Нелинейная рефракция

              .      (18)

Из (18) видно, что в данном случае, когда поляризация носит нелинейный характер, волновой вектор, характеризующий волну в среде, кроме компоненты , где волновое число k, дается выражением:

                                       ,                              (19)

имеет также и компоненту , где волновое число:

                                       .                              (20)

Отличие , от k, как и в случае слабой волны, означает, что длина волны света зависит от показателя преломления среды, в которой он распространяется. Появление означает, что распределение поля суммарной волны отлично от распределения поля падающей волны (14). Появление означает, что направление распространения суммарной волны в среде отличается от направления распространения падающей волны Е, для которой , т. е. . Так как , а , то одновременно с изменением направления распределения волны в среде изменяется и распределение интенсивности излучения по фронту волны.

Выше была рассмотрена двумерная геометрия системы волна — среда, наиболее точно соответствующая реальному (аксиальному) распределению поля в пучке лазерного излучения. Сделанные выводы остаются в силе и для трехмерного случая.

Очевидно, что в проведенных выше выкладках качественно ничего не изменится при любом конкретном виде нелинейной поляризации среды.

Таким образом, основное заключение состоит в том, что возникновение нелинейной поляризации среды под действием сильной монохроматической волны приводит к тому, что как распределение поля по фронту волны, так и направление распространения света изменяются при распространении волны в среде.

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Количественные характеристики процесса нелинейной рефракции

 

Обратимся к уравнениям (18) —(20). Из (20) видно, что , т. е. по мере распространения падающей волны в среде изменяется ее направление распространения. На языке геометрической оптики направление распространения можно характеризовать углом преломления (углом наклона луча к оси), который называется углом самофокусировки:

                                                               (21)

Обратим внимание, что угол не постоянен, а возрастает при изменении координаты z. Таким образом, траектория луча не является прямолинейной. Так как в геометрической оптике угол наклона луча , то из (21) получаем уравнение траектории луча в дифференциальной форме:

                                                                    (22)

Разделяя переменные и интегрируя (22) при условии , где — начальная координата луча по оси у при вхождении в среду, находим уравнение траектории луча в явном виде:

                                                                    (23)

где — координата входа луча из вакуума в среду ( , где а — поперечный размер пучка, показанный на рисунке 3). 

Рисунок 3 – Траектория светового луча в среде с нелинейной поляризацией

Таким образом, траектория луча представляет собой параболу .

Из формул (19) — (21) видно, что знак угла определяется знаком нелинейной поляризуемости Если , то лучи преломляются к оси пучка — возникает самофокусировка лазерного излучения; если — возникает дефокусировка излучения.

Рассмотрим случай самофокусировки. Найдем, исходя из соотношения (23), величину , для которой ,

                                                             (24)

а при — величину:

                                                                   (25)

Величина d представляет собой то расстояние в среде в направлении оси z, на котором световой луч, входящий в среду, на расстоянии от оси пересечет ось z.

Величина d называется длиной самофокусировки. Из соотношения (24) видно, что длина самофокусировки обратно пропорциональна плотности среды n, нелинейной поляризуемости и напряженности поля в падающей волне . Чем больше любая из этих величин, тем меньше длина самофокусировки, т. е. тем быстрее фокусируется лазерное излучение после входа в среду.

Из соотношения (24) видно, что , т. е. имеет место аберрация при фокусировке светового пучка.

Подставляя в (21) вместо z величину d из (24), получаем оценку угла лучей в фокусе:

                                        (26)

Другой часто употребляемой характеристикой процесса самофокусировки является так называемая критическая напряженность поля (или критическая мощность излучения). Эта величина не возникла выше в виду модельного характера рассматриваемой задачи. Предполагалось, что падает строго параллельный пучок света. Как уже говорилось в начале этого параграфа, любая реальная волна, падающая на нелинейную среду, не сводится к параллельному пучку. В лазерном излучении минимальная расходимость определяется дифракцией - это так называемая дифракционная расходимость. Если теперь принять во внимание, что падающая волна является расходящейся, то появится понятие критической напряженности поля, именно той напряженности, при которой самофокусировка будет преобладать над дифракционной расходимостью. Угол дифракционной расходимости имеет оценку ( — длина волны излучения), а угол самофокусировки оценивается по (26). Тогда из (26) и из условия получаем для критической напряженности поля выражение:

                                                     (27)

При из (27) имеем:

                                                                  (28)

Из (27) можно получить критическую мощность излучения умножая энергию излучения в единице объема на скорость света с (вектор Пойнтинга) и на площадь поперечного сечения пучка ; при получаем:

                                                                            (29)

Из (29) следует очевидный вывод — чем больше n и тем меньше критическая мощность.

