Понятие гидродинамики

где Ƞ  — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния (например, температуры) жидкости и называемый коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости, или просто вязкостью жидкости (газа).

Нижняя пластина при  движении верхней также оказывается  подверженной действию силы F’_тр равной по величине F_тр.

Для того чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, силу F’_тр необходимо уравновесить с помощью силы F’.

Таким образом, при движении двух погруженных в жидкость пластин  друг относительно друга между ними возникает взаимодействие, характеризуемое  силой (75.1). Воздействие пластин друг на друга осуществляется, очевидно, через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя жидкости к другому. Если в любом месте зазора провести мысленно плоскость, параллельную пластинам (см. пунктирную линию на рис. 75.1), то можно утверждать, что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащую под плоскостью, с силой F’_тр,  а часть жидкости, лежащая под плоскостью, в свою очередь действует на часть жидкости, лежащую над плоскостью, с силой F_тр причем значения F_тр и F’_тр определяются формулой (75.1). Таким образом, формула (75.1) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися частями жидкости.

Если исследовать скорость частиц жидкости в. разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z, перпендикулярном к пластинам (рис. 75.1), по линейному закону

Частицы жидкости непосредственно  соприкасающиеся с пластинами, как  бы прилипают к ним и имеют  такую же скорость, как и сами пластины.

Знак модуля мы поставили по следующей  причине. Если бы мы закрепили верхнюю  пластину, а двигали нижнюю (см. рис. 75.1), или изменили направление оси z на обратное, производная dυ/dz стала бы отрицательной. Величина же υ₀/d всегда положительна. Поэтому для того, чтобы формула (75.3) была справедлива в любом случае, нужно взять модуль dυ/dz 

Использовав равенство (75.3), формуле (75.1) можно придать вид

Эта формула определяет модуль силы трения. Величина |dυ/dz|  показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z, и представляет собой модуль градиента модуля скорости (если υ зависит только от z, dυ/dx = dυ/dy = 0).

Формула (75.4) получена нами для случая, когда скорость изменяется по линейному  закону. Оказывается, что эта формула  остается справедливой и для любого другого закона изменения скорости от слоя к слою. В этом случае для определения силы трения между двумя граничащими друг с другом слоями нужно брать значение |dυ/dz|  в том месте, где проходит воображаемая поверхность раздела слоев.

Все сказанное в этом параграфе  относится не только к жидкостям, но и к газам.

Единицей вязкости в СИ служит такая  вязкость, при которой градиент скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего  трения в 1 Н на 1 м² поверхности касания слоев. Эта единица называется паскаль-секундой (обозначается Па·c).

1 Па·c = 1 П

Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем характер этой зависимости существенно  различен для жидкостей и газов. У жидкостей коэффициент вязкости сильно уменьшается с повышением температуры.

У газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой растет. Отличие в  характере поведения Ƞ при изменениях температуры указывает на различие механизма внутреннего трений в жидкостях и газах.

 

 

Ламинарное и турбулентное течение. Число Рейнольдса.

Кинематическая и динамическая вязкость.

 

Ламинарное  течение. Течение жидкости в цилиндрической трубе, при котором скорости частиц жидкости всюду направлены вдоль оси трубы, называется ламинарным или слоистым. Такое течение возможно только при не очень большой скорости потока вязкой жидкости в трубах малого поперечного сечения. С увеличением скорости или с увеличением площади сечения трубы характер течения принципиально изменяется. Вместо слоистого течения возникает носящее нерегулярный характер завихренное, или турбулентное, течение.

 

Изменение характера  течения можно наблюдать в  эксперименте со стеклянными трубками различного сечения при различных  перепадах давления, при различных скоростях жидкости. Линии тока при стационарном течении можно сделать видимыми, впуская во входное сечение стеклянной трубки окрашенную струйку жидкости. При небольшой скорости потока в узкой трубке подкрашенная струйка движется ровно и параллельно оси трубки. При постепенном увеличении скорости потока внезапно начинается нерегулярное движение, которое постепенно захватывает всю трубку, струйка, ровная у входа, разбивается на множество извилистых струек. Такие нерегулярные изменения движения происходят не из-за изменения внешних условий, а вследствие неустойчивости ламинарного течения при больших скоростях.

