из курса оптики. Это законы волновой линейной оптики, т. е. законы, определяющие распространение световых волн при малой интенсивности света. Из линейной оптики хорошо известно, что если в среде коэффициент преломления не постоянен, а, например, плавно изменяется, то прямолинейность распространения света нарушается, световые лучи изгибаются в направлении большего коэффициента преломления. Это так называемое явление оптической рефракции.

Явление нелинейной рефракции в известной мере аналогично явлению оптической рефракции. Оно также состоит в изменении направления распространения света из-за неоднородности показателя преломления среды. Качественно различие оптической и нелинейной рефракции состоит в том, что если в первом случае неоднородность показателя преломления существует сама по себе, независимо от процесса распространения света в среде, то во втором случае неоднородность показателя преломления создается в среде самой световой волной за счет нелинейной поляризации среды. Известно, что для возникновения нелинейной поляризации среды интенсивность падающего на нее света (напряженность поля волны) должна быть большой.

Именно такая ситуация, как правило, возникает при распространении пучка лазерного излучения в различных средах. Напряженность поля в пучке бывает достаточно велика для нелинейной поляризации среды, а распределение поля по сечению пучка всегда неоднородно, поле больше на оси пучка. Соответственно нелинейная поляризация, возникающая в среде под действием лазерного излучения, также неоднородна, неоднородным оказывается и коэффициент преломления среды в той области, где распространяется излучение. Соответственно направление лучей, распространяющихся на различном расстоянии от оси пучка, будет изменяться, причем различным образом для разных лучей, лучи будут распространяться в различном направлении. В принципе возникновение нелинейной поляризации может приводить как к увеличению, так и к уменьшению показателя преломления среды (например, при электронной нелинейной восприимчивости). Таким образом, среда под действием поля волны может приобретать свойства, аналогичные свойствам положительной (фокусирующей) или отрицательной (рассеивающей) линзы. Для большинства сред определяющими являются такие нелинейности, которые приводят к фокусировке лучей. Возникающий при этом эффект называется эффектом самофокусировки лазерного излучения.

Эффект самофокусировки имеет большое практическое значение при использовании излучения с высокой интенсивностью. Возникновение самофокусировки изменяет пространственное распределение излучения, локально повышает его интенсивность, создает благоприятные условия для оптического пробоя среды и ее деструкции.

Иногда, когда говорят о самофокусировке лазерного излучения, используют термин самовоздействие излучения. Действительно, на процесс нелинейной рефракции можно смотреть как на процесс самовоздействия: световая волна, распространяясь в среде, изменяет свойства среды (ее показатель преломления), что приводит к изменению самой волны (ее метрики), т. е. к эффекту самовоздействия.

Метод описания процесса нелинейной рефракции носит традиционный характер — рассматривается волна поляризации, возбуждаемая падающей волной в среде, и суммарный эффект, возникающий от взаимодействия этих двух волн при их распространении. Для того чтобы наиболее ясно была видна роль нелинейной поляризации, сначала рассмотрим случай распространения слабой волны в линейной среде, хотя хорошо известно, что в этом случае никакого самовоздействия не возникает.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Распространение слабой световой волны в линейной среде

 

Для упрощения математических выкладок обратимся к модельной задаче, которая показана на рисунке 1. Отметим, что то рассмотрение, которое будет проведено ниже, отражает все основные закономерности, возникающие в реальной ситуации. Пусть слабая монохроматическая волна

                                                                    (1)

с плоским фронтом падает из вакуума перпендикулярно к плоской поверхности прозрачной среды. Пусть среда — это разреженный атомный газ. Пренебрежем поглощением света в газе ввиду его малой плотности.

Рисунок 1 - Взаимодействие плоской неограниченной волны и среды с линейной поляризацией; приближение заданного поля

Пусть волновой вектор волны , а вектор . Предположим также, что взаимодействие волны со средой носит стационарный характер, т. е. время отклика среды гораздо меньше длительности действия излучения. Наконец, предположим, что взаимодействие излучения со средой является линейным, т. е. будем принимать во внимание лишь первый член разложения индуцированной поляризации в ряд:

                                                                          (2)

где — линейная восприимчивость среды. Обозначим напряженность поля волны в среде . Будем рассматривать процесс распространения падающей волны в среде. При этом пренебрежем отражением света от границы сред, что является вполне обоснованным приближением при малой плотности среды.

Отметим, что сделанные выше приближения — метрика волны лазерного излучения, стационарность и линейность взаимодействия — весьма реалистичны и соответствуют типичным условиям взаимодействия лазерного излучения малой интенсивности с прозрачными средами.

В соответствии с предположением о монохроматическом характере падающего излучения зависимости величин Е, Е' и Р от времени t имеют один и тот же вид:

                      .                (3)

Известное уравнение Максвелла в среде записывается в виде:

                                             (4)

Правая часть этого уравнения написана для разреженного газа, содержащего n атомов в единице объема. В левой части оператор означает лапласиан. С учетом (3) в уравнении Максвелла (4) можно избавиться от производных по времени и записать его в виде:

                                                                                                         (5)

где — волновое число, a n — плотность среды, т. е. число атомов в единице объема среды; — линейная восприимчивость среды.

Для выражения (1) очевидно, справедливо соотношение (5) без правой части, т. е.

                                                                                                     (6)  

Путем вычитания (6) из (5), определим изменение напряженности поля Е"=Е'— Е, возникающее при переходе волны из вакуума в среду. Для Е" справедливо соотношение:

                                                    (7)

Поле Е" представляет собой поле линейной поляризации среды.

