Основные параметры синусоидальных величин тока и напряжения, способы представления синусоидальных величин

 

 

где W_k – запас кинетической энергии системы, выраженный через обобщенные координаты q_i и обобщенные скорости;

Q_i – обобщенная сила, определяемая суммой работ δA_i всех действующих сил на возможном перемещении.

Уравнение Лагранжа можно представить в другом виде:

 

Здесь L– функция Лагранжа, представляющая собой разность кинетической и потенциальной энергий системы:

L=W_k – W_n.

Число уравнений  равно числу степеней свободы  системы и определяется числом переменных – обобщенных координат, определяющих положение системы.

Запишем уравнения Лагранжа для двухмассовой упругой системы

 

 

 

Функция Лагранжа в этом случае имеет вид

Для определения  обобщенной силы Q_i' необходимо вычислить элементарную работу всех приведённых к первой массе моментов на возможном перемещении:

Следовательно, т.к. обобщенная сила Q_i определяется суммой элементарных работ δA1 на участке δφ1 , то для определения Q_i'величины  получим:

Q₁'=М-М_с1

Аналогично, для  определения Q₂' имеем:

Q₂'=-М_с2

Подставив выражение для функции Лагранжа, получим:

 

 

или

 

 

Примем механическую связь  между первой и второй массами  абсолютно жёсткой, т.е. 

 

 

 

 

Тогда ω₁= ω₂= ω и второе уравнение системы примет вид:

 

Подставив его  в первое уравнение системы, получим:

или

 

Это уравнение  иногда называют основным уравнением движения электропривода. С его помощью  можно по известному электромагнитному  моменту двигателя М, моменту сопротивления М_с и суммарному моменту инерции J_Σ оценить среднее значение ускорения электропривода, рассчитать время, за которое двигатель достигнет заданной скорости, и решить другие задачи, если влияние упругих связей в механической системе существенно.

Рассмотрим механическую систему с нелинейными кинематическими  связями типа кривошипно-шатунных, кулисных и других подобных механизмов. Радиус приведения в них является переменной величиной, зависящей от положения механизма:   .

 

 

 

 

 

Представим рассматриваемую систему в виде двухмассовой, первая масса вращается со скоростью ω и имеет момент инерции   , а вторая движется с линейной скоростью V и представляет суммарную массу m элементов, жёстко и линейно связанных с рабочим органом механизма.

Связь между линейными  скоростями ω и V нелинейная, причём   . Для получения уравнения движения такой системы без учёта упругих связей воспользуемся уравнением Лагранжа (2.19), приняв в качестве обобщенной координаты угол φ. Определим обобщенную силу:

где,

 - суммарный момент сопротивления  от сил, воздействующих на линейно  связанные с двигателем массы;  приведённый к валу двигателя;

FC – результирующая всех сил, приложенная к рабочему органу механизма и линейно связанным с ним элементам;

 – возможное бесконечно малое перемещение  массы m.

Нетрудно видеть, что

где

 - радиус приведения.

Момент статической  нагрузки механизма содержит пульсирующую составляющую нагрузки, изменяющуюся в функции угла поворота φ:

Запас кинетической энергии системы:

Здесь   - суммарный приведённый к валу двигателя момент инерции системы.

Левую часть уравнения  Лагранжа можно записать в виде:

 

 

 

 

Таким образом, уравнение движения жёсткого приведённого звена имеет вид:

 

 

Оно является нелинейным с  переменными коэффициентами.

Для жёсткого линейного механического  звена уравнение статического режима работы электропривода соответствует   и имеет вид:

Если при  движении   то имеет место или динамический переходный процесс, или принуждённое движение системы с периодически изменяющейся скоростью.

В механических системах с нелинейными кинематическими  связями статические режимы работы отсутствуют. Если   и ω=const, в таких системах имеет место установившийся динамический процесс движения. Он обусловлен тем, что массы, движущиеся линейно, совершают возвратно-поступательное движение, и их скорости и ускорения являются переменными величинами.

