Простейшие автоволны

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат на тему 

Простейшие  автоволны 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Минск, 2012 г.

Содержание

1. Введение
2. Автоволна переброса в простейшей механической системе
3. Автоволна переключения в сегнетоэлектриках и магнетиках
4. Распространение фронта горения
5. Автоволна переключения полупроводниковой пленки
6. Распространение генов и эпидемий
7. Автоволны переключения в двухмерных системах
8. Автоволны переключения в системах с фазовым переходом
9. Заключение
10. Литература

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Одной из основных черт современного этапа  развития науки является исследование и осмысление различного рода нелинейных явлений, которые существенно меняют наши представления о фундаментальных  свойствах окружающего нас мира. Эти явления носят достаточно универсальный характер, то есть не зависят от природы конкретной системы, а определяются лишь ее некоторыми свойствами, присущими широкому классу физических, химических, биологических, медицинских и других систем.

       Многие физические системы при  одних и тех же внешних условиях  могут находиться в нескольких  стационарных или фазовых состояниях. Такие состояния, устойчивые относительно  малых возмущений, называются метастабильными.  В равновесных системах автоволна  переброса описывает процесс  переключения такой системы из  одного ее метастабильного или  фазового состояния в другое (с  меньшей энергией) или же в  состояние равновесия, которому  отвечает наименьшая энергия.  Такие волны можно возбудить  за счет внешнего кратковременного  воздействия достаточно большой  амплитуды на одну из границ  системы. В результате такого  воздействия на некотором расстоянии  от этой границы в системе  установится волна, движущаяся  с постоянной скоростью, характеристики  которой (скорость, амплитуда и  профиль) полностью определяются  параметрами системы и не зависят  от предыстории возникновения  волны (вида и параметров первоначального  внешнего воздействия). Иными словами,  такая волна представляет собой  некоторое собственное (авто) состояние  данной системы, поэтому такого  типа нелинейные волны принято называть автоволнами. Этот удачный термин предложил Р.В. Хохлов по аналогии с автоколебаниями. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Автоволна переброса в простейшей механической системе 

     Представим  себе стоящие на ребре фишки домино. Такие фишки при малых их отклонениях  от такого положения снова возвращаются в него. Другими словами, состояние  в виде стоящей на ребре фишки  устойчиво относительно малых возмущений. Но мы хорошо знаем, что если достаточно сильно толкнуть крайнюю фишку, то это  приведет к самораспространяющейся волне последовательного падения фишек вдоль линии их построения (рис. 1).  

     

     Рис. 1. Автоволна последовательного падения  фишек домино: a – стоящие на ребере, б – падающие фишки; в – профиль автоволны – положения центра тяжести фишек

     По-видимому, каждый из нас не раз наблюдал это  забавное явление.

     Причина этого явления связана с тем, что в исходном состоянии каждая стоящая фишка (по сравнению с  лежащей) обладает потенциальной энергией гравитационного поля Земли W = mgh, где m - масса фишек, 2h - ее высота (рис. 1, a), g - постоянная свободного падения. Кроме того, и это существенно, соседние фишки, то есть элементы системы, взаимодействуют между собой: каждая падающая фишка толкает соседнюю и роняет ее. В рассматриваемом случае самораспространяющаяся волна падения фишек представляет собой автоволну переключения системы из метастабильного состояния с потенциальной энергией W = mgh в более выгодное состояние с меньшей энергией W = 0. При таком переключении запасенная в фишках потенциальная энергия mgh необратимо переходит в тепло, выделяющееся при падении фишек. 
 

Автоволна переключения в сегнетоэлектриках  и магнетиках

     Эффект, качественно аналогичный рассмотренному в разделе 1, реализуется в сегнетоэлектрической пленке, помещенной в электрическое поле (рис. 2).

