Расчет линейной электрической цепи

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

                                           Кафедра электротехники

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчётно – графическая  работа

 

Расчёт линейной электрической  цепи

 

 

 

 

                                                                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вологда 2012

Содержание  задания:

1. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа в символьном виде… 4
2. Рассчитать токи в ветвях цепи методом контурных токов……………………4
3. Рассчитать токи в ветвях цепи методом узловых потенциалов...…………… 7
4. Проверить баланс мощности…………………………………………………...10
5. Используя метод эквивалентного источника напряжения найти ток в         ветви с сопротивлением R₁……………………………………………………..10
6. Найти показания вольтметров………………………………………………….14
7. Рассчитать потенциалы в точках соединения элементов внешнего контура, включая ветви, соединённые с землёй. По данным расчётам построить потенциальную диаграмму……………………………………………………..15

Вывод………………………………………………………………………………..17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема электрической  цепи представлена на Рис. 1.

 

 

Рис. 1.

 В таблице  № 1. представлены необходимые  параметры элементов, а также  номер варианта.

Таблица № 1.

J0 А	E1 В	E2 В	E3 В	E4 В	G0	R1 Ом	R2 Ом	R3 Ом	R4 Ом	R5 Ом	R6 Ом	R7 Ом
10	110	110	220	220	0,2	6	8	15	4	10	15	2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразованная расчётная схема представлена на Рис. 2.

Рис. 2.

1. Система уравнений по законам Кирхгофа в символьном виде.
1. Схема электрической цепи с обозначением независимых контуров, узлов, направлений токов в ветвях, представлена на Рис. 2.
2. Запись уравнений Кирхгофа.
1. Первый закон Кирхгофа – закон для токов.

Примем узел 4 как опорный.

 Рассмотрим узел  1:

                      -I₃– I₁ + I₅ = 0

Рассмотрим узел  2:

                      I₁ – I₂ + I₇ = 0

Рассмотрим узел  3:

                     -I₇ + I₃ + I₆ =0

2. Второй закон Кирхгофа – закон для напряжений.

В представленной электрической цепи три контура.

Рассмотрим  первый контур:

                     I₆ R₆ – I₅R₅ – I₃R₃ = - E_3.

Рассмотрим второй контур:

                    I₅R₅ + I₂R₂ + I₁R₁ = E₁ + E₂

Рассмотрим третий контур:

                    -I₇ (R₀ + R₇) – I₂R₂ – I₆R₆ = - E₀ – E₂

2. Расчёт токов в ветвях цепи методом контурных токов.
1. Схема электрической цепи с обозначением контурных токов.

  Источник тока в ветви необходимо преобразовать в эквивалентный источник ЭДС.

 Преобразованная электрическая цепь представлена на Рис. 3.

При этом:

                    R₀ = 1 / G₀ = 1 / 0.2 = 5 Ом.

                    E₀ = J₀ / G₀ = 10 / 0.2 = 50 B.

               

Рис. 3.

2. Сформируем для заданной схемы контурные уравнения. 

              Контур 1

             R_1.1 I_1.1 + R_1.2 I_2.2 + R_1.3 I_3.3 = E_1.1 

               Контур 2

              R_2.1 I_1.1 + R_2.2 I_2.2 + R_2.3 I_3.3 = E_2.2 

              Контур 3

                                R_3.1 I_1.1 + R_3.2 I_2.2 + R_3.3 I_3.3 = E_3.3

 

3. Введём обозначение коэффициентов.
1. Расчёт коэффициентов.

 

               R_1.1 = R₃ + R₅ + R₆ = 15 + 10 + 15= 40 Ом. – собственное сопротивление контура 1

              R_2.2 = R₁ + R₂ + R₅ = 6 + 8 + 10 = 24 Ом. – собственное сопротивление контура 2

              R_3.3 = (R₀ + R₇) + R₂ + R₆ = 7 + 8 +15 =30 Ом. – собственное сопротивление контура 3

 

              R_1.2 = R_2.1 =-R₅ = -10 Ом. - общее сопротивление для контуров 1 и 2

             

              R_1.3 = R_3.1 =-R₆ = -15 Ом. - общее сопротивление для контуров 1 и 3

 

              R_2.3 = R_3.2 = -R₂ = -8 Ом. - общее сопротивление для контуров 2 и 3

2. Расчёт правой части уравнений.

 

              E_1.1 = -E₃ = -220 B. – Контурное ЭДС контура 1

 

              E_2.2 = E₁ + E₂ = 110 + 110 = 220 B. – Контурное ЭДС контура 2

 

              E_3.3 = -E₀ – E₂ = -50 - 110 = -160 B. – Контурное ЭДС контура 3

4. Решение системы уравнений.

Матрица системы  уравнений:

R_1.1 := 40         R_2.1 := -10     R_3.1 := -15       E_1.1 := -220            

R_1.2 := -10         R_2.2 := 24       R_3.2 := -8         E_2.2 := 220 

R_1.3 := -15      R_2.3 =: -8       R_3.3 := 30        E_3.3 := -160

                                   R_1.1  R_1.2   R_1.3                                        -220

  R_kk =    R_2.1  R_2.2 R_2.3                             E_kk =    220

                                   R_3.1 R_2.3 R_3.3                                          -160

 

Решение системы с применение функции lsolve:

   -7, 922

J_kk  := lsolve (R_kk, E_kk)                                 J_kk =   3, 038

  -8, 484 

Контурные токи:

        I_1.1:= J_kk1                      J_kk1 = -7, 922 A.

        I_2.2:= J_kk2                      J_kk2 = 3, 038 A.

        I_3.3:= J_kk3                      J_kk3 = -8, 484 A.

5. Токи в ветвях цепи равны:

I₁ = I_2.2= 3, 038 A.

