Расчет переходных процессов в линейных и нелинейных электрических цепях

Федеральное агентство  по образованию

 

Филиал Санкт-Петербургского государственного горного института 

им. Г.В.Плеханова (технического университета)

 

«Воркутинский горный институт»

 

Кафедра горной электромеханики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Курсовая  работа

 

 

По дисциплине:_Теоретические основы электротехники________               ______________

(наименование  учебной дисциплины согласно  учебному плану)

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Тема:Расчет переходных процессов в линейных и нелинейных электрических цепях______

 

 

 

Автор: студент гр: Эр-04 вВ       ______________________         /____Гаврилова Е.В.           /

                                                                                                      (подпись)                                                        (Ф.И.О.)

 

 

 

Оценка: ______________

 

Дата: ___________________

 

Проверил:

Руководитель проекта ______________         __________________     /_Коломоец Г.И.____/

                                                              (должность)                                  (подпись)                                            (Ф.И.О.)

 

 

 

 

 

 

 

Воркута

2007

Аннотация

 

 

В курсовой работе произведен расчет переходного процесса в линейной электрической цепи классическим и  операторным методами. В работе приведены  краткие теоретические сведения необходимые для пояснения расчёта. При решении классическим методом составлены и решены дифференциальные уравнения. Для решения операторным методом составлена операторная схема расчета. Получены решения, в области изображений, путем решения алгебраических уравнений. На основании полученного произведен переход во временную область с помощью теоремы разложения. По результатам расчетов построены графики токов от функций времени за время переходного процесса.

Пояснительная записка  содержит 19 страниц, 4 рисунка,1график и 1 таблица.

Summary

 

 

In course work the account of transient in a linear electrical circuit classical and functional by methods is produced. In operation the brief theoretical informations necessary for the given calculation are reduced. For want of solution by a classical method are composed and are decided differential of the equation. For a solution the symbolical method composes functional the circuit of account. The solutions are obtained, in the field of images, by a solution of the algebraic equations. Passage for the passage for passage for passage for passage of accounts the graphs of currents from functions of time, during transient are constructed.

The explanatory slip contains 19 sheet, 4 figures 1 graph and 1 table.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

Введение………………………………………………………………………………………….5

1 Классический метод расчета……….…………………………………………………….……6

2 Операторный метод расчета………….………………………………………………...……11

3 Определение времени  переходного процесса………………………………………………15

4 Построение графика  изменения  токов переходного  процесса……………………………16

Список использованных источников………………………………………………………….18

Приложение 1.……………………………………………………………………...…………...19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

 

Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного режима работы электрической цепи  к другому, чем-либо отличающегося от предыдущего.

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммутация – процесс замыкания или размыкания выключателя.

Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, соответствующего до коммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему после коммутационному режиму.

Переходные процессы обычно являются быстро протекающими; длительность их составляет десятые, сотые, а иногда миллиардные доли секунды; сравнительно редко длительность переходные процессы достигают секунд и десятков секунд.

В данной курсовой работе будет рассмотрен переходный процесс  в цепи, включающей в себя элементы L, R, работающей до переходного процесса  от источника  постоянного напряжения. Принцип расчета переходного процесса классическим и операторным методами рассмотрен ниже.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Классический  метод  расчета

 

 

Классический метод  расчета заключается в составлении и решении дифференциальных уравнений, но законам Кирхгофа.

Данные к работе

U₀₁=80 В; U₀₃=240 В; R₁=4 Ом; R₂=12 Ом; R₃=6 Ом; L₁=50 мГн; L₂=110 мГн; L₃=145 мГн

Определение начальных  условий 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1 - Схема электрической  цепи до коммутации

До коммутации когда t=(-0), рубильник разомкнут ток в третьей ветви равен нулю i₃(-0)=0, катушки L₁ и L₂ получают питание от постоянного источника U₀₁. Т.к. U₀₁=const, то ω=0. Тогда X_L1=ωL₁=0,  X_L2=ωL₂=0

После коммутации, когда t=(+0), рубильник замкнут. По первому закону коммутации:

Таким образом, начальные  условия:

.

.

.

