Равновесие произвольной плоской системы сил

Для _{в момент времени} t₁=1c получаем: _(см/с);

_{, (см/с}²), _(см/с²).

Через точку М проводим пространственные оси координат x, y, z и в соответствии с направлениями угловой скорости и углового ускорения направляем векторы          3. Ускорение Кориолиса. Так как угол между векторами _и равен α, то модуль а_с в момент t₁=1c будет: _(см/с²).

Воспользовавшись правилом Жуковского, направляем вектор вдоль оси x.              4. Абсолютное движение. В соответствии с теоремой сложения скоростей имеем _. Так как векторы _{взаимно перпендикулярны, то в момент} t₁=1c: _{4 (}см/с).

По теореме сложения ускорений .

Для вычисления a_a спроецируем это равенство на координатные оси x, y, z. Для момента t₁=1c получаем:

(м/с²),     (м/с²),    (м/с²).

Находим значение a_a в момент t₁=1c: _(м/с²).

Ответ: =_м/с²,_{=4 см/с.}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №3. Плоское движение твердого тела

3.1 Расчет многозвенного  механизма

 

Механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом  и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами (рис. 5), точка Д находится в середине стержня 2.

Длины стержней равны соответственно: l₁=1м, 1₂ =3м, l₃ =3.5м, l₄=1.5. Для положения механизма, показанного на рисунке, по известной угловой скорости ω₁=4с^-1 угловому ускорению ε₁=3с^-2 стержня О₁А в данный момент времени найти скорости и   точек В и Е, угловую скорость   и угловое ускорение звена АВ, а также ускорение точки В.

Рис.5

 

Решение

Определение . Предварительно находим скорость точки А:

 

направление определяется направлением .

Для определения воспользуемся теоремой о проекции скоростей двух точек стержня АВ на прямую, соединяющую точки А и В. Скорость направлена вдоль направляющих. Находим:

 

Определение ω_АВ. Для этого находим МЦС- Р₂ звена АВ, восстанавливая из точек А и В перпендикуляры к и . Находим AP₂=АВ/cos60⁰=6м, ω_АВ=/ AP₂=0,67  с^-1. Направление ω_АВ определяется направлением .

Определение . Точка Е принадлежит стержню ДЕ. Следовательно, для определения надо предварительно найти . Так как точка Д принадлежит одновременно стержню АВ, то _. м. м. _м/с. .

Вектор  перпендикулярен и направлен в соответствии с направлением _.

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О₂Е, вращающемуся вокруг точки О₂, то . Е одновременно принадлежит и ДЕ, поэтому восстанавливая из точек Д и Е перпендикуляры к и получаем МЦС Р₃ звена ДЕ. Составим пропорцию по т. синусов:

 ; =1 м/с.

По направлению  определяем направление поворота стержня ДЕ (_{), вектор} будет направлен в сторону поворота этого стержня перпендикулярно .

Определение ω_ДЕ. ω_ДЕ=/ P₃Е= 0,85 с^-1. Направление ω_ДЕ определяется направлением .

Определение . Находим сначала ускорение точки А.

 

 

Вектор направлен вдоль АО₁, а - перпендикулярно АО₁; изображаем эти векторы на рисунке.

Приняв А за полюс и применяя теорему об ускорении к В, получим

 

Находим . Вектор направлен от В к А. Вектор направлен перпендикулярно АВ. Изобразим эти векторы.

Для нахождения последнее векторное равенство спроецируем на ось х, перпендикулярную .

Так как точка В одновременно принадлежит и ползуну, имеющему направляющие, то предполагаем, что направлен вправо.

 

.

Знак мину указывает, что  вектор направлен в другую сторону, противоположно указанному на рисунке.

Определение ε_АВ. Для определения ε_АВ сначала определим . Для этого последнее векторное равенство спроецируем на ось у:

 

 

Отсюда . Из равенства ε_АВl₂ получаем ε_АВ= 3,54 с^-2

Ответ: =1 ω_ДЕ = 0,85 с^-1,, ε_АВ= 3,54 с^-2

 

 

 

Задание №7. Динамика материальной точки 

7.1 Интегрирование дифференциальных  уравнений 

движения материальной точки

Груз D массой m=3 кг, получив в точке А начальную скорость υ₀=22м/с, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы один горизонтальный, другой наклонный (рис.6)

На участке АВ на груз, кроме силы тяжести, действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунке) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения), причем Q=9Н, а R=0,5υ; трением груза о трубу на этом участке пренебречь.

