Простейшие автоволны

.                                                             (4)

Член  в его правой части описывает  уход тепла в подложку (термостат), - тепловое сопротивление, характеризующее интенсивность этого процесса.

     Особенность полупроводников состоит в том, что их проводимость σ в определенной области температур Т сильно возрастает с ростом Т (кривая 1 на рис. 3, в). Как правило, σ ~ exp (- / T). Аналогичный эффект особенно сильно проявляется в материалах, в которых при некоторой критической температуре осуществляется фазовый переход из диэлектрического (высокоомного) в металлическое (низкоомное) состояние (кривая 2 на рис. 3, в). Из анализа уравнения (4) следует, что когда функция σ(T) имеет вид, изображенный кривыми 1 или 2 на рис. 3, в, то зависимость температуры пленки Т от электрического поля Е в ней приобретает вид S-образной кривой (рис. 3, г). Отсюда следует, что при одном и том же значении , лежащем в диапазоне < < E_с (рис. 3, г), уравнение (4) допускает три решения T_min , T_m и T_max. Их можно найти графически, поскольку эти решения согласно (4) определяются точками пересечения функции σ(T) с прямой (рис. 3, в). Можно показать, что отвечает неустойчивому, а и — устойчивым неравновесным стационарным состояниям.

     Наличие двух устойчивых состояний холодного  с  и горячего с при заданном значении Е можно пояснить следующим образом. При низкой температуре мала проводимость полупроводника (рис. 3, в), а следовательно, малы величина тока I = σE и выделяемая джоулева мощность . При высоких температурах значение σ() >> σ(), то есть при том же значении Е разогревающая пленку мощность будет велика, что, согласно (4), будет поддерживать высокое значение температуры пленки .

     Пусть пленка находится в холодном состоянии  с . Разогреем пленку горящей спичкой у левого конца. Тогда в этой локальной области увеличится проводимость пленки σ, а следовательно, и выделяемая в ней джоулева мощность . В результате пленка перейдет из состояния T_min в T_max. (Этот переход показан стрелкой на рис 3, г.) За счет теплопроводности, то есть потока тепла в соседнюю область, проводимость соседней области, а следовательно, и выделяемая в ней мощность увеличатся и эта соседняя область перейдет в горячее состояние с T = T_max. Это, в свою очередь, приведет к прогреванию следующей за ней области и т.д. В результате в пленке сформируется движущаяся с постоянной скоростью тепловая волна переключения пленки (рис. 3, б) из холодного (высокоомного) состояния в горячее (низкоомное). Распространение такой тепловой автоволны определяется уравнением теплопроводности

,                                                (5)

где константы C, ρ, k, имеют тот же смысл, что и в уравнении (3) для бикфордова шнура, с той лишь разницей, что они относятся к материалу полупроводниковой пленки.

     Легко усмотреть аналогию не только вида уравнений (3) и (5), но и физики распространения тепловой автоволны переключения в полупроводниковой пленке и фронта горения в бикфордовом шнуре. Подчеркнем, однако, отличие этих двух систем. В бикфордовом шнуре энергия запасена в порохе и распространение тепловой волны связано с его выгоранием. Иными словами, бикфордов шнур является одноразовой системой. Рассмотренную же здесь полупроводниковую пленку легко вернуть в исходное состояние. Для этого нужно лишь на некоторое время выключить внешнее напряжение, дать пленке остыть, а затем опять включить напряжение. Рассматриваемая особенность пленки связана с тем, что она является открытой неравновесной системой. В ней происходит подкачка энергии от распределенного источника, который в каждой точке пленки задает электрическое поле Е = = V / d. В результате этого в пленке течет ток, плотность которого равна I = σE, и в каждой ее точке выделяется джоулева мощность . Эта поступающая к электронам мощность уходит в подложку, играющую роль термостата (рис. 3, а). Иными словами, рассматриваемая пленка является диссипативной, открытой и неравновесной системой. Именно в таких системах могут возникать автоколебания и уединенные автоволны. 

  Распространение генов и эпидемий

     По-видимому, впервые (еще в 1937 году) автоволна была строго теоретически изучена А.Н. Колмогоровым, И.Г. Петровским и Н.С. Пискуновым, а также Р. Фишером при рассмотрении распространения дефектного гена. Биологическая подоплека этой проблемы такова. Генетическая информация представлена в хромосомах парами генов. Если хотя бы один из генов в этой паре является доминантным, то, передаваясь по наследству, при скрещивании он будет передавать новой особи определенные свойства (например, цвет глаз). Если в этом гене в результате неблагоприятной мутации (изменения) возникает информация, реализующаяся, например, в заболевании красных кровяных клеток — эритроцитов, то такой ген становится причиной распространения наследуемой генетической болезни. Число потомков с таким заболеванием будет возрастать.

     Обозначим вероятность или частоту появления  дефектного гена как q. Тогда если популяция  живет в замкнутом регионе  и все особи могут между  собой скрещиваться, то уравнение  для эволюции вероятности имеет  вид

.                                                       (6)

Здесь коэффициент m характеризует выживаемость особи с дефектным геном. Если начальная вероятность , то для малых q уравнение (6) упрощается и принимает вид dq / dt ≈ mq. Его решение есть q(t) = q₀ exp (mt). Если же q → 1, то производная dq/dt →0, то есть процесс нарастания q прекращается, когда вся популяция оказывается генетически дефектной.

