Понятие пространства и времени

r = r(t).                                          (1.8)

Конец этого  радиуса-вектора описывает в пространстве кривую,

называемую  траекторией точки.

Заметим, что в классической механике постулируется непрерывность как координат, так и времени; тем самым постулируется непрерывность функции (1.8).                                                                                      

Рис 1.3

Скоростью точки относительно системы отсчета S

называется  отношение бесконечно малого приращения dr радиуса-

вектора точки  к бесконечно малому интервалу времени dt, за который происходит указанное изменение радиуса-вектора. Приращение dr есть приращение относительно системы S, орты которой жестко скреплены с телом S. В связи с этим скорость точки v относительно системы S равняется производной радиуса-вектора по времени при постоянных ортах n_x, n_y, n_z, (рис. 1.3,а):

                                                                      (1.9)

где =

Ускорение точки w относительно системы S определяется как первая производная скорости по времени при постоянных ортах n_x, n_y, n_z. Учитывая (1.9), ускорение можно также записать в виде второй производной от г по времени. Таким образом,

                                               (1.10)

где = , =

В ряде задач  используется понятие секторной скорости точки , по определению равной

                                    (1.11)

Величина 1/2| [rdr] | равна площади, очерчиваемой радиусом-вектором при элементарном перемещении точки на dr. Следовательно, модуль секторной скорости равен скорости, с которой изменяется площадь, очерчиваемая

радиусом-вектором точки (рис. 1.3, б). Иногда также рассматривают  секторное ускорение а. Радиусы-векторы  точек, их скорости и ускорения задают с помощью различных координат.

В декартовых координатах радиус-вектор точки как функция времени задается тремя координатами x(t), y(t), z(t) как функциями времени. Этот вектор определяет положение точки относительно выбранной системы отсчета S в любой момент времени. Дифференцируя радиус-вектор r(t) по времени при постоянных ортах n_x, n_y, n_z, найдем скорость и ускорение точки в виде

             (1.12)

           (1.13)

Следовательно, проекции скорости и ускорения точки  на декартовы оси соответственно равны

, , ;

  ,            (1.14)

В цилиндрических координатах r(t) задается скалярными

функциями (t), (t), z(t) (рис. 1.4):

 

r = , (1.15)

где орты цилиндрических координат связаны с ортами декартовых координат соотношениями

= ,

= ,

n_z = n_z ,                                         (1.16)

При перемещениях точки относительно системы S положение ортов и изменяется, а положение ортов n_x, n_y, n_z, фиксировано. Учитывая это, в результате дифференцирования r по времени найдем

 Место для формулы.

Замечая далее, что, согласно (1.16), = , для скорости точки

относительно  системы S получаем выражение

v =                   (1.17)

Таким образом, проекции скорости на координатные оси  , , z

оказываются соответственно равными 

                   (1.18)

Аналогично, дифференцируя  по времени v и учитывая зависимость и от (t) получим ускорение точки относительно S в виде разложения по ортам цилиндрических координат:

w =                (1.19)

Следовательно, проекции ускорения на оси  , , z соответственно равны

, ,        (1.20)

Отметим, что  проекция ускорения  секторной скорости соотношением

                                                                (1.21)

поскольку, согласно (1.11), (1.15) и (1.17),

                                                             (1.22)

В сферических координатах радиус-вектор точки задается функциями (рис. 1.5). Разложение радиуса-вектора по ортам  сферических координат и сами орты определяются формулами r = rn_r,

 n_r = (n_xcos + n_ysin )sin + n_zcos ,

 

                   (1.23)

Учитывая, что направления  ортов n_r зависят от положения точки, для ее скорости               получим выражение

                   (1.24)

Следовательно, проекции скорости точки на координатные оси  соответственно равны

v_r = ,                 (1.25)

Иногда используется естественное задание движения точки, при котором в качестве аргумента радиуса-вектора точки берется длина s дуги траектории, а сама длина дуги задается как функция времени:

r = r(s) , s = s(t)                                        (1.26)

(длина дуги  отсчитывается от начального  положения точки в 

направлении ее движения).

С помощью векторной функции  r(s) в каждой точке траектории можно определить орты, совокупность которых называется естественным трехгранником (рис. 1.6,а). Один из

этих ортов  направляют по приращению dr, определяющему

касательную к  траектории. Поскольку |dr| с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен элементу дуги ds, орт

                                          (1.27)

Второй орт n направляют по приращению d , т. е. по главной нормали к траектории. Используя (1.27), находим (1.28)

т.е.

                                         n =                             (1.29)

орт n можно записать с помощью радиуса кривизны тра-ектории R, который определяется как отношение приращения длины дуги ds к d — углу между : 

                                                                     (1.30)    

Так как — единичный вектор, то модуль его приращения | | с точностью до величины высшего порядка малости равен углу d (рис. 1.6, б). Поэтому согласно (1.30) и (1.28),    

                                                                                (1.31) 

а орт n определится выражением

                                                                                    (1.32)

Третий орт n_b естественного трехгранника задается векторным

произведением [ ] и определяет бинормаль к траектории

Разложение  скорости точки по «естественным» ортам получим, используя (1.9), (1.26) и (1.27):

                                                                                (1.33)

Где .

 Дифференцируя обе части (1.33) по времени, найдем ускорение точки

Замечая, что, согласно (1.28) и (1.31),

окончательно  получим

Учитывая, что , ускорение точки в естественных координатах

можно также  представить в виде

                                                            (1.34)

Введенные в  этом параграфе понятия и соотношения дают возможность решать кинематические задачи, т. е. задачи, в которых движение описывается вне связи с причинами, вызывающими это движение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников и литературы

 

1. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М., Изд-во Моск. Ун-та, 1978 г. – 575 с.
2. http://andmbe.euro.ru/spa-time.htm
3. http://ru.wikipedia.org/wiki/пространство-время
4. http://www.edu-support.ru/?statya=129
5. Терлецкий Я.П. Теоретическая механика: Учеб. пособие. – М.: Изд-во УДН, 1987. – 160 с., ил.
6. Ландау Л. Д., Лившец Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. – в 10-ти т. Т. I. Механика. – 4-е изд., испр. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 216 с. ISBN 5-02-013850-9(т. I.)