Описание и применение кристаллических модификаций кварца

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2014 г

 

Содержание

 

Задание к курсовой работе……………………………………………………	3
Введение. Описание и применение кристаллических модификаций диоксида титана…………………………………………………………………….	4
Стереографические проекции элементов симметрии и общей простой формы рутильной модификации диоксида титана………………………….	6
Стандартная установка кристаллографических и кристаллофизических осей координат. Изображение заданной грани на сетке Вульфа…………..	7
Стереографические проекции частных простых форм рутильной модификации диоксида титана…………………………………………………….	9
Матричные представления преобразований симметрии	10
Оценка возможности возникновения эффектов…………………………….	16
Расчет дифрактограммы диоксида титана…………………………………...	19
Заключение…………………………………………………………………….	29
Список использованной литературы………………………………………...	30

 

Введение. Описание и применение кристаллических модификаций кварца

 

Кварц - один из самых распространённых минералов в земной коре. Химическая формула: SiO2, природный диоксид кремния. Кремнезём, наиболее распространённой формой нахождения которого в природе является кварц, обладает развитым полиморфизмом.

Две основные полиморфные кристаллические модификации кварца: кристаллы   a- кварца (низкотемпературная модификация кварца) относятся к тригонально-трапецоэдрическому классу 3:2 тригональной системы, кристаллы   b- кварца (высокотемпературная модификация кварца) – к гексагонально-трапецоэдрическому классу 6:2 гексагональной системы. Кристаллическая структура a- кварца  - каскадного типа, построена из кремне-кислородных тетраэдров, расположенных винтообразно ( с правым или левым ходом винта) по отношению к главной оси кристалла. В зависимости от этого различают правые и левые структурно-морфологические формы кристаллов кварца, отличимые внешне по симметрии расположения некоторых граней. Отсутствие плоскостей и центра симметрии у кристаллов  a- кварца обуславливает наличие у него пьезоэлектрических и пироэлектрических свойств. Твердость кварца - 7 баллов по шкале Мооса - принята за нижнюю границу твердости ювелирных камней. Кварц имеет среднюю плотность (2,65), заметную спайность по ромбоэдру, стеклянный блеск. Окраска его разнообразна и обусловлена либо пигментирующими включениями, либо дефектами кристаллической структуры. В последнем случае окраска может изменяться от нагревания, яркого света, облучения рентгеновскими и гамма-лучами.

Среди всех полезных свойств кварца это является едва ли не самым важным: оно открыло кварцу обширные применения в радиотехнике и электронике. Кварц хорошо пропускает ультрафиолетовые лучи и используется в специальной оптике. Высококачественные кристаллы кварца представляют собой весьма дорогое «пьезооптическое сырье»; его технические применения обусловлены также тугоплавкостью, высокой теплопроводностью, малым тепловым расширением.

Таблица 1

Характеристики кристаллической решетки

Модификация/ параметр		a- кварца	b- кварца
Параметры элементарной решетки, Å	a	4.9133	-
	b	-	-
	c	5.4053	-
	a	90	90
	b	90	90
	g	120	120
Элементы симметрии		32 – тригональный- трапецоэдр	622-гексакональный-трапецоэдр
Ступень		аксиальная	аксиальная
Обозначение вида симметрии		32, L33L2, D3	622, L66L2
Сингония		тригональная	гексагональная

В кристаллах кварца, получаемых в щелочных средах, преобладающим типом электрически активных точечных дефектов являются примесные щелочные ионы, входящие в структуру кварца при гетеровалентном изоморфизме. В кварце основными механизмами внутреннего трения являются потери, связанные с точечными дефектами, а также с рассеянием на границах неоднородностей и включений и, наконец, потери, связанные с диффузией междоузельных (щелочных) ионов.

Часть 1.

1. Стереографические проекции элементов симметрии и общей простой формы рутильной модификации диоксида титана

 

Исходные элементы симметрии планаксиальной ступени тетрагональной сингонии представлены на рис. 3, это вертикальная поворотная ось 4 порядка, горизонтальная поворотная ось второго порядка и перпендикулярна ей вертикальная плоскость.

Данные элементы симметрии порождают другие элементы симметрии. Новые элементы симметрии можно получить с помощью теорем о сочетании элементов симметрии.

Теорема 1. Точка пересечения четной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии: .

Теорема 2 (обратная теореме 1). Если есть четная ось симметрии и на ней центр симметрии, то перпендикулярно этой оси проходит плоскость симметрии: .

Теорема 3. Если есть ось симметрии порядка и перпендикулярно этой оси проходит ось второго порядка, то всего имеется осей второго порядка, перпендикулярных оси -го порядка: .

Теорема 4. Если есть ось симметрии -го порядка и вдоль нее проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется : .

Таким образом, исходя из приведенных выше теорем, можно записать: . Соответственно кристаллографическая формула выглядит следующим образом: . 
2. Стандартная установка кристаллографических и кристаллофизических осей координат. Изображение проекции заданной грани на сетке Вульфа

 

На рис. 4 приведена стандартная установка кристаллографических и кристаллофизических осей координат для класса тетрагональной сингонии. Из рисунка видно, что оси кристаллофизической системы координат (X1, X2, X3) совпадают с осями кристаллографической системы координат (X, Y, Z).

 

 

 

Для решения количественных задач с помощью стереографической и гномостереографической проекции пользуются обычно градусными сетками. Наиболее употребительна сетка Вульфа. Сетка Вульфа – это стереографическая проекция всей системы меридианов и параллелей, нанесенных на поверхность сферы. Плоскостью проекций является плоскость одного из меридианов. Положение любой точки на сетке Вульфа определяется ее сферическими координатами и .

Угол между плоскостями и находится как угол между их обратными векторами. Косинус угла между этими плоскостями в тетрагональной сингонии определяется следующим образом:

 

 

Рассчитаем угол . В качестве грани выбирается грань , а грани соответствует грань . Соответственно:

 

Рассчитаем угол с проекцией в экваториальной плоскости. В качестве грани выбирается грань , а грани соответствует грань . Соответственно:

 

Изобразим проекцию грани и проекции других граней общей простой формы на сетке Вульфа, исходя из рассчитанных сферических координат (рис. 5).

Рис. 5. Проекция грани и простой формы на ее основе на сетке Вульфа

Часть 2. Стереографические проекции частных простых форм рутильной модификации диоксида титана

 

Таблица 2

Частные простые формы рутильной модификации диоксида титана

Частная простая форма	Стереографическая  проекция	Название  простой формы	Собственная симметрия грани	Форма фигур травления
		Пинакоид		Квадрат
		Тетрагональная бипризма		Ромб
		Дитетрагональная призма		Равнобедренный треугольник
		Тетрагональная бипирамида		Равнобедренный треугольник

 

Часть 3. Матричные представления преобразований симметрии

 

Преобразования симметрии в кристаллическом пространстве можно описать аналитически как соответствующие преобразования координат. Для этого выбираем в пространстве прямоугольную систему координат . Точка с координатами после преобразования симметрии займет новое положение с координатами , которые определяются уравнениями преобразования:

 

                                     

 

где косинусы углов между осями старой и новой системы координат. Любому преобразованию симметрии можно поставить в соответствие определитель преобразования .

Представим исходные элементы симметрии в матричном виде.

Таблица 3

Матричные представления исходных элементов симметрии

Элемент симметрии	Преобразование кристаллофизических осей	Матричное представление
Вертикальная поворотная ось четвертого порядка

 

 

Окончание таблицы 3

Матричные представления исходных элементов симметрии

Элемент симметрии	Преобразование кристаллофизических осей	Матричное представление
Горизонтальная поворотная ось второго порядка
Вертикальная плоскость симметрии

 

Получим новые элементы симметрии путем перемножения матриц:

 

1. Получение центра инверсии:

 

 

2. Получение горизонтальной плоскости симметрии:

 

 

 

 

3. Получение горизонтальных осей симметрии второго порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

получили исходный элемент .

 

4. Получение вертикальных плоскостей симметрии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получили исходный элемент симметрии

Сведем все новые элементы симметрии, полученные матричным методом в таблицу:

Таблица 4

Новые элементы симметрии, полученные матричным методом

Элемент симметрии	Преобразование кристаллофизических осей	Матричное представление
Центр инверсии
Горизонтальная плоскость симметрии
Горизонтальная поворотная ось второго порядка

 

 

 

 

 

 

Продолжение таблицы 4

Новые элементы симметрии, полученные матричным методом

Элемент симметрии	Преобразование кристаллофизических осей	Матричное представление
Горизонтальная поворотная ось второго порядка
Горизонтальная поворотная ось второго порядка
Вертикальная плоскость симметрии
Вертикальная плоскость симметрии

 

Окончание таблицы 4

Новые элементы симметрии, полученные матричным методом

Элемент симметрии	Преобразование кристаллофизических осей	Матричное представление
Вертикальная плоскость симметрии

 

 

 

Часть 4. Оценка возможности возникновения эффектов

 

При оценке возможности возникновения тех или иных эффектов будем пользоваться принципом Кюри:

1. В присутствии внешнего воздействия кристалл изменяет свою симметрию;
2. Результирующая симметрия кристалла содержит те элементы симметрии, которые идентичны для воздействия и для кристалла (включая направления).

1. Пироэлектрический  эффект

Пироэлектричество – это свойство некоторых диэлектрических кристаллов изменять величину электрической поляризации при изменении температуры. В результате нагревания или охлаждения пироэлектрического кристалла на его гранях появляются электрические заряды.

Если в кристалле нет единичных полярных направлений, то пироэлектрического эффекта наблюдаться не будет. Из 32 классов симметрии полярные единичные направления могут существовать лишь в 10 классах симметрии, а именно в тех, где есть либо одна-единственная ось симметрии, либо одна ось и продольные плоскости симметрии. Пироэлектрический эффект может проявляться только в диэлектрических кристаллах, принадлежащих к одному из десяти полярных классов симметрии: 1, 2, 3, 4, 6, m, mm2, 3m, 4mm, 6mm Класс симметрии 4/mmm не содержит полярных направлений, поэтому  пироэлектрический эффект наблюдаться не будет.