     Если  популяция обитает на протяженном  пространстве, то в случае появления  в некотором малом районе особей с дефектным геном будет происходить  нарастание q в этом районе и, кроме  того, ген будет распространяться в пространстве из-за случайных перемещений  особей. Такие блуждания можно  характеризовать некоторым эффективным  коэффициентом диффузии D и записать уравнение для q(r, t) в уже знакомом нам виде

                                            (7)

 где  r - пространственная координата. 
 

Автоволны переключения в двухмерных системах 

     Сегнетоэлектрические (рис. 2, б ) и полупроводниковые пленки (рис. 3, a), к которым приложено внешнее напряжение V, по существу являются двухмерными системами. Ясно, что если такую пленку, находящуюся в "метастабильном" состоянии, переключить вдоль одной из ее границ, то в такой пленке можно возбудить автоволну переключения, которая будет иметь плоский фронт, в сечении совпадающий с изображенным на рис. 2, в или рис. 3, б. Если же на пленку подать локализованное возмущение (например, в виде пятна радиуса R), то площадь этой области будет увеличиваться до тех пор, пока не займет всю площадь пленки, то есть пока в результате распространения автоволны не произойдет переключение пленки в более выгодное состояние.

     Наглядным примером автоволны в двухмерных системах является распространение фронта горения травы в степи. Если на пути такой автоволны возникнет препятствие в виде участка, на котором отсутствует трава, то в этом месте горение затухнет, но фронт горения обойдет это препятствие.

     Аналогичный эффект реализуется и в случае сегнетоэлектрической и полупроводниковой пленок, когда металлические электроды к ним сделаны не сплошными, а дискретными и такими, чтобы была возможность подавать напряжение на любую часть пленки. Это позволяет создавать препятствия произвольной формы на пути распространения фронта автоволны переключения таких пленок. Ясно, что взаимодействие автоволны с препятствием зависит от его формы. Поэтому если поместить на границу системы (пленки) датчики, то по их реакции можно судить о форме и размере препятствия. В настоящее время на основе этого эффекта делаются попытки создать функциональные устройства распознавания образов, которые в отличие от традиционных компьютерных систем принимают решения по одному или нескольким циклам переключения пленок.

     Процесс стационарного роста начального локального возмущения (в каком-то смысле зародыша новой фазы) описывается  уравнением вида

     ,                                           (8)

где V - нормальная к поверхности фронта автоволны скорость, а K - кривизна поверхности фронта. Анализ этого уравнения показывает, что существует некоторый критический размер начальной области возмущения ("зародыша") R = R_с , величина которого зависит от уровня возбуждения системы (параметра A ): при R < R_с зародыш исчезает, а при R > R_с он прорастает через всю систему, переключая ее в более выгодное состояние. 

Автоволны переключения в системах с фазовым переходом 

     Эффект  прорастания зародыша хорошо известен из теории фазовых переходов I рода. Такие фазовые переходы реализуются  в равновесных системах, которые  в определенном диапазоне температур T могут находиться в нескольких (как правило, в двух) фазовых состояниях. Примерами таких фазовых переходов  является образование воды из переохлажденного пара, льда из переохлажденной воды и кристаллов из переохлажденных  жидких расплавов. Переохлажденные  вещества представляют собой метастабильные состояния систем, в которых фазовые  переходы I рода реализуются в две  стадии. Так, в переохлажденном паре сначала у малых неоднородностей (пылинок) образуются зародыши новой  равновесной фазы (маленькие капельки воды), затем те из этих зародышей, чей  радиус больше критического (R > R_с), начинают увеличиваться по размеру и таким образом переводят пар в воду. Аналогично за счет роста зародышей в виде маленьких льдинок (или кристалликов) осуществляется фазовый переход переохлажденной воды в лед (или переохлажденного расплава в кристаллическое состояние).

     Итак, мы видим, что процесс прорастания  зародышей новой фазы в равновесных  системах с фазовым переходом I рода также представляет собой автоволну переключения из метастабильного в равновесное состояние. 
 
 
 
 
 

 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

     Выше  мы убедились, что автоволны переключения возникают как в равновесных, так и в неравновесных системах различной природы и описывают динамику перехода системы из одного устойчивого (метастабильного) состояния в другое устойчивое, более выгодное (равновесное) состояние. Иными словами, образование таких автоволн является универсальным и достаточно распространенным в природе явлением. Автоволны переключения в двухмерных системах (пленках) могут быть использованы для создания функциональных систем обработки информации, в частности распознавания образов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 ЛИТЕРАТУРА 

1. Васильев  В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987. 240 с.

2. Полак Л.С., Михайлов А.С. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. М.: Наука, 1983. 285 с.

3. Кернер  Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны. М.: Наука, 1991. 198 с.

4. http://window.edu.ru/window/library/pdf2txt?p_id=1573&p_page=13