Из (7) видно, что поле поляризации Е" представляет собой также волну, распространяющуюся в среде в том же направлении, как и падающая волна, и характеризуемую тем же волновым числом k. Тот факт, что поляризация возникает в виде волны Е", распространяющейся в среде наряду с падающей волной Е', является основополагающим для всей оптики. В рассмотренном случае линейной оптики возникновение волны поляризации определяет процессы отражения и преломления света на границе сред и позволяет вывести из уравнений Максвелла соответствующие хорошо известные феноменологические соотношения (закон синусов и пр.). В случае нелинейной оптики возникновение волны нелинейной поляризации обусловливает все основные явления, о которых шла речь выше.

В общем случае нахождение зависимости поля поляризации Е" от координаты z, т. е. описание процесса распространения падающей волны в среде, представляет собой сложную задачу. Решение уравнения (7) существенно упрощается, если использовать приближение заданного поля Е. Это приближение по сути дела означает, что при переходе излучения из вакуума в среду напряженность поля излучения изменяется мало, а потому можно в правой части (7) сделать замену . Критерии условия применимости приближения заданного поля имеют следующий вид:

                                                                                       (8)

В приближении заданного поля соотношение (7) сводится к приближенному уравнению, отличному от точного уравнения (7) заменой в правой части

                                                                                   (9)

Подставив в (9) уравнение (1), получаем:

                                               (10)

Решение уравнения (10) значительно проще, чем решение уравнения (7). Учитывая граничное условие и пренебрегая весьма малым значением напряженности поля отраженного света (опять ввиду малой плотности газа) по сравнению как с напряженностью поля падающей волны Е, так и с напряженностью поля линейной поляризации среды, получаем решение уравнения (10):

                                                                   (11)

Полное поле в среде является суммой поля падающей волны (1) и возбужденного ею поля линейной поляризации (11):

    (12)

где                                                                           (13)

Таким образом, суммарный результат взаимодействия слабой волны с линейной средой сводится к изменению волнового вектора при неизменном его направлении. Это утверждение эквивалентно хорошо известному положению линейной оптики — длина волны света зависит от показателя преломления среды; она увеличивается при переходе волны из вакуума в любую среду, для которой .

Рассмотрим теперь более реальный случай, когда нормально к границе среды, рассмотренной выше, падает не пространственно неограниченная световая волна, а пространственно ограниченный пучок лазерного излучения с неравномерным распределением интенсивности излучения по фронту волны. Пусть в сечении, нормальном к оси пучка, напряженность поля падает от максимума на оси до нуля на периферии. Для упрощения заменим двумерное распределение одномерным (это хорошее приближение ввиду аксиальной симметрии реальных пучков) и вместо (1) положим:

                                                 (14)

где а — поперечный размер светового пучка, показанный на рисунке 2.

Рисунок 2 – Взаимодействие пространственно-ограниченной волны с неравномерным распределением поля по фронту и среды с линейной поляризацией; приближение заданного поля

Если теперь, используя (14) вместо (1), провести выкладки, аналогичные приведенным выше, то легко убедиться, что результат не изменится по сравнению с (12) и (13); появляется лишь числовой множитель :

                                                          (15)

где                                                                                         (16)

Выражение (16) совпадает с (13). Таким образом, из (15) можно сделать заключение, что возникновение линейной поляризации среды не искажает пространственной неоднородности распределения интенсивности в пучке света. Определяемое (16) изменение волнового числа в среде по сравнению с вакуумом оказывается таким же, как и для плоского бесконечного фронта монохроматической электромагнитной волны. При этом, как следует из приведенного вывода, ввиду произвольности величины a фронт с любой степенью неоднородности не искажается в линейной среде. В дальнейшем мы увидим, что в нелинейной среде это совершенно не так, возникают эффекты фокусировки света и пр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Распространение сильной световой волны в нелинейной среде

 

Рассмотрим ту же модельную задачу, что и в предыдущем пункте, с той же исходной неоднородностью поля падающей волны (14). Единственное отличие будет состоять в том, что световая волна будет предполагаться сильной. Это означает, что напряженность поля волны будет предполагаться столь большой, что нельзя ограничиться учетом лишь первого, линейного члена разложения поляризации по степеням поля, характеризуемого линейной восприимчивостью . Будем учитывать также и высшие члены разложения. Так как по-прежнему в качестве среды будет рассматриваться разреженный атомарный газ, то первый высший член разложения поляризации по степеням поля есть кубичный член . В качестве кубичной нелинейной восприимчивости будем рассматривать величину , т. е. будем предполагать, что поляризация возникает на частоте и падающей волны. Для дальнейшего упрощения математических выкладок положим, что линейной восприимчивостью можно пренебречь. Такое предположение представляется вполне реалистичным, если вспомнить резкий, резонансный характер зависимости индуцированной поляризации от частоты излучения. Всегда можно выбрать такую частоту, когда линейная поляризация мала или просто равна нулю.

Если теперь опять повторить выкладки, аналогичные тем, которые были сделаны в предыдущем пункте, то получим следующее выражение для напряженности поля суммарной волны (в данном случае падающей волны и волны нелинейной поляризации) в среде:

                                            (17)

Отметим, что выражение (17) не является точным, оно получено при пренебрежения высшими производными . Это так называемое приближение укороченных уравнений Максвелла.

Выражение (17), пренебрегая малыми величинами порядка сводим к следующему выражению: