Описание и применение кристаллических модификаций кварца

 

2. Пьезоэлектрический эффект

Пьезоэффект – эффект возникновения поляризации диэлектрика под действием механических напряжений (прямой пьезоэлектрический эффект). Существует и обратный пьезоэлектрический эффект – возникновение механических деформаций под действием электрического поля. Уравнение прямого пьезоэффекта записывается следующим образом: , где и – компоненты вектора поляризации и тензора механических напряжений соответственно, а – компоненты тензора пьезоэлектрических модулей.

Пьезоэлектрическому эффекту соответствует предельная группа симметрии , которая представлена элементами: . Группа изображается покоящимся цилиндром.

Таблица 5

Оценка возникновения пьезоэффекта

Неэквивалентные направления в кристалле	Общие элементы симметрии	Результирующая симметрия кристалла	Вероятность возникновения эффекта
[001]			эффект невозможен
[100] или [110]			эффект невозможен
[hk0]			эффект невозможен
[hkl] или [h0l]			эффект невозможен
[hkl]			эффект невозможен

 

3. Эффект поляризации в электрическом поле

Поляризация кристалла в электрическом поле можно описать при помощи тензоров 2-го ранга – диэлектрической проницаемости или диэлектрической восприимчивости . Уравнение, описывающее данный эффект: , где вектор электрического смещения, вектор электрического поля.

Эффекту поляризации в электрическом поле соответствует предельная группа симметрии , которая представлена элементами: Группа изображается покоящимся конусом.

Таблица 6

Оценка возникновения эффекта поляризации в электрическом поле

Направление, параллельное оси бесконечного порядка	Общие элементы симметрии	Результирующая симметрия кристалла	Вероятность возникновения эффекта
[001]			возможен продольный эффект
[100] или [110]			возможен продольный эффект
[hk0]			возможен поперечный и продольный эффект

Окончание таблицы 6

Оценка возникновения эффекта поляризации в электрическом поле

[hhl] или [h0l]			возможен поперечный и продольный эффект
[hkl]			эффект невозможен

 

4. Эффект электропроводности

Электропроводность описывается тензором второго ранга – тензором удельной проводимости или обратным ему тензором удельного электрического сопротивления.

Уравнение, описывающее явление электропроводности, связывает между собой два вектора – вектор плотности тока и напряжённости электрического поля: . Принципиальное отличие между явлением электропроводности и поляризации в электрическом поле отсутствует. В обоих случаях явление и воздействие являются векторными, симметрия воздействия совпадает. Поэтому все результаты, полученные для предыдущего случая, распространяются и на данный эффект.

 

 

Часть 5. Расчет дифрактограммы кварца

 

Для расчета рентгенограммы поликристаллического вещества необходимо определить положение дифракционных пиков и вычислить относительную интегральную интенсивность.

 

1. Расчет межплоскостных расстояний

Исходными данными для расчета являются периоды решетки, находимые в литературе, и индексы интерференции, определяемые из пространственной группы по законам погасаний.

Расчет следует проводить до тех пор, пока вычисленные межплоскостные расстояния не станут меньше половины длины волны того излучения, для которого рассчитывается диаграмма, так как на рентгенограмме получаются отражения от плоскостей, для которых

Расчет брэгговских углов производится по данным о межплоскостных расстояниях по формуле Вульфа-Брэгга: .

Заданный материал относится к тригональной сингонии. Расчёт межплоскостных расстояний производится по формуле для гексагональной системы координат:

 

 

 

 

2. Вычисление относительной интегральной интенсивности

Вычисление относительной интегральной интенсивности производится не только при расчете рентгенограмм, часто оно представляет собой основную цель исследования, например при определении структуры вещества, искажений кристаллической решетки, характеристической температуры, изучении сверхструктуры и др. Интегральная интенсивность линий рентгенограммы является функцией ряда факторов. Эта зависимость выражается уравнением:

 

где – интенсивность первичных лучей; – постоянная для данного вещества и данных условий съемки величина; – угловой множитель интенсивности; – множитель повторяемости; – абсорбционный множитель; – температурный множитель интенсивности; – структурный множитель интенсивности.

Угловой множитель учитывает поляризацию, происходящую при рассеянии рентгеновых лучей, а также конечную величину пучка рассеянных лучей и геометрию съемки рентгенограммы:

Множитель повторяемости равен числу семейств плоскостей в их совокупности, имеющих одинаковое межплоскостное расстояние и одинаковый структурный множитель. В нашем случае граням (0001) отвечает множитель 2, граням (101 0), (112 0) и (h0h l) – 6, для остальных граней (hki0), (hh2h l) и (hkil) множитель равен 12.

Абсорбционный множитель  учитывает ослабление лучей в образце при данной геометрии съемки.

Температурный множитель учитывает разность фаз рассеянных лучей, возникшую вследствие тепловых колебаний.

Расчёт интенсивности в данной работе производится в рамках приближения Брэдли, согласно которому можно без потери точности принять произведение абсорбционного и температурного множителей равным единице (для материалов с достаточно сильным поглощением рентгеновского излучения).