С энергетической точки зрения различают двигательные и тормозные режимы работы электропривода. Двигательный режим соответствует  прямому направлению передачи механической энергии к рабочему органу механизма. В электроприводах с активной нагрузкой, а также в переходных процессах в электроприводе, когда происходит замедление движения механической системы, происходит обратная передача механической энергии от рабочего органа механизма к двигателю.

 

 

 

 

 

 

 

3. Операционные усилители

Операционный  усилитель (ОУ, OpAmp) — усилитель постоянного тока с дифференциальным входом и, как правило, единственным выходом, имеющий высокий коэффициент усиления. Операционный усилитель почти всегда используются в схемах с глубокой отрицательной обратной связью, которая, благодаря высокому коэффициенту усиления операционного усилителя, полностью определяет коэффициент передачи полученной схемы.

В настоящее время операционные усилители получили широкое применение как в виде отдельных чипов, так и в виде функциональных блоков в составе более сложных интегральных схем. Такая популярность обусловлена тем, что операционный усилитель является универсальным блоком с характеристиками, близкими к идеальным, на основе которого можно построить множество различных электронных узлов.

Операционный  усилитель изначально был спроектирован для выполнения математических операций (отсюда его название), путём использования напряжения как аналоговой величины. Такой подход лежит в основе аналоговых компьютеров, в которых операционные усилители использовались для моделирования базовых математических операций (сложение, вычитание, интегрирование, дифференцирование и т. д.). Однако идеальный операционный усилитель является многофункциональным схемотехническим решением, он имеет множество применений помимо математических операций. Реальные операционные усилители, основанные на транзисторах, электронных лампах или других активных компонентах, выполненные в виде дискретных или интегральных схем, являются приближением к идеальным.

Первые промышленные ламповые операционные усилители (1940-е гг.) выполнялись на паре двойных триодов, в том числе в виде отдельных конструктивных сборок в корпусах с октальным цоколем. В 1963 Роберт Видлар, инженер Fairchild Semiconductor, спроектировал первый интегральный ОУ — μA702. При цене в 300 долларов прибор, содержавший 9 транзисторов использовался только в военных применениях. Первый доступный интегральный операционный усилитель, μA709, также спроектированный Видларом, был выпущен в 1965; вскоре после выпуска его цена упала ниже 10 долларов, что было всё ещё слишком дорого для бытового применения, но вполне доступно для массовой промышленной автоматики и т. п. гражданских задач.

В 1967 National Semiconductor, куда перешёл  работать Видлар, выпустила LM101, а в 1968 Fairchild выпустило практически идентичный μA741 — первый операционный усилитель со встроенной частотной коррекцией. ОУ LM101/μA741 был более стабилен и прост в использовании, чем предшественники. Многие производители до сих пор выпускают версии этого классического чипа (их можно узнать по числу «741» в наименовании). Позднее были разработаны операционный усилитель и на другой элементной базе: на полевых транзисторах с p-n переходом (конец 1970х) и с изолированным каналом (начало 1980х), что позволило существенно улучшить ряд характеристик. Многие из более современных операционных усилителей могут быть установлены в схемы, спроектированные для 741 без каких-либо доработок, при этом характеристики схемы только улучшатся.

Применение  операционных усилителей в электронике чрезвычайно широко – операционный усилитель, вероятно, наиболее часто встречающийся элемент в аналоговой схемотехнике. Добавление лишь нескольких внешних компонент делает из операционного усилителя конкретную схему аналоговой обработки сигналов. Многие стандартные операционные усилители сто́ят всего несколько центов в крупных партиях, но усилители с нестандартными характеристиками (в интегральном или дискретном исполнении) могут стоить $100 и выше.

На рисунке показано схематичное изображение операционного усилителя. Выводы имеют следующее значение:

V₊: неинвертирующий вход

V₋: инвертирующий вход

V_out: выход

V_S+: плюс источника питания (также может обозначаться как V_DD, V_CC , или V_CC+)

V_S−: минус источника питания (также может обозначаться как V_SS, V_EE , или V_CC-).

