Нелинейные электрические цепи

 

а б

           Рисунок 1 - цепь с последовательным соединением резистивных элементов, графическое построение вольтамперной характеристики для данной методики решения.

Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом – методом пересечений. В этом случае один из нелинейных резисторов, например, с ВАХ    на рис.1а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения    точка а (см. рисунок 2) пересечения кривых    и   определяет режим работы цепи. Кривая  строится путем вычитания абсцисс ВАХ    из ЭДС Е для различных значений тока.

                  Рисунок 2 - вольтамперная характеристика для решения методом пересечений.

Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам.

б) Цепи с параллельным соединением резистивных элементов.

При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ    отдельных резисторов в системе декартовых координат   строится результирующая зависимость  . Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ  ), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью  . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой  опускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостей   определяются токи    в ветвях с отдельными резистивными элементами.

Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рисунок 3б, соответствующие цепи на рисунок 3а.

 

 

а б

           Рисунок 3 - цепь с параллельным соединением резистивных элементов, графическое построение вольтамперной характеристики для данной методики решения.

в) Цепи с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов.

 Расчет таких цепей производится  в следующей последовательности:

- Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано в пункте б).

- Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов (см. пункт а), на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1.2. Метод двух узлов

 

Для цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым, можно применять метод двух узлов. При полностью графическом способе реализации метода он заключается в следующем:

Строятся графики зависимостей    токов во всех i-х ветвях в функции общей величины – напряжения    между узлами m и n, для чего каждая из исходных кривых    смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС    в i-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке.

Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа  . Соответствующие данной точке токи являются решением задачи.

Метод двух узлов может быть реализован и в другом варианте, отличающемся от изложенного выше меньшим числом графических построений.

В качестве примера рассмотрим цепь на рисунке 4.

Рисунок 4 - графическое построение вольтамперной характеристики для решения методом двух узлов.

Для нее выражаем напряжения на резистивных элементах в функции  :

;  (1)

;        (2)

. (3)

Далее задаемся током, протекающим через один из резисторов, например во второй ветви   , и рассчитываем  , а затем по   с использованием (1) и (3) находим    и    и по зависимостям  и    - соответствующие им токи    и    и т.д. Потом определяем сумму токов .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Методы расчета нелинейных электрических цепей переменного тока

 

Наиболее существенная особенность расчета нелинейных цепей  при переменных токах заключается в необходимости учета  в общем случае динамических свойств нелинейных элементов, т.е. их анализ следует осуществлять на основе динамических вольтамперных, вебер-амперных, и кулон-вольтных характеристик.

Если нелинейный элемент является безынерционным, то его характеристики в динамических и статических режимах совпадают, что существенно упрощает расчет. Однако на практике идеально безынерционных элементов не существует. Отнесение нелинейного элемента к классу безынерционных определяется скоростью изменения входных воздействий: если период Т переменного воздействия достаточно мал по сравнению с постоянной времени  , характеризующей динамические свойства нелинейного элемента, последний рассматривается как безынерционный; если это не выполняется, то необходимо учитывать инерционные свойства нелинейного элемента.

В качестве примера можно рассмотреть цепь на рисунке 5 с нелинейным резистором  (термистором), имеющим вольтамперную характеристику (ВАХ), представленную на рисунке 6, и характеризующимся постоянной времени нагрева  .

Рисунок 5 - цепь с нелинейным резистором.

Рисунок 6 - вольтамперная характеристика для цепи с нелинейным резистором.

Если   , то изображающая точка Р  перемещается по прямой 1 и нелинейный резистор характеризуется сопротивлением      . При    изображающая точка перемещается по кривой 2, и свойства нелинейного резистора определяются сопротивлением  . Когда постоянная времени нагрева t нелинейного резистора одного порядка с Т, соотношения между переменными составляющими напряжения и тока являются более сложными, определяющими сдвиг по фазе между ними.

Другой важной особенностью нелинейных элементов в цепи переменного тока является вызываемое ими появление высших гармоник даже при наличии в цепи только источников синусоидального напряжения и (или) тока. На этом принципе строится, например, ряд умножителей частоты, а также преобразователей формы тока или напряжения.