Структурный множитель учитывает зависимость интенсивности рентгеновых лучей от расположения атомов в элементарной ячейке и определяется базисом решетки:

 

Структурный множитель представляет собой, таким образом, взятую по всем атомам базиса сумму произведений атомного множителя на комплексную экспоненту, в аргумент которого входит сумма парных произведений индексов интерференции на одноименные координаты базиса и

Обращение структурного множителя в нуль свидетельствует о погасании соответствующего отражения, поэтому при отсутствии данных о пространственной группе выражение структурного множителя можно использовать для определения индексов наблюдаемых интерференций.

fj- атомный множитель (или фактор) рассеяния рентгеновских лучей, его значения были получены эмпирическим путём, с помощью справочных данным был построен  график зависимости атомного множителя от , с помощью его полиномиальной аппроксимации был получен полином 4-го порядка

y = 0,0018x4 - 0,0594x3 + 0,5761x2 - 3,1976x + 14,047, с помощью полиномы были рассчитаны значения .

Кварц характеризуется следующим атомным базисом:

[(0.4699 0 0.6667), (0 0.4699 0.3334), (0.5301 0.5301 0)  – Si (0.4141 0.2681 0.1188), (0.7319  0.146 0.7855), (0.854 0.5859 0.4522), (0.2681 0.4141 0.8812), (0.146 0.7319 0.2145), (0.5859  0.854 0.5478 ) - O].

Рассчитаем структурный множитель :

 

Таблица 7

 

Расчет интенсивности рентгеновских рефлексов на излучении меди для кварца

 

Индексы			, нм
H	K	L
1	0	0	0,181	6	10,438	1,175	60,94	11,49	192,581	70415,19	0,194
1	0	2	0,077	12	16,089	1,797	26,06	10,33	1162,521	363569,11	1,000
0	0	3	0,060	2	18,335	2,040	20,24	9,95	2261,554	91545,56	0,252
1	1	1	0,054	12	19,321	2,146	18,30	9,79	1093,954	240248,75	0,661
2	0	0	0,045	12	21,244	2,350	15,27	9,50	947,405	173609,41	0,478
0	2	1	0,042	12	22,161	2,447	14,10	9,37	464,229	78532,29	0,216
1	1	2	0,042	12	22,174	2,448	14,08	9,36	1318,263	222758,18	0,613

 Продолжение таблицы 7

Расчет интенсивности рентгеновских рефлексов на излучении меди для кварца

 

Индексы			, нм
H	K	L
2	0	2	0,034	12	24,750	2,715	11,46	9,02	121,121	16661,98	0,046
2	1	0	0,026	12	28,642	3,109	8,78	8,56	691,972	72895,86	0,201
1	2	1	0,025	12	29,385	3,182	8,39	8,48	843,947	84927,04	0,234
1	2	2	0,022	12	31,548	3,393	7,40	8,25	529,212	46992,26	0,129
3	0	0	0,020	12	32,924	3,525	6,87	8,11	108,324	8935,65	0,025
3	0	1	0,019	6	33,610	3,590	6,64	8,04	54,125	2155,28	0,006
1	2	3	0,018	12	34,983	3,719	6,21	7,91	371,339	27652,01	0,076
3	0	2	0,018	12	35,632	3,779	6,02	7,85	1032,238	74568,38	0,205
2	2	0	0,015	12	38,873	4,071	5,24	7,56	584,251	36720,67	0,101
0	3	3	0,015	12	38,902	4,073	5,23	7,56	584,692	36707,23	0,101
2	2	1	0,015	12	39,517	4,127	5,11	7,51	593,826	36391,96	0,100
3	1	0	0,014	12	40,786	4,237	4,87	7,40	658,455	38476,62	0,106
3	1	1	0,014	12	41,421	4,291	4,76	7,35	329,104	18798,13	0,052
2	2	2	0,014	12	41,431	4,292	4,76	7,35	153,757	8779,61	0,024
3	1	2	0,013	12	43,320	4,450	4,47	7,20	678,157	36342,87	0,100
4	0	0	0,011	12	46,443	4,700	4,08	6,96	343,848	16815,67	0,046
1	3	3	0,011	12	46,471	4,702	4,07	6,95	249,423	12188,94	0,034
4	0	1	0,011	12	47,074	4,749	4,01	6,91	1430,349	68806,45	0,189
4	0	2	0,010	12	48,975	4,893	3,83	6,77	39,220	1802,57	0,005

 

Рис.  6. Штрихдиаграмма для кварца на излучении меди

 

Таблица 8

Расчет интенсивности рентгеновских рефлексов на излучении хрома для кварца

Индексы			, нм
H	K	L
1	0	0	0,181	6	20,570	3,182474	16,24	11,49	192,581	18761,23	0,191
1	0	2	0,077	12	32,509	3,182474	7,03	10,33	1162,521	98001,13	1,000
0	0	3	0,060	2	37,592	3,182474	5,52	9,95	2261,554	24969,94	0,255
1	1	1	0,054	12	39,913	3,182474	5,03	9,79	1093,954	66030,91	0,674
2	0	0	0,045	12	44,644	3,182474	4,29	9,50	947,405	48741,77	0,497
0	2	1	0,042	12	47,014	3,182474	4,01	9,37	464,229	22365,96	0,228
1	1	2	0,042	12	47,049	3,182474	4,01	9,36	1318,263	63455,99	0,648
2	0	2	0,034	12	54,282	3,182474	3,48	9,02	121,121	5064,12	0,052
2	1	0	0,026	12	68,369	3,182474	2,31	8,56	691,972	19218,84	0,196
1	2	1	0,025	12	72,094	3,182474	2,21	8,48	843,947	22369,39	0,228