        

Рис. 2. Автоволна переключения в сегнетоэлектрической пленке: а – зависимость энергии сегнетоэлектрика W от его поляризации P при отсутствиич и при наличии электрического поля E; б - метастабильное состояние сегнетоэлектрической пленки; в – процесс переключения из метастабильного состояния в равновесное; г – бегущая с постоянной скоростью V доменная стенка – профиль автоволны. б и в: 1 – пленка сегнетоэлектрика, 2 – металлические электроды; стрелки показывают направление внешнего электрического поля E  и дипольного момента P в сегнетоэлектрике.

     Сегнетоэлектриком называется диэлектрик, обладающий спонтанной поляризацией P (дипольным моментом). Каждый его объемчик представляет собой  диполь: одна из его сторон, например верхняя, имеет заряд плюс, а другая - минус. Дипольный момент P направлен  от минуса к плюсу.

     Пусть в начальном состоянии электрическое  поле E направлено в сторону, противоположную P (рис. 2, б). При наличии E дипольные  моменты стремятся выстроиться  вдоль электрического поля. Поэтому  если дипольный момент на границе  пленки перевернуть, то есть выстроить  вдоль электрического поля (рис. 2, в), то благодаря электростатическому  взаимодействию между соседними объемчиками это приведет к последовательной самопроизвольной переориентации диполей из состояния против поля в состояние вдоль поля. Иными словами, в сегнетоэлектрической пленке возникнет автоволна в виде самораспространяющегося фронта переполяризации (рис. 2, в, г).

Область, где меняется дипольный момент, называется доменной стенкой. Поэтому в данном случае автоволна представляет собой бегущую с постоянной скоростью доменную стенку. Последняя, так же как и в разделе 1, есть автоволна переключения системы из одного ее метастабильного состояния в другое с меньшей энергией.

     Действительно, в простейшем случае зависимость  энергии пленки от поляризации имеет  вид

,                                             (1)

где для сегнетофазы коэффициенты α и β больше 0. При отсутствии поля (E = 0) функция W(P) имеет вид двух потенциальных ям (синяя кривая на рис. 2, а), минимумы которых расположены в точках или , где

 . Величины определяют два устойчивых равновесных состояния сегнетоэлектрика с противоположными направлениями поляризации и одной и той же энергией, равной . При наличии электрического поля появляется дополнительная энергия электростатического взаимодействия поля и дипольного момента, которая определяется последним слагаемым в (1). При этом дно правой потенциальной ямы, которое отвечает состоянию с , то есть с дипольным моментом, направленным против электрического поля, повысится на величину , а дно другой (левой) ямы понизится на величину (красная кривая на рис. 2, а). (Здесь мы учли, что, как правило, .) Поэтому первое состояние останется устойчивым, но метастабильным состоянием, а второе — равновесным состоянием. Разность энергий между этими состояниями примерно равна .

     Пусть пленка находится в метастабильном состоянии, то есть ее поляризация направлена против электрического поля (рис. 2, б). Если теперь внешним кратковременным локальным воздействием повернуть вектор поляризации у одной из границ пленки вдоль электрического поля, то в ней возникнет самораспространяющаяся с постоянной скоростью автоволна, представляющая собой фронт переключения пленки из метастабильного в равновесное состояние. При этом в области фронта (доменной стенки) запасенная в пленке электростатическая энергия переходит в тепло.

     Данная  автоволна, то есть движение доменной стенки в сегнетоэлектрике в электрическом поле, описывается уравнением

,                                        (2)

в котором член в левой части описывает диссипативный процесс перехода электростатической энергии в тепловую, τ — характерное время такого процесса, точнее, время релаксации дипольного момента. Первый член в правой части уравнения описывает процесс взаимодействия между дипольными моментами соседних областей сегнетоэлектрика, последние члены в правой части определяют величину дипольного момента в однородном сегнетоэлектрике.

