Практические задания в учебном курсе «Теория телетрафика»

Схемы систем распределения  информации подробно изучаются в  курсе «Автоматические системы  коммутации». Простейшей схемой является однозвеньевая полнодоступная схема.

Дисциплина обслуживания характеризует взаимодействие потока вызовов с системой распределения информации. В теории телетрафика дисциплина обслуживания в основном описывается следующими характеристиками:

– способами обслуживания вызовов (с потерями, с ожиданием, комбинированное обслуживание);

– порядком обслуживания вызовов (в порядке очередности, в случайном порядке, обслуживание пакетами и др.);

– режимами искания выходов схемы (свободное, групповое, индивидуальное);

– законами распределения длительности обслуживания вызовов (показательный закон, постоянная или произвольная длительность обслуживания);

– наличием преимуществ (приоритетов) в обслуживании некоторых категорий вызовов;

– наличием ограничений при обслуживании всех или некоторых категорий вызовов (по длительности ожидания, числу ожидающих вызовов, длительности обслуживания);

– законами распределения вероятностей выхода из строя элементов схемы.

Некоторые из перечисленных  характеристик могут быть связаны  с потоком вызовов и (или) схемой, другие характеристики могут не зависеть ни от потока, ни от схемы. Например, закон распределения длительности обслуживания может быть связан с потоком вызовов, порядок обслуживания вызовов может зависеть и от потока вызовов и от схемы, а способ обслуживания вызовов, как правило, не зависит ни от потока, ни от схемы.

В научной литературе для компактной записи математических моделей часто пользуются обозначениями, предложенными Д. Кендаллом, и модифицированными Г.П. Башариным. Математическую модель обозначают последовательностью символов. Первый символ обозначает функцию распределения промежутков между вызовами, второй - функцию распределения длительности обслуживания, третий и последующие символы - схему и дисциплину обслуживания. Для обозначения распределений введены следующие символы: М - показательное, Е - эрланговское, D - равномерной плотности, G - произвольное. Для многомерного случая над символами ставятся стрелки. Схема системы телетрафика обозначается символом S. Если схема представляет собой полнодоступный пучок линий, то вместо S пишется u, где u - число линий. Если вызовы обслуживаются с ожиданием, то число мест для ожидания обозначают символом г. Символ f с индексами вводится для обозначений приоритетов в обслуживании.

Приведем несколько  примеров. Так, М/М/S обозначает схему S, на которую поступает поток с показательной функцией распределения промежутков между вызовами и показательной функцией распределения длительности обслуживания (простейший поток вызовов). Запись М/М/u<∞ обозначает полнодоступный пучок с конечным числом линий, который обслуживает с потерями простейший поток вызовов. Запись М_k/G_k/u/r<∞/f₀⁰

обозначает полнодоступный пучок из u линий, который обслуживает с ожиданием k потоков с показательными функциями распределения промежутков между вызовами; каждый поток имеет произвольную функцию распределения длительности обслуживания; число мест для ожидания г < ∞; постановка вызовов в очередь осуществляется без приоритетов –f°, выборка из очереди – также без приоритетов –f°.

Построение математической модели, адекватно отображающей реальную систему распределения информации, во многих случаях является нетривиальной задачей. От правильного выбора модели, в конечном счете, зависит успех решения всей задачи.

 

2 Практические задачи в теории телетрафика

 

2.1 Общие методы  решения прикладных задач

теории телетрафика

 

Основным математическим аппаратом теории телетрафика являются теория вероятностей, математическая статистика и комбинаторика.

Значительные результаты теории телетрафика получены благодаря сформулированному А.К. Эрлангом понятию статистического равновесия, вероятностный процесс находится в состоянии статистического равновесия, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Понятие статистического равновесия не только стимулировало развитие теории телетрафика, но и способствовало практическому применению и дальнейшему развитию теории вероятностей.

Методы математической статистики применяются при оценке результатов наблюдений за параметрами потоков вызовов и показателями качества обслуживания в действующих системах распределения информации, а также при моделировании таких систем.