 

 

 

 

2.1.1. Основные типы характеристик нелинейных элементов в цепях переменного тока

 

Использование динамических характеристик нелинейных элементов позволяет осуществлять расчет нелинейных цепей для мгновенных значений переменных, т.е. проводить принципиально ее наиболее точный и полный анализ. Однако в целом ряде случаев такой расчет может оказаться достаточно трудоемким или избыточным по своей глубине. Поэтому в зависимости от цели решаемой задачи, а также от требований к точности получаемых результатов, помимо динамической характеристики, могут использоваться нелинейные характеристики по первым гармоникам и для действующих значений (см. таблицу 1).

Таблица 1. Определение основных типов характеристик нелинейных элементов

Тип характеристики	Определение	Примечание
Динамическая характеристика (характеристика для мгновенных значений)	Характеристика, связывающая мгновенные значения основных определяющих величин	Используется при анализе цепи по мгновенным значениям
Характеристика по первым гармоникам	Характеристика, связывающая амплитуды (действующие значения) первых гармоник основных определяющих величин.	Определяется по соответствующей характеристике для мгновенных значений или экспериментально.

 

 

 

 

Продолжение таблицы 1.

	Если воздействующая величина содержит постоянную составляющую, то нелинейный элемент характеризуется семейством зависимостей, для которых постоянная составляющая является параметром.	Применяется при использовании метода расчета по первым гармоникам.
Характеристика для действующих значений	Характеристика, связывающая действующие значения синусоидальных и несинусоидальных величин. Если воздействующая величина содержит постоянную составляющую, то нелинейный элемент  характеризуется семейством зависимостей, для которых постоянная составляющая является параметром	Определяется  по соответствующей характеристике для мгновенных значений или экспериментально. Применяется при использовании метода расчета по действующим значениям

 

 

 

 

2.1.2. Графический метод расчета с использованием характеристик для мгновенных значений

 

В общем случае методика анализа нелинейной цепи данным методом включает в себя следующие этапы:

- исходя из физических соображений находят (если он не задан) закон изменения одной из величин, определяющих характеристику    нелинейного элемента;

- по нелинейной характеристике    для известного закона изменения переменной   путем графических построений определяют кривую  (или наоборот);

- с использованием полученной зависимости    проводят анализ остальной (линейной) части цепи.

В качестве примера построим при синусоидальной ЭДС    кривую тока в цепи на рисунке 7, ВАХ   диода в которой представлена  на рис. 8.

Рисунок 7 - нелинейная цепь.

 

Рисунок 8 - вольтамперная характеристика нелинейной цепи для данного метода решения.

Последовательность решения:

1. Строим результирующую ВАХ    цепи (см. рисунок 8) согласно соотношению

2. Находя для различных значений      с использованием полученной кривой  соответствующие им значения тока, строим по точкам (см. рисунок 9) кривую искомой зависимости  .

К полученному результату необходимо сделать следующий комментарий. Использование при анализе подобных цепей ВАХ идеального вентиля (обратный ток отсутствует, в проводящем направлении падение напряжения на диоде равно нулю) корректно при достаточно больших значениях амплитуд приложенного к диоду напряжения, определяющих значительное превышение током, протекающим через вентиль в прямом направлении, его обратного тока, вследствие чего последним можно пренебречь. При снижении величин напряжения, когда эти токи становятся сопоставимыми по величине, следует использовать ВАХ реального диода, представленную на рисунке 9 и учитывающую наличие обратного тока.

Рисунок 9 - вольтамперная характеристика реального диода.

Важнейшим элементом в цепях переменного тока является катушка с ферромагнитным сердечником. В общем случае кривая зависимости  имеет вид гистерезисной петли, но, поскольку в устройствах, работающих при переменном напряжении, используются магнитные материалы с узкой петлей гистерезиса, в большинстве практических случаев допустимо при расчетах использовать основную (или начальную) кривую намагничивания. 

Условное изображение нелинейной катушки индуктивности приведено на рисунке 10.

Рисунок 10 - условное изображение нелинейной катушки индуктивности. 

Здесь   – основной поток, замыкающийся по сердечнику,   - поток рассеяния, которому в первом приближении можно поставить в соответствие потокосцепление рассеяния  , где индуктивность рассеяния в силу прохождения потоком    части пути по воздуху.

Для схемы на рисунке 10 справедливо уравнение:

, (4)

где  .

В общем случае в силу нелинейности зависимости    определить на основании (4) несинусоидальные зависимости    и  достаточно непросто. Вместе с тем для реальных катушек индуктивности падением напряжения   и ЭДС, обусловленной потоками рассеивания, вследствие их малости, часто можно пренебречь. При этом из (4) получаем  , откуда