Равновесие произвольной плоской системы сил

Министерство образования  и науки Республики Казахстан

Карагандинский Государственный  Технический Университет

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра: Механика

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

По теоретической механике

 

 

 

 

 

 

Выполнил: ст. гр. ГМ-12-2

Лапушкин А.А.                                                                                     

Принял:

Ганюков А.А.

 

 

 

 

 

 

 

Караганда 2013

Содержание

 

1  Введение……………………………………………………………………3

2  Задание №4…………………………………………………………………5

3 Задание №6…………………………………………………………………7

4 Задание №1в………………………………………………………………..9

5 Задание №2………………………………………………………………...11

6 Задание №3………………………………………………………………...13

7 Задание №7………………………………………………………………...16

8 Задание №8………………………………………………………………...19

9 Заключение…………………………………………....…………………..22

10 Список использованной литературы…………………………………….23

 

Введение

 

Теоретическая механика – фундаментальная естественнонаучная дисциплина, лежащая в основе современной техники.  На материале теоретической механики базируются такие общетехнические дисциплины, как «Прикладная механика», «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали машин», «Строительная механика», «Гидравлика», «Теория упругости и пластичности», «Гидродинамика и аэродинамика», «Теория колебаний», «Теория управления движением», «Робототехника».  Сюда следует отнести и большое число специальных инженерных дисциплин, предметом которых служат: динамика и управление машинами и транспортными системами, методы расчёта, сооружения и эксплуатации высотных зданий, мостов, тоннелей, плотин, гидромелиоративных сооружений, трубопроводного транспорта.

Целью теоретической механики является изучение тех общих законов, которым подчиняются движение и  равновесие материальных тел и возникающие  при этом взаимодействия между телами.  На данной основе становится возможным  построение и исследование механико-математических моделей, адекватно описывающих  разнообразные механические явления.  При изучении теоретической механики вырабатываются навыки практического  использования методов, предназначенных  для математического моделирования  движения систем твёрдых тел.

Механическим движением  называется происходящее с течением времени изменение положения  точек или тел в пространстве. Частным случаем движения является состояние покоя.  Теоретическую механику разделяют на статику, в которой рассматривают равновесие статических сил, кинематику, рассматривающую движение тел независимо от действующих сил, и динамику, в которой рассматриваются взаимозависимости между силами, движением и массой.

У каждого задания существуют указания по выполнению и примеры  его выполнения.

Задание 1в. Кинематика точки. Простейшие движения твердого тела.

Найти: скорости υ_Д, υ_А, ω₂, ускорения α_B, α_A, ε₃

Задание 2. Сложное движение точки

Найти: υ_А, α_A

Задание 3. Плоское движение твердого тела

Найти: скорости υ_В, υ_Е, ω_ДЕ, ускорения α_B, ε_АВ

Задание 4. Равновесие произвольной плоской системы сил

Найти: Х_А, Y_A, R_B

Задание 6. Равновесие произвольной пространственной системы сил

Найти: Х_А, Y_A, Z_A, X_B, Z_B, N

Задание 7. Динамика материальной точки

Найти: найти закон движения груза на участке ВС, , где x=BD.

Задание 8. Динамика твердого тела

Найти: уравнение движения тела 1, натяжение нитей T₁ и T₂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №4. Равновесие произвольной плоской системы сил

4.1 Определение реакций  опор твердого тела

Жесткая рама закреплена в  точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках. В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий груз весом 50 кН. На раму действует пара сил с моментом М=100кН∙м и две силы и , точки приложения и направления которых показаны на рис.1, а величины сил F₁=20кН, F₃=80кН. Размеры указаны на рисунке. Определить реакции связей в точках А и В. При оканчательных расчетах принять L=0,5м.

Решение

Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси x, y и покажем действующие на раму силы: силы и , пара сил с моментом М. В точке С действует реакция нити , причем Т=Р=25кН. Реакция опоры направляется перпендикулярно плоскости опоры, а реакция неподвижной шарнирной опоры А изображена двумя составляющими  _A и _А.