При мощности лазерного излучения, гораздо меньшей критической, когда , самофокусировкой можно пренебречь, излучение распространяется в среде с исходной расходимостью; при самофокусировка как раз компенсирует расходимость (иногда этот случай называют режимом волноводного распространения лазерного излучения); при возникает самофокусировка.

Из (29) видно, что не зависит от радиуса пучка. С другой стороны, выше было выяснено, что , т. е. имеет место аберрация при самофокусировке. Поэтому в том случае, когда полная мощность пучка , возникает многофокусная структура распространения поля в среде. Первый фокус возникает от приосевой области пучка, радиус которой определяется из того условия, что мощность излучения в этой области равна критической мощности, . Вне этой приосевой области пучок разбивается на ряд кольцевых зон, мощность в каждой из которых и каждая из которых приводит к возникновению своего фокуса. Это показано на рисунке 4. Так как длина самофокусировки , то для каждой последующей кольцевой зоны, имеющей большее , чем в предыдущей, длина самофокусировки больше. Многофокусная структура при самофокусировке наблюдается экспериментально.

Рисунок 4 - Самофокусировка излучения, содержащегося в отдельных кольцевых зонах аксиально симметричного пучка в нелинейной среде

Возникает естественный вопрос: каков размер отдельного фокуса? В рамках проведенного рассмотрения ответ на этот вопрос аналитически получить трудно, принимая во внимание расходимость падающего излучения, распределение интенсивности со фронту волны, аберрации и соотношение мощности излучения Р и . Однако наиболее важно, что даже если численно учесть все эти факторы, то полученный результат будет плохо отражать истинный размер фокуса. Дело в том, что для того чтобы дать ответ на этот вопрос в случае реального излучения и реальной среды, необходимо дополнительно учесть нелинейное поглощение излучения средой. Речь идет о многофотонном поглощении, многофотонной ионизации и оптическом пробое среды. Нелинейное поглощение в любом случае приводит к качественному изменению исходных нелинейных свойств среды или к потере прозрачности. Поэтому размер фокуса практически сводится к размеру области, в которой возникает нелинейное поглощение. Этот размер определяется мощностью и частотой исходного излучения и свойствами среды.

Длина самофокусировки и критическая мощность — основные характеристики процесса самофокусировки, сопоставляемые с экспериментальными данными. Хотя выше для этих величин были приведены достаточно простые аналитические выражения, однако получить количественные оценки не просто, хотя бы из-за необходимости использования конкретного значении нелинейной восприимчивости , которая играет определяющую роль. В качестве примера можно принести данные для сильно нелинейных жидкостей, для которых длина самофокусировки порядка нескольких сантиметров, а критическая мощность порядка Вт.

Выше рассмотрение нелинейной рефракции проводилось на примере самофокусировки. Аналогичное рассмотрение можно провести и для дефокусировки, которая возникает при . Напомним, что знак нелинейной восприимчивости существенно зависит от природы явления. Так, например, при электронной поляризуемости знак зависит от частоты излучения, при электрострикции — от конкретного типа прозрачного диэлектрика, при нагреве газа за счет поглощения излучения индуцируемая поляризуемость всегда меньше нуля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Самофокусировка импульсного излучения

 

Все проведенное выше рассмотрение относилось к стационарному случаю, т. е. к распространению в среде непрерывного лазерного излучения. Если где-нибудь в выражениях и фигурировало время t, то в неявном виде. Однако на практике нелинейная рефракция и, конкретно, самофокусировка играют особо важную роль при большой интенсивности излучения, реализуемой при импульсном режиме генерации лазера. Распределение интенсивности во времени при этом носит колоколообразный характер (например, гауссово распределение). Если полная мощность в импульсе излучения , то возникает эффект, качественно аналогичный случаю колоколообразного пространственного распределения, обсуждавшемуся выше. По мере изменения времени (по мере входа в нелинейную среду различной части импульса излучения) последовательно фокусируется свет, заключающийся в различных интервалах времени . Это показано на рисунке 5. Так как этим интервалам соответствуют сначала возрастающие (до максимума импульса), а потом убывающие средние (за интервал) напряженность поля Е и мощность P излучения, то в соответствии с (24) длина самофокусировки сначала, на фронте импульса, убывает, а после максимума импульса, на спаде, возрастает.