 

Турбулентное течение. При стационарном турбулентном движении скорость жидкости в данном месте не остается постоянной, а совершает хаотические колебания и по модулю, и по направлению. Но средняя скорость в данном месте трубы будет постоянна и направлена вдоль оси трубы. На рис. 226а показано распределение 

Рис. 226. Профиль скорости при ламинарном (а) и турбулентном (б) течение жидкости по трубе.

скорости жидкости по селению трубы при ламинарном течении, а на рис. 226б  распределение средней скорости при установившемся турбулентном течении. В турбулентном потоке, как видно из рисунка, можно четко выделить пограничный слой жидкости вблизи стенок трубы, где средняя скорость быстро спадает до нуля, в то время как при ламинарном течении такого четкого пограничного слоя нет, так как скорость изменяется за счет вязкости по всему сечению трубы. Другими словами, в этом случае вся труба находится в пределах пограничного слоя. Неустойчивость ламинарного течения и возникновение турбулентности — сложные вопросы, до конца не выясненные и в настоящее время.

Английский ученый Рейнольдс установил, что характер течения зависит  от значения безразмерной величины:

где p — плотность жидкости (или газа), υ — средняя (по сечению трубы) скорость потока, Ƞ  — коэффициент вязкости жидкости, l — характерный для поперечного сечения размер, например, сторона квадрата при квадратном сечении, радиус или диаметр при круглом сечении и т. д.

 

Величина (76.1) называется числом Рейнольдса. При малых значениях числа  Рейнольдса наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого определенного  значения Re называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характерного размера для круглой трубы взять ее радиус r, то критическое значение числа Рейнольдса (которое в этом случае имеет вид Re =pυr/ Ƞ) оказывается равным примерно 1000. В число Рейнольдса входят в виде отношения две величины, зависящие от свойств жидкости: плотность p и коэффициент вязкости Ƞ. Отношение

υ = Ƞ/p

называется кинематической вязкостью. В отличие υ от величина Ƞ называется динамической вязкостью. Используя кинематическую вязкость, числу Рейнольдса можно придать следующий вид;

Число Рейнольдса может служить  критерием подобия для течения  жидкостей в трубах, каналах и  т. д. Характер течения различных  жидкостей (или газов) в трубах разных сечений будет совершенно одинаков, если каждому течению соответствует  одно и то же значение Re.

 

 

Течение жидкости в круглой  среде. Формула Пуазейля.

 

 

Пусть по горизонтальной трубе радиуса  течет стационарный поток жидкости. Рассмотрим отрезок этой трубы длиной (рис. 9.6).

 

Рис. 9.6.

 

Частицы жидкости движутся вдоль трубы  с разной скоростью: у самой стенки они прилипают к ней и имеют скорость равной нулю. По мере удаления от стенок скорость увеличивается и достигает максимального значения на оси трубы. Таким образом, величина скорости частиц жидкости является функцией расстояния от оси трубы.

Для доказательства этого утверждения  выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса . Жидкость, находящаяся внутри цилиндра, подвергается действию сил со стороны окружающей жидкости. Обозначим через – давление жидкости у основания 1, – давление жидкости у основания 2, – площадь оснований. Так как движение частиц жидкости происходит вдоль трубы, рассмотрим силы, действующие лишь в этом направлении. На основание цилиндра действуют силы давления, величины которых и .

На боковую поверхность действует сила внутреннего трения . Так как скорость жидкости внутри цилиндра больше, чем вне его, то сила направлена в сторону, противоположную движению жидкости. Величина этой силы определяется по формуле .

Здесь знак минус поставлен потому, что скорость убывает с расстоянием от оси трубы, следовательно, отрицательна и

При стационарном течении в трубе  постоянного сечения скорости всех частиц жидкости остаются неизменными. Следовательно, должна быть равна нулю сумма проекций на направление оси трубы всех сил, действующих на цилиндр, т.е. .