При анализе, синтезе  и оптимизации структурно-сложных  систем распределения информации кроме вероятностных методов используются комбинаторные и алгебраические методы, теория множеств, принципы системного подхода (системотехники). Основными методами решения задач в теории телетрафика являются аналитические, численные и метод статистического моделирования.

Аналитические методы позволяют решать задачи теории телетрафика в тех случаях, когда структура системы, характеристики потока и дисциплина обслуживания относительно просты. При этом рассматриваются все возможные состояния системы, определяемые положением каждой точки коммутации или другого элемента системы при наиболее подробном ее описании. Такие состояния называются микросостояниями системы. Каждый раз, когда поступает новый вызов, заканчивается какая-либо фаза работы управляющего устройства по установлению соединения или заканчивается соединение, система меняет свое микросостояние. Для каждого микросостояния записывается уравнение статистического равновесия. Решая систему таких уравнений, находят точное решение задачи в пределах принятой модели.

Для сложных систем число  микросостояний так велико, что решить систему уравнений статистического  равновесия не представляется возможным даже с помощью самых быстродействующих ЭВМ. Более перспективным является так называемый макроподход. В сложной системе с очень большим числом микросостояний имеется тот или иной признак, по которому микросостояния объединяются в классы макросостояния. Путем усреднения определяются интенсивности переходов из одних макросостояний в другие. Для каждого макросостояния записывается уравнение статистического равновесия. В результате решения системы таких уравнений выводятся точные или приближенные формулы для вероятностей макросостояний. Чтобы представить трудности, связанные с использованием аналитических методов, достаточно указать, что число микросостояний неполнодоступного пучка из v линий оценивается как 2°. Например, при u = 20 число состояний более 10⁶. Для решения задач такой размерности с помощью ЭВМ используются специальные алгоритмы, позволяющие находить приближенные решения итерационными или другими численными методами. Изложение этих методов дано в монографии М.А. Шнепса.

Наиболее универсальным методом, который пригоден для решения задач практически любой сложности, является метод статистического моделирования. Метод заключается в построении математической модели системы, реализация которой осуществляется в виде программы для ЭВМ. Моделирование позволяет получить численные результаты, характеризующие качество обслуживания при заданных параметрах потока, схемы и дисциплины обслуживания. Однако в силу специфики метода он менее удобен по сравнению с аналитическим и численным методами при определении скрытых закономерностей функционирования или зависимостей между отдельными характеристиками системы. Метод статистического моделирования как наиболее универсальный метод решения сложных задач.

Во многих случаях  разумное сочетание аналитических и численных методов с методом статистического моделирования позволяет детально проанализировать исследуемую систему. При малых значениях параметров системы удается получить решение точными аналитическими методами и проанализировать предельные случаи при асимптотическом поведении характеристик изучаемой системы. Полученные сведения дополняются результатами статистического моделирования в области реальных значений параметров системы.

Оценивая результаты исследований систем распределения  информации любыми математическими методами, следует помнить, что математика оперирует не с реальными системами, а с их математическими моделями. Так как математические модели всегда лишь приближенно описывают реальные системы, то никакие математические методы не могут заменить исследований, проводимых на реально функционирующих системах.

 

2.2 Примеры практических задач теории телетрафика

 

ЗАДАЧА 1

На коммутационную систему  в течение ЧНН поступает 240 вызовов. Средняя длительность занятия приборов каждым вызовом составляет t=120с в предположении, что поток вызовов является простейшим. Требуется определить:

– математическое ожидание и дисперсию числа вызовов, поступивших  на станцию в течение часа;

– интенсивность и  параметр потока;

– вероятность того, что за среднее время одного занятия t на станцию поступит точно k=5 вызовов - P_k (t) и вероятность поступления не более k вызовов – P_i £ k(t).