 

 

 

 

 

 

Указанные пять выводов присутствуют в любом операционном усилителе, они необходимы для его функционирования. Однако, существуют операционные усилители, не имеющие неинвертиующего входа. В частности, такие операционные усилители находят применение в аналоговых вычислительных машинах (АВМ). Операционные усилители, применяемые в АВМ, принято делить на 5 классов, из которых операционные усилители первого и второго класса имеют только один вход. Операционные усилители первого класса – усилители высокой точности (УВТ) с одним входом. Они предназначены для работы в составе интеграторов, сумматоров, устройств слежения-хранения, электронных коэффициентов. Высокий коэффициент усиления, предельно малые значения смещения нуля, входного тока и дрейфа нуля, высокое быстродействие обеспечивают снижение погрешности, вносимой усилителем, ниже 0,01 %. Операционные усилители второго класса – усилители средней точности (УСТ) также с одним входом, обладающие меньшим коэффициентом усиления и большими значениями смещения и дрейфа нуля. Эти операционные усилители предназначены для применения в составе электронных устройств установки коэффициентов, инверторов, электронных переключателей, в функциональных преобразователях, множительных устройствах. Помимо этого, некоторые операционные усилители могут иметь дополнительные выводы (предназначенные, например, для установки тока покоя, частотной коррекции, балансировки или других функций).

Выводы питания (V_S+ и V_S−) могут быть обозначены по-разному. Часто выводы питания не рисуют на схеме, чтобы не загромождать её несущественными деталями, при этом способ подключения этих выводов явно не указывается или считается очевидным (особенно часто это происходит при изображении одного усилителя из микросхемы с четырьмя усилителями с общими выводами питания). При обозначении операционных усилителей на схемах можно менять местами инвертирующий и неинвертирующий входы, если это удобно; выводы питания, как правило, всегда располагают единственным способом (положительный вверху).

В общем случае операционные усилители использует двуполярное питание, то есть источник питания имеет три вывода с потенциалами:

U₊ (к нему подключается V_S+)

0

U_- (к нему подключается V_S-)

Вывод источника  питания с нулевым потенциалом непосредственно к операционному усилителю обычно не подключается, но, как правило, является сигнальной землёй и используется для создания обратной связи. Часто вместо двуполярного используется более простое однополярное, а общая точка создаётся искусственно или совмещается с отрицательной шиной питания.

Операционные усилители способны работать в широком диапазоне напряжений источников питания, типичное значение для операционных усилителей общего применения от ±1,5 В до ±15 В при двуполярном питании (то есть U₊ = 1,5…15 В, U- = -15…-1,5 В, допускается значительный перекос).

Рассмотрим  работу операционного усилителя как отдельного дифференциального усилителя, то есть без включения в рассмотрение каких-либо внешних компонентов. В этом случае операционный усилитель ведёт себя как обычный усилитель с дифференциальным входом, то есть поведение операционного усилителя описывается следующим образом:

V_out=(V₊ − V_-)G_openlop

Здесь^

V_out: напряжение на выходе

V₊: напряжение на неинвертирующем входе

V₋: напряжение на инвертирующем входе

G_openloop: коэффициент усиления с разомкнутой петлёй обратной связи

Все напряжения считаются относительно общей точки  схемы. Рассматриваемый способ включения операционного усилителя (без обратной связи) практически не используется вследствие присущих ему серьёзных недостатков:

Коэффициент усиления с разомкнутой петлёй обратной связи G_openloop нормируется в очень широких пределах и может изменяться в тысячи раз (зависит сильнее всего от частоты сигнала и температуры).

Коэффициент усиления очень велик (типичное значение 106 на постоянном токе) и не поддаётся регулировке.

Точка отсчёта  входного и выходного напряжений не поддаются регулировке.

Для того, чтобы  рассматривать функционирование операционного усилителя в режиме с обратной связью, необходимо вначале ввести понятие идеального операционного усилителя. Идеальный операционный усилитель является физической абстракцией, то есть не может реально существовать, однако позволяет существенно упростить рассмотрение работы схем на операционных усилителях благодаря использованию простых математических моделей.