Рисунок 5 - Распределение во времени мощности импульсного лазерного излучения. Указаны отдельные области распределения, последовательно самофокусирующиеся в различных точках среды (явление движущихся фокусов)

Это так называемое явление движущихся фокусов, предсказанное расчетами и обнаруженное экспериментально. Именно движущиеся фокусы дают ту картину самофокусировки, интегральную за импульс лазерного излучения, которая наблюдается при фотографировании среды в направлении оси х (или у). Это так называемые нити или каналы в жидкостях или нитевидные следы деструкции в стеклах и кристаллах. Длина наблюдаемых нитей и следов хорошо согласуется с изменением длины самофокусировки при импульсном облучении различных сред. Диаметр этих нитей и следов определяется размерами области, в которой возникает нелинейное поглощение излучения. Та качественная картина движения фокусов, которая была нарисована выше, наблюдалась экспериментально путем фотографирования среды сбоку (в направлении осей х, у) с очень высоким временным разрешением.

При использовании одномодового лазера, самофокусировка приводит к появлению только одной нити как показано на рисунке 6.

 

Рисунок 6 – Фотография испытавшего самофокусировку одномодового лазерного пучка на выходном окне кюветы с толуолом при различных длинах кюветы. а – Короткая кювета, пучок не успел сфокусироваться (диаметр пучка 700 мкм). б – Длина кюветы близка к длине самофокусировки, диаметр пучка составляет примерно одну десятую от первоначального значения (50 мкм). в – Длина кюветы достаточна для наступления самофокусировки, пучок имеет вид нити с предельным значением диаметра 10 мкм.

 

 

 

 

 

5 Самофокусировка лазерного излучения в других средах

 

Не вызывает сомнений, что качественно те же явления, которые обсуждались выше для среды в виде атомарного газа, будут иметь место и для других сред. Конечно в молекулярных газах, жидкостях и прозрачных диэлектриках микроскопические явления, приводящие к возникновению нелинейной восприимчивости, носят иной характер. Однако наличие нелинейной восприимчивости всегда обусловливает возможность возникновения нелинейной рефракции при выполнении соответствующих условий, конкретизация которых связана с конкретизацией параметров среды и излучения. Что касается самофокусировки, то этот процесс наиболее подробно наблюдался и изучался именно в жидкостях и прозрачных диэлектриках. Ряд жидкостей является очень подходящим объектом для наблюдения эффекта самофокусировки лазерного излучения ввиду экстремально большой нелинейной восприимчивости. В качестве примера можно указать на нитробензол.

При наблюдении эффекта самофокусировки следует иметь в виду, что в фокусе происходит значительное увеличение напряженности поля световой волны по сравнению со значениями в падающей световой волне. Это приводит к таким эффектам, как нелинейная ионизация среды и возникновение пробоя в фокусе. Образующаяся плазма делает фокус непрозрачным для электромагнитного излучения.

Что касается прозрачных диэлектриков (кристаллов и стекол), то в этом случае самофокусировка является эффектом, весьма важным для практики, так как она ограничивает ту предельную мощность излучения, которая может создаваться или пропускаться через те или иные активные или конструктивные элементы лазеров и установок, генерирующих или использующих лазерное излучение. Так например, именно самофокусировка определяет предельную лучевую прочность активированных стекол, используемых в качестве активных элементов в мощных твердотельных лазерах.

Если в заключение обратиться к основному вопросу, обсуждаемому в данной книге, к нелинейной оптике, то надо всегда иметь в виду, что возможность возникновения нелинейной рефракции существенно затрудняет постановку и интерпретацию результатов экспериментов, так как нелинейная рефракция изменяет пространственное распределение лазерного излучения.