 

РЕШЕНИЕ

Решение задачи основано на использовании распределения Пуассона:

 

 

Математическое ожидание числа поступивших вызовов – М(х) равно интенсивности простейшего потока:

 

M(x) = m = l

 

Так как С – число вызовов за единицу времени С(1), то

 

C(1) = m = l = M(x) =240

 

Дисперсия D(х) равна средней величине квадрата отклонения y=x–M(x):

 

 

При расчете P_k(t) и P_i £ k(t) необходимо определить число вызовов, поступивших за время t – lt:

 

 

lt = 8, k = 5 и k = 6, определим:

 

P_i³5(t)=0,9004 и Р_i³6 (t)=0,8088

 

Отсюда получаем соответствующие вероятности:

P₅(t) = P³5 (t)-Pi_³6(t) = 0,0916;

 

Pi£5(t) = 1-Pi³6(t) = 0,1912.

 

ЗАДАЧА 2

На коммутационную систему  поступает примитивный поток  вызовов с параметром от одного свободного источника a = 0,67 выз/час. Определить вероятность поступления ровно k вызовов P_k на единичном интервале времени (t=1), (k=0,1,2…N) при числе источников нагрузки N, равном 9.

РЕШЕНИЕ

Математической моделью  примитивного потока вызовов является распределение Бернулли:

 

                                           (4)

 

где k – число поступивших вызовов; a – интенсивность нагрузки, поступающей от одного источника, которая связана с a соотношением:

                                                            (5)

 

 

При вычислении вероятностей P_k удобно сначала определить вероятность P_0, а затем воспользоваться рекуррентной формулой для вычисления P_k:

 

                                        (6)

 

 

 

 

 и т.д.

 

Следует отметить, что

ЗАДАЧА 3

На двухстороннюю межстанционную линию поступает два простейших потока с параметрами выз/час, l₂=10 выз/час. При занятии линий на противоположный конец передается сигнал блокировки. Время передачи сигнала t=100 мс. Определить вероятность встречного соединения, т.е. одновременного (за время t) поступления вызовов с обоих концов соединительной линии – P₂ (t).

РЕШЕНИЕ

Решение задачи основано на использовании распределения Пуассона (1). При определении Р₂(t) параметр потока l определяется как сумма l₁+l₂ = 8+10 = 18 выз/час, так как при объединении независимых простейших потоков с параметрами l₁,l₂,…l_n образуется общий поток с параметром l₁+l₂₊…+l_n.

 

_.

ЗАДАЧА 4

Пучок ИШК (АТСК) обслуживает 1000-ю абонентскую группу АТС. Рассчитать поступающую на пучок ИШК нагрузку, если известен структурный состав 1000-ой группы: N_ки=300, N_нх=700.

РЕШЕНИЕ

Нагрузка, поступающая на пучок ИШК, определяется по формуле:

 

y=a P_p N C t_p,                                                      (7)

 

где a – коэффициент, учитывающий непроизводительную нагрузку;

Р_р – доля вызовов, закончившихся разговором;

N – число источников  нагрузки;

С – среднее число вызовов одного источника в ЧНН;

t_p – средняя продолжительность занятия ИШК одним вызовом при состоявшемся разговоре.

Величина t_p определяется по формуле:

 

t_p = t_cо + t_c + t_пв + T ,                                                 (8)

 

где t_cо, t_c, t_пв, T – средние продолжительности соответственно слушания абонентом сигнала "Ответ станции", установления соединения, посылки вызова вызываемому абоненту, разговора, возвращения станционных приборов в исходное состояние после отбоя.

По данным наблюдений на существующих сетях t_co = 3 c, t_пв = (7 – 8) с. Значения t_c, t_o зависят от системы АТС, в которую включены абонентские линии. В АТСДШ  t_c = 1,5n, где n – число знаков абонентского номера,  t_о=1с.

Для АТС координатной системы: t_c = 1,5n + 2,5 (10), где 2,5 с – средняя продолжительность работы маркеров при установлении соединения через две ступени группового искания, t_o = 0.