                                Рис. 1

Решение

Составляем уравнения  равновесия произвольной плоской системы. При вычислении моментов сил и относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. Разлагаем эти силы на две составляющие и , и , причём  , , , , и учтём, что , .

Получим:

ƩF_kx=0, X_A-T+F₄cos60⁰+F₁cos30⁰+R_Bcos60⁰=0,

ƩF_ky=0, Y_A-F₄cos30⁰+F₁cos60⁰+R_Bcos30⁰=0,

Ʃm_A=0, -2L∙F₄cos30⁰-T∙2L+F₁cos60⁰∙3L+F₁cos30⁰∙4L-R_Bcos60⁰∙4L+   +M +R_Bcos30⁰∙5L=0

Решая составленные уровнения, находим:

 

_,

 

=78(кН).

 

X_A=T-F₄cos60⁰-F₁cos30⁰-R_Bcos60⁰, X_A=50-80∙0,5-20∙0,87-78∙0,5= -46,4(кН).

Y_A=F₄cos30⁰-F₁cos60⁰-R_Bcos30⁰, Y_A=80∙0,87-20∙0,5-78*0,87= -8,26(кН).

 

Ответ: X_A=-46,4кН, Y_A= -8,26кН, R_B=78кН. Знаки указывают, что силы _A и _А направлены противоположно показанным на рис.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №6. Равновесие произвольной пространственной системы сил

6.1 Определение реакций  связей твердого тела

 

Однородная прямоугольная  плита весом Р=10кН со сторонами  АВ=3L и В С=2L закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем 1, закрепленным на концах шарнирно (рис.2).

На плиту действует  пара сил с моментом М=12кН∙м, лежащая  в плоскости плиты, и две силы, приложенных в точках D и Е, причём F₁=20кН, F₃=60кН, сила  -лежит в плоскости xy, - параллельна оси Oy. Углы между силами и соответствующими линиями указаны на рис.2. Точки H, D, E находятся в середине сторон плиты.

Определить реакции в  точках А и В и реакцию стержня. При подсчётах принять L=0,6м.

Решение

1. Рассмотрим  равновесие  плиты. На нее действуют силы  , и пара сил с моментом М, три составляющие , , реакции сферического шарнира, две составляющие , реакции подшипника, реакцию стержня направляем вдоль стержня.

2. Для определения шести  неизвестных реакций составим  шесть уравнений равновесия произвольной  пространственной системы сил.  При определении моментов сил  и относительно осей разлагаем эти силы на составляющие (, , причём =F₁cos30⁰, =F₁cos60⁰, =Ncos60⁰, =Ncos30⁰) и применяем теорему Вариньона.

Рис.2

Уравнения равновесия:

1) ƩF_kx=0, X_A-X_B+F₁cos60⁰=0

2) ƩF_ky=0, Y_A+F₃+Ncos60⁰+F₁cos30⁰=0

3) ƩF_kz=0, Z_A+Z_B+Ncos30⁰-P=0

4) Ʃm_x=0, -P∙1,5L+N∙3L∙cos30⁰+Z_B∙3L=0

5) Ʃm_y=0, -P∙L+N∙cos30⁰∙2L=0

6) Ʃm_z=0, -F₃∙L+X_B∙3L-F₁∙ cos60⁰∙3L-F₁∙ cos30⁰∙L-M-N∙cos60⁰∙2L=0

Из уравнения 5 находим:

4(кН)

 

Из уравнения 4 находим:

,  ==0(кН)

Из уравнения 6 находим:

,

=44,38(кН)

Из уравнения 3 находим:

Z_A=-Z_B-Ncos30⁰+P=0-5,74∙0,87+10=5(кН)

Из уравнения 1 находим:

X_A= X_B-F₁cos60⁰=44,38-20∙0,5=34,38(кН)

Из уравнения 2 находим:

Y_A=-F₃-Ncos60⁰-F₁cos30⁰=-60-5,74∙0,5-20∙0,87=-80(кН)

Ответ: N=5,74кН, Z_B=0кН, X_B=44,38кН, Z_A=5кН, X_A=34,38кН, Y_A=-80кН. Знаки указывают, что сила Y_A направлена противоположно показанной на рис.2.