В точке В груз, не изменяя  величины скорости, переходит на участок  ВС трубы, где на него, кроме силы тяжести, действуют силы трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила , проекция которой на ось х равна 4sin(2t).

Считая груз материальной точкой и зная время t₁=3c движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. , где x=BD.

Рис. 6

Решение

1. Рассмотрим движение  груза на участке АВ, считая  его материальной точкой. Изображаем  груз и действующие на него  силы . Проводим оси Аx₁y₁  и составим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси:

 

Далее находим:

 

Кроме того известно, что =0 (y₁ не изменяется). Из второго уравнения 0=N₁-G=> N=G, поэтому первое уравнение запишется:

 

Разделив обе части  на m, имеем

 

Подставляя числовые значения m=3 получим:

, где k =3

Разделяя переменные и  интегрируя обе части уравнения  имеем:

 

По начальным условиям при t₁=0, υ₁=υ₀, что дает С=, и находим ,

Отсюда 

 

В результате находим 

 

Пологая что t₁=3c,  и заменяя k и их значениями, определим скорость в точке В:

2. Рассмотрим движение  груза на участке ВС. Проведем  оси и покажем действующие  на него силы  . Составим уравнения движения груза в проекциях на оси х и у:

 

 

В уравнениях F_тр=f₂N₂. Так как =0 (y не изменяется). Из второго уравнения 0=--mgcos60⁰+N₂, откуда N₂= mgcos60⁰. Следовательно, F_тр=fmgcos60⁰. Кроме того G_x=mgcos60⁰, F_x=2sin(2t), и первое уравнение примет вид:

 

Разделив обе части  на m и интегрируя, находим:

 

Будем отсчитывать время  от момента, когда груз находился  в точке В, считая в этот момент t=0. Тогда при t=0 υ=υ₀=υ_B=18.2 м/с. Подставляя эти величины получим:

 

Поэтому

Но = , подставляя в уравнение, разделяя уравнения и интегрируя, будем иметь:

 

Так как при t=0 x=0, то С₃=0, а поэтому закон движения груза будет

 

Где x- в метрах, t- в секундах.

Ответ:  ) м.

 

 

 

Задание №8. Динамика твердого тела

8.1 Исследование поступательного  и вращательного движений твердого  тела

Механическая система  состоит из колес 1 и 2, центры тяжести которых лежат на оси вращения, и груза 3. К ведущему колесу приложена сила Р=P(t). Время отсчитывается от некоторого момента (t=0), когда угловая скорость колеса 1 равна ω₁₀=2с^-1. Момент сил сопротивления, приложенных к ведомому колесу, равен М_с. Другие силы сопротивления системы не учитывать.

Радиусы больших и малых  окружностей R₁=30см, r₁=20см, R₂=50см, r₂=30см, радиусы инерции колес р₁=25см и р₂=40см.

Массы колес 1, 2 и груза 3 равны m₁=150кг, m₂=200кг, m₃=350кг, а схема механической системы показана на рис. 7. По этим условиям выполняется задача.

Задача 8а. Найти уравнение  движения тела 1. Определить также натяжение  нитей в момент t₁=3с.

Рис. 7

Решение

В данной задаче колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей х₁ и х₂, а груз 3 совершает поступательное движение.

Расчленим систему на составляющие тела и для каждого из них напишем дифференциальные уравнения движения.

На колесо 1 действует  движущая сила , сила тяжести , составляющие реакции подшипника , , и сила реакции нити . Для колеса 1 имеем

                            

На колесо 2 действует сила тяжести , составляющие реакции подшипника , , и силы реакций нитей , при этом по величине . Для колеса 2 получим

 

 

К грузу приложены сила тяжести  и реакция нити . Для груза 3 имеем

 

где z₁-ось параллельная z и направленная в сторону движения груза 3.

Так как колеса 1 и 2 находятся  в зацеплении, то

 

Для груза                    

В связи с тем, что надо найти  выразим через . Кроме того известно, что , следовательно

 

 

 

           Умножим обе части первого  уравнения на , второе на , а третье на и сложив левые и правые части полученных уравнений, будем иметь

 

           Подставляя числовые значения  величин, получим

 

Интегрируем это уравнение  дважды, используя начальные условия  задачи: при t=0,

 

 