Здесь за положительное направление  принято направление движения жидкости. Подставив сюда выражения для  , найдем

Разделив переменные, получим уравнение 

Интегрирование дает

Постоянную интегрирования С можно найти из условия, что на стенке трубы, т.е. при скорость частиц должна обращаться в нуль. Это дает

Окончательно имеем 

Отсюда видно, что при ламинарном течении скорость в зависимости  от r меняется по параболическому закону и достигает максимума на оси трубы при (как это и предполагалось ранее) (рис. 9.7).

 

Рис.9.7. Профиль скоростей при  ламинарном течении жидкости в круглой трубе

 

При турбулентном течении остается постоянной средняя скорость в каждой точке сечения трубы (рис.9.8). Вблизи стенок трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при ламинарном течении, а в остальной части сечения скорость изменяется меньше.

 

Рис.9.8. Профиль скоростей при турбулентном течении жидкости в круглой трубе

      Полагая течение ламинарным, вычислим поток жидкости Q , т.е. количество жидкости m, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени t:

Разобьем поперечное сечение трубы  на кольца ширины dr (рис. 9.9 ).

 

Рис.9.9.

 

Через кольцо радиуса r пройдет за секунду объем жидкости, равный произведению плотности жидкости на площадь кольца и на скорость течения в точках, находящихся на расстоянии r от оси трубы.

Полный расход Q через все поперечное сечение трубы определяется суммой расходов через все кольцевые площадки, на которые может быть разбито поперечное сечение. Он равен интегралу от dQ в пределах от r=0 до r=R:

Эта формула называется формулой Пуазейля.

Из этой формулы следует, что  поток жидкости сильно зависит от радиуса трубы. Кроме того, Q пропорционален отношению , т.е. перепаду давления на единице длины трубы, а также обратно пропорционален вязкости жидкости .

Формула Пуазейля используется для  экспериментального определения вязкости жидкостей и газов. Для этого жидкость или газ пропускают через трубку известного радиуса, измеряют перепад давления и поток Q . Затем на основании известных данных вычисляют .

 

 

 

Движение тел в жидкостях  и газах. Лобовое сопротивление  и подъемная сила.

 

При движении тела в жидкости или газе на него действуют силы, равнодействующую которых мы обозначим буквой R (рис. 78.1). Силу R можно разложить на две составляющие, одна из которых, Q, направлена в сторону, противоположную движению тела (или в сторону движения потока, набегающего на тело), а вторая, Р, перпендикулярна к этому направлению. Составляющие Q и Р называются соответственно лобовым сопротивлением и подъемной силой.

Очевидно, что на тело, симметричное относительно направления  движения, может действовать только лобовое сопротивление, подъемная  же сила в этом случае будет равна нулю.

Как показывают расчеты, в идеальной жидкости равномерное  движение тел должно было бы происходить  без лобового сопротивления; Не обладая  вязкостью, идеальная жидкость должна свободно скользить по поверхности  тела, полностью обтекая его.

На рис. 78.2 показаны линии  тока при обтекании очень длинного («бесконечного») цилиндра идеальной  жидкостью. Вследствие полного обтекания  картина линий тока оказывается  совершенно симметричной как относительно прямой, проходящей через точки А  и В, так и относительно прямой, проходящей через точки С и D. Поэтому давление вблизи точек А и В будет одинаково (и больше, чем в невозмущенном потоке, так как скорость вблизи этих точек меньше); точно так же давление вблизи точек С и D тоже будет одинаково (и меньше, чем в невозмущенном потоке, так как скорость вблизи этих точек больше). Следовательно, результирующая сил давления на поверхность цилиндра (которая при отсутствии вязкости могла бы обусловить лобовое сопротивление), очевидно, будет равна нулю. Такой же результат получается и для тел другой формы. Иначе протекают явления при движении тела в жидкости, обладающей вязкостью. В этом случае очень тонкий слой жидкости прилипает к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за трения последующие слои. По мере удаления от поверхности тела скорость слоев становится все меньше, и, наконец, на некотором расстоянии от поверхности жидкость оказывается практически не возмущенной движением тела. Таким образом, тело оказывается окруженным слоем жидкости, в котором имеется градиент скорости. Этот слой называется пограничным. В нем действуют силы трения, которые в конечном итоге оказываются приложенными к телу и приводят к возникновению лобового сопротивления.