Автор работы: Пользователь скрыл имя, 22 Апреля 2013 в 19:04, реферат
Понятия времени и пространства всегда интересовали человека. Многие великие мыслители старались проникнуть в сущность этих понятий. И, хотя даже ребёнку интуитивно ясно, что такое пространство и время, но попытки мыслителей выразить словами эту ясность не дают удовлетворительных формулировок – что-то важное непременно ускользает, и даже несколько томов комментариев не помогают ухватить это ускользнувшее нечто. Среди важнейших понятий теоретической механики, “пространство” и “время” находятся на особом положении. Потому что любой физический процесс разворачивается в пространстве и времени, любое тело имеет пространственные характеристики.
Введение …………………………………………………………………………..3
Понятия о материальной точке и пространстве, времени………………….…4
r = r(t).
Конец этого
радиуса-вектора описывает в
называемую траекторией точки.
Заметим, что в классической
механике постулируется непрерывность
как координат, так и времени; тем самым
постулируется непрерывность функции
(1.8).
Рис 1.3
Скоростью точки относительно системы отсчета S
называется отношение бесконечно малого приращения dr радиуса-
вектора точки к бесконечно малому интервалу времени dt, за который происходит указанное изменение радиуса-вектора. Приращение dr есть приращение относительно системы S, орты которой жестко скреплены с телом S. В связи с этим скорость точки v относительно системы S равняется производной радиуса-вектора по времени при постоянных ортах nx, ny, nz, (рис. 1.3,а):
где =
Ускорение точки w относительно системы S определяется как первая производная скорости по времени при постоянных ортах nx, ny, nz. Учитывая (1.9), ускорение можно также записать в виде второй производной от г по времени. Таким образом,
где = , =
В ряде задач используется понятие секторной скорости точки , по определению равной
Величина 1/2| [rdr] | равна площади, очерчиваемой радиусом-вектором при элементарном перемещении точки на dr. Следовательно, модуль секторной скорости равен скорости, с которой изменяется площадь, очерчиваемая
радиусом-вектором точки (рис. 1.3, б). Иногда также рассматривают секторное ускорение а. Радиусы-векторы точек, их скорости и ускорения задают с помощью различных координат.
В декартовых координатах радиус-вектор точки как функция времени задается тремя координатами x(t), y(t), z(t) как функциями времени. Этот вектор определяет положение точки относительно выбранной системы отсчета S в любой момент времени. Дифференцируя радиус-вектор r(t) по времени при постоянных ортах nx, ny, nz, найдем скорость и ускорение точки в виде
(1.12)
(1.13)
Следовательно, проекции скорости и ускорения точки на декартовы оси соответственно равны
, , ;
, (1.14)
В цилиндрических координатах r(t) задается скалярными
функциями (t), (t), z(t) (рис. 1.4):
r = , (1.15)
где орты цилиндрических координат связаны с ортами декартовых координат соотношениями
= ,
= ,
nz = nz
,
При перемещениях точки относительно системы S положение ортов и изменяется, а положение ортов nx, ny, nz, фиксировано. Учитывая это, в результате дифференцирования r по времени найдем
Место для формулы.
Замечая далее, что, согласно (1.16), = , для скорости точки
относительно системы S получаем выражение
v = (1.17)
Таким образом, проекции скорости на координатные оси , , z
оказываются соответственно равными
(1.18)
Аналогично, дифференцируя по времени v и учитывая зависимость и от (t) получим ускорение точки относительно S в виде разложения по ортам цилиндрических координат:
w = (1.19)
Следовательно, проекции ускорения на оси , , z соответственно равны
, , (1.20)
Отметим, что проекция ускорения секторной скорости соотношением
поскольку, согласно (1.11), (1.15) и (1.17),
В сферических координатах радиус-вектор точки задается функциями (рис. 1.5). Разложение радиуса-вектора по ортам сферических координат и сами орты определяются формулами r = rnr,
nr = (nxcos + nysin )sin + nzcos ,
(1.23)
Учитывая, что направления ортов nr зависят от положения точки, для ее скорости получим выражение
(1.24)
Следовательно, проекции скорости точки на координатные оси соответственно равны
vr = , (1.25)
Иногда используется естественное задание движения точки, при котором в качестве аргумента радиуса-вектора точки берется длина s дуги траектории, а сама длина дуги задается как функция времени:
r = r(s) , s = s(t) (1.26)
(длина дуги отсчитывается от начального положения точки в
направлении ее движения).
С помощью векторной функции r(s) в каждой точке траектории можно определить орты, совокупность которых называется естественным трехгранником (рис. 1.6,а). Один из
этих ортов направляют по приращению dr, определяющему
касательную к траектории. Поскольку |dr| с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен элементу дуги ds, орт
(1.27)
Второй орт n направляют по приращению d , т. е. по главной нормали к траектории. Используя (1.27), находим (1.28)
т.е.
орт n можно записать с помощью радиуса кривизны тра-ектории R, который определяется как отношение приращения длины дуги ds к d — углу между :
Так как — единичный вектор, то модуль его приращения | | с точностью до величины высшего порядка малости равен углу d (рис. 1.6, б). Поэтому согласно (1.30) и (1.28),
(1.31)
а орт n определится выражением
(1.32)
Третий орт nb естественного трехгранника задается векторным
произведением [ ] и определяет бинормаль к траектории
Разложение скорости точки по «естественным» ортам получим, используя (1.9), (1.26) и (1.27):
Где .
Дифференцируя обе части (1.33) по времени, найдем ускорение точки
Замечая, что, согласно (1.28) и (1.31),
окончательно получим
Учитывая, что , ускорение точки в естественных координатах
можно также представить в виде
Введенные в этом параграфе понятия и соотношения дают возможность решать кинематические задачи, т. е. задачи, в которых движение описывается вне связи с причинами, вызывающими это движение.
Список использованных источников и литературы