 

Задание №1. Кинематика точки. Простейшие движения твердого тела

1.1. Определение кинематических  характеристик точек в различных  движениях 

Задача 1в. Механизм состоит  из ступенчатых колес 1-3, находящихся  в зацеплении или связанных ременной передачей, грузов 4 и 5 и стрелки 6, жестко связанных с колесом 3. Радиусы  колес равны соответственно: у  колеса 1-r₁=6 см, R₁=8 см; у колеса 2-r₂=8 см, R₂=12 см; у колеса 3-r₃=16 см, R₃=18 см; длина стрелки l=24см (рис.3). Закон изменения скорости груза 5 υ₅=3t²-8 см/с, положительное направление которой вниз. Найти скорости точек А и Д, угловую скорость колеса 2, ускорение точки В и груза 4, угловое ускорения колеса 3 в момент времени t₁=2c.

Рис.3

Решение

1. Определение угловых  скоростей колес. Зная υ₅, находим модуль угловой скорости 3-го колеса

 

Так как колеса 1 и 3 находятся  в зацеплении, то ω₃r₃=ω₁r₁, откуда

 

Но колесо 1 в зацеплении с колесом 2, поэтому ω₂R₂=ω₁R₁, откуда

 при t₁=2c, 0,39 с^-1

Направления скоростей показаны на рис.3. 

2.Определение углового  ускорения колеса 3 ε₃. По известной угловой скорости

 при t₁=2c, ≈0,67с^-2

3. Определение скорости  точки А. По известной угловой  скорости 1-го колеса 

, при t₁=2c,≈3,55см/с

4. Определение скорости  точки Д. По известной угловой  скорости 3-го колеса 

, при t₁=2c,≈5,33 см/с

Направление скоростей точек А и С показаны на рисунке в соответствии с направлениями угловых скоростей.

5. Определение ускорения  точки В. Предварительно находим угловое ускорение 2-го тела

 при t₁=2c, ≈1,18с^-2

Ускорение точки В , причем =ω²₂r₂, = ε₂r₂, при t₁=2c, ≈1,24 см/с², ≈9,44 см/с², 9,52 (см/с²).

Направления показаны на рисунке 3.

6. Определение ускорения  груза 4. Так как груз 4 и точка В находятся на одном колесе то их ускорения равны, =9,52 (см/с²).

Ответ: ≈3,55см/с, ≈5,33см/с, ≈0.87с^-29,52см/с² , =9,52см/с², 0,39 с^-1.

 

 

Задание №2. Сложное движение точки

2.1 Определение абсолютной  скорости и абсолютного ускорения  точки при вращательном движении

По заданному уравнению  относительного движения точки М  s = АМ = 20(2t³-t) и уравнению вращения тела Д φ=2t²-t³ (s- в см., φ-в рад., t- в с.) найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент t₁=1c., если l=40см, α=30⁰ (рис.4)

Рис.4

Решение

Рассмотрим движение точки  М как сложное, считая её движение в прорези тела Д относительным (относительное движение – прямолинейное), а вращение тела Д – переносным движением.

Находим положение точки  в подвижной системе отсчета  при t₁=1c: см).

Определим все кинематические характеристики относительного и переносного  движений.

1. Относительное движение. Это движение задано естественным  способом. Находим , при t₁=1c: (cм/с).

Так как>0, то вектор направлен вдоль прямой АМ в сторону возрастания s.

Находим относительное ускорение  точки М: , так как =0 (движение прямолинейное), =, при t₁=1c:=240 см/с²

2. Переносное движение. Это  движение задано уравнением  φ=2t²-t³. Находим угловую скорость и угловое ускорение тела Д: , при t₁=1c: 1c^-1, , при t₁=1c: =-2c^-2     Так как0, то направление вращения совпадает с положительным направлением угла φ. Так как ,  то направление ускорения направлено противоположно положительному направлению угла φ. Модули =1c^-1,   =-2c^-2 . Направление вектора показано на рис.4.      Для определения переносной скорости и переносного ускорения точки находим сначала расстояние точки М от оси вращения: 20(см).