 

Определение конечных условий (принужденных составляющих)

Принужденная составляющая тока – это частное решение  неоднородного дифференциального  уравнения.

Установившийся режим  цепи обусловлен действием источников энергии, а поэтому принужденная составляющая тока в случае постоянного  напряжения может быть найдена обычными методами расчета установившегося процесса в цепи после коммутации.

Рисунок 2 - Схема электрической  цепи после коммутации

После завершения переходного  процесса, когда t=∞, рубильник замкнут, в цепи действуют два источника питания постоянного тока. Т.к U₀₁=const, U₀₃=const, то ω=0. Тогда X_L1=ωL₁=0,  X_L2=ωL₂=0, X_L3=ωL₃=0.

По второму закону Кирхгофа  составим уравнения:

Таким образом конечные условия:

Составим дифференциальные уравнения по первому и второму  закону Кирхгофа для переходного процесса.

 

Рисунок 3 - Схема замещения электрической  цепи в свободном режиме

Уравнение первого закона Кирхгофа:

                                                                                                                               (1)

 

(2)

(3)

 

Подставим (1) во (2), получим:

Подставим известные параметры:

(4)

(5)

Найдем значения первых производных при  . В (4) и (5)  подставим ; .

Подставим в уравнения  начальные условия. Получим:

Отсюда  .

В уравнениях (4) и (5) обозначим ; . Получим:

(6)

 

(7)

Умножаем уравнение (4) на (6+0,145D), а уравнение (5) на (4+0,05D), и   складываем (4) и (5), получаем

Вернемся к первоначальному  виду. В уравнениях (4) и (5) вместо

Получаем однородное дифференциальное уравнение второго  порядка, решаем характеристическое уравнение, первую производную обозначаем

Корни характеристического  уравнения:

Анализ корней характеристического  уравнения.

Т.к. корни характеристического  уравнения вещественны, в цепи имеет  место апереодический процесс. Т.к. корни отрицательны этот процесс затухающий. Два различных корня, следовательно свободная составляющая токов и напряжений сумма двух экспонент.

Ток второй ветви равен:

где - принужденная составляющая тока, - свободная составляющая тока.

Решаем систему уравнений  подставляя значения первых производных  при  , ;

(8)

(9)

 

Найдем постоянные интегрирования.

(10)

Подставим  в (9) уравнение (10) получим:

Таким образом  , при .

Аналогично вычислим ток третьей ветви.

Решаем систему уравнений  при 

(11)

(12)

Найдем постоянные интегрирования.

(13)

Подставим в (12) уравнение (13) получим:

.

Таким образом  , при .

Зная  и найдем .

Вычислим значение при

.

 

2 Операторный  метод расчета

 

 

Операторный метод основан  на использовании понятий об изображении  функции времени. В операторном  методе каждой функции времени соответствует  функция новой переменной p и наоборот – функции переменой p отвечает определенная функция времени.

Переход от функции времени  к функции p осуществляют с помощью прямого преобразования  Лапласа.

Таким образом, операторный  метод расчета переходных процессов  представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании Лапласа.

Операторный метод позволяет  свести операцию дифференцирования  к умножению, а операцию интегрирования – к делению. Это облегчает  интегрирование дифференциальных уравнений

Решение операторным  методом 

Составим расчетную  схему цепи для операторного метода.

Рисунок 4 - Операторная  схема расчета

Введем дополнительные источники Э.Д.С. , , учитывающие ненулевые начальные условия.

Введем обозначения  операторных сопротивлений и  Э.Д.С. для первого и второго  контура и найдем их значение.

Э.Д.С первого контура:

Э.Д.С второго контура:

Изображение сопротивления  первого контура:

Изображение сопротивления  второго контура:

Изображение сопротивления  общей ветви:

Переписываем уравнения, с введенными обозначениями:

Решая совместно систему уравнений, получим уравнения для нахождения и .

Решаем уравнения для  нахождения

Где , , - корни уравнения

Находим корни уравнения 

    

Находим производную полиноме знаменателя:

Подставляем корни уравнения:

при получим:

при получим:

при получим:

Из этого следует, что 

Решаем систему для  нахождения