     Эффект, качественно аналогичный рассмотренному выше, реализуется и в магнитных пленках, каждый элемент которых обладает магнитным моментом М, то есть представляет собой маленький магнитик. Хорошо известно, что магнитики стремятся выстроиться вдоль внешнего магнитного поля Н. Это связано с тем, что разность энергий между состояниями с М, направленным против и вдоль магнитного поля, равна 2MH. Поэтому в пленке из магнетика, помещенной в магнитное поле Н, в результате взаимодействия между ее соседними областями можно возбудить самораспространяющуюся автоволну, представляющую собой движущуюся с постоянной скоростью магнитную доменную стенку переключения пленки из метастабильного состояния в равновесное. В простейшем случае такая автоволна также описывается уравнением типа (2), в котором вектор Р следует заменить на М, а поле Е - на Н. Однако в реальных магнитных материалах доменные стенки имеют достаточно разнообразную и сложную структуру, а процесс их распространения может быть весьма нетривиальным, в частности движение магнитной стенки может быть связано с вращением вектора М. 

Распространение фронта горения

     Хорошо  известным и наиболее наглядным примером автоволны переключения является распространение фронта горения в бикфордовом шнуре, то есть в цилиндрической оболочке, внутренняя часть которой заполнена порохом. Такой порох находится в устойчивом состоянии, но при его поджигании у одного из концов шнура в нем возникает самораспространяющаяся с постоянной скоростью область горения. Ее возникновение связано с тем, что при горении пороха выделяется тепловая энергия, которая прогревает соседнюю область (следующую порцию пороха), вызывая воспламенение пороха в ней, а затем и в соседних к ней областях.

     Процесс горения описывается уравнением теплопроводности:

,                                 (3)

где Т  и  — температура горящего пороха и окружающей среды; C, ρ, k - теплоемкость, удельная плотность и теплопроводность пороха; W - энергия, выделяемая при сгорании 1 см3 пороха; G(T) - скорость реакции горения, которая носит термоактивационный характер, то есть G(T ) ~ exp (− / T ). Член в левой части уравнения (3) описывает изменение температуры единицы объема пороха. Первый член в его правой части описывает распространение тепла вдоль шнура от области горения к холодной соседней области за счет теплопроводности пороха, второй член - выделение тепла при горении пороха, последний член описывает охлаждение шнура за счет ухода тепла в окружающую среду, — тепловое сопротивление, характеризующее интенсивность этого процесса. 

Автоволна переключения полупроводниковой  пленки

     Рассмотрим  полупроводниковую пленку, которая  нанесена на массивную подложку, играющую роль термостата (рис. 3).

     

Рис. 3. Автоволна переключения полупроводниковой пленки из “холодного” (высокоомного) в “горячее” (низкоомное) состояние: a – схематическое изображение полупроводниковой пленки 1на термостатирующей подложке 3; ярко-оранжевая область отвечает “горячему” состоянию пленки; через металлические электроды 2 на пленку подано напряжение V;  б – вид автоволны переключения, то есть бегущего в пленке с постоянной скоростью  v профиля температуры; в – вид зависимости проводимости пленки от температуры (кривая 1 – для полупроводника, кривая 2 – для материала с фазовым переходом диэлектрик–металл); г – вид зависимости температуры полупроводниковой пленки от электрического поля в ней (S-образная кривая). Зеленой линией на рис. в и г показана “нагрузочная” прямая.

     Пусть к пленке приложено напряжение V, то есть в ней имеется электрическое  поле Е = V / d (d - толщина пленки). Под действием этого поля в пленке течет ток, плотность которого, согласно закону Ома, есть I = σE, где σ - удельная проводимость полупроводника. За счет протекания тока в пленке будет выделяться мощность, плотность которой (в соответствии с законом Джоуля-Ленца) равна . В свою очередь, эта мощность будет разогревать пленку, и в ней установится температура, отличающаяся от температуры термостата . Температура пленки при однородном распределении тока в ней определяется уравнением