I₂ = I_2.2 – I_3.3 = 3, 038 + 8, 484 = 11, 522 A.

I₃ = -I_1.1 = 7, 922 A.

I₅ = I_2.2 – I_1.1 = 3, 038 + 7, 922 = 10, 96 A.

I₆ = I_1.1 – I_3.3 =8, 484 - 7, 922 = 0, 562 A.

I₇ = -I_3.3 = 8, 484 A.

6. Проверка:

Узел  1:

                 -I₃– I₁ + I₅ = 0

                -7, 922 – 3, 038 + 10, 96 = 0

Узел  2:

                  I₁ – I₂ + I₇ = 0

                3, 038 -11, 522 +8, 484 = 0

Узел  3:

                     -I₇ + I₃ + I₆ =0

                     -8, 484 + 7, 922 +0, 562 = 0

Вывод: Токи найдены верно.

3. Расчёт  токов в ветвях цепи методом узловых потенциалов.
1. Схема электрической цепи представлена на Рис. 4., где указаны независимые узлы и узловые напряжения.

Рис. 4.

2. Формирование узловых напряжений и их запись в символьном виде.

 

Узел  4  примем как опорный.

U₄ = U₀ = 0

         Узел 1

G_1.1 U_1.0 - G_1.2 U_2.0 - G_1.3 U_3.0 = J_1.y

         Узел 2

- G_2.1 U_1.0 + G_2.2 U_2.0 - G_2.3 U_3.0 = J_2.y

         Узел 3

- G_3.1 U_1.0 – G_3.2 U_2.0 + G_3.3 U_3.0 = J_3.y

 

3.  Введём определение коэффициентов системы.
1. Расчёт коэффициентов.

Собственная проводимость узла 1:

      G_1.1 = G₁+ G₃ + G₅ = + + =  = 0, 3333 .

Собственная проводимость узла 2:

         G_2.2 = G₁ + G₂ + = + + =  = 0, 4345 .

 

Собственная проводимость узла  3:

      G_3.3 = G₃ + G₆ + =  + + =  = 0, 2762 .

 

         G_1.2 = G_2.1 = G₁ = = =0, 1667 . - общее сопротивление для узлов 1 и 2

             

        G_2.3 = G_3.2 = = =0, 1429 . - общее сопротивление для узлов 1 и 3

 

         G_3.1 = G_1.3 = G₃ = = = 0, 0667 . - общее сопротивление для узлов 2 и 3

2. Расчёт правой части уравнений.

 

         J_1.y. = G₁ E₁ + G₃E₃ = + = = 33 A.

         J_2.y. = G₂ E₂ – G₁E₁ - = = -11, 7262 A.

         J_3.y. = - G₃E₃ = - = = -7, 5238 A.

 

4. Решение системы уравнений.

 

Матрица системы  уравнений:

G_1.1 := 0, 3333    G_2.1 := -0, 1667      G_3.1 := -0, 0667       J_1.1.:= 33            

G_1.2 := -0, 1667   G_2.2 := 0, 0, 4345   G_3.2 := -0, 1429      J_2.2.:= -11, 7262

G_1.3 := -0, 0667   G_2.3 =: -0, 1429      G_3.3 := 2762            J_3.3.:= -7, 5238

 

                                  G_1.1  G_1.2    G_1.3                                                       33            

 G_kk =   G_2.1  G_2.2    G_2.3                                     J_kk =       -11, 7262

                                  G_3.1  G_3.2    G_3.3                                                     -7, 5238

 

Решение системы с применение функции lsolve:

              109, 598

U:= lsolve (G_kk, J_kk)                                                  U=      17, 824

          8, 433

Узловые напряжения:

      

        U_1.0:= U₁                      U₁= 109, 598 В.

        U_2.0:= U₂                      U₂= 17, 824 В.

        U_3.0:= U₃                      U₃= 8, 433 В.

 

 

 

 

 

5. Расчёт токов в ветвях цепи через узловые напряжения.

I₁ = G₁ (U₂₀ – U₁₀ + E₁) = (110 - 17, 824 - 109, 598) = 3, 038 A.

I₂ = G₂ (E₂ – U₂₀) = G₂ (110 -17, 824) = 11, 522 A.

I₃ = G₃ (U₂₀ – U₁₀ + E₃) = G₃ (17, 824 - 109, 598 + 220) = 7, 922 A.

I₅ = G₅ U₁₀ = G₅ (109, 598) = 10, 96 A.

I₆ = G₆ U₃₀ = G₆ (8, 433) = 0, 562 A.

I₇ = (U₂₀ – U₃₀ + E₀)/ (R₀ + R₇) = (17, 824 – 8, 433 + 50)/ 7 = 8, 484 A.

 

6. Проверка:

                       Первый контур:

                     I₆ R₆ – I₅R₅ – I₃R₃ = - E_3.

                  15*0, 562 – 10*10, 96 – 15*7, 922 = -220

                    8, 43 - 109, 96 - 118, 52 = -220

                                            -220, 05 ≈ -220

                       Второй контур:

                    I₅R₅ + I₂R₂ + I₁R₁ = E₁ + E₂

                   10*10, 96 + 8*11, 522 + 6*3, 038= 110+110

                   109, 96 +92, 156 + 18, 128 = 220

                  220, 06 ≈ 220

                       Третий контур:

                    -I₇ (R₀ + R₇) – I₂R₂ – I₆R₆ = - E₀ – E₂

                    -7*8, 484 - 8*11, 522 – 15*0, 562 = -50-110

                    -59, 388 – 92, 176 - 8, 43= -160

                     -159, 994 ≈ -160

Вывод: Токи найдены верно, не большая погрешность происходит потому что вычисления проводились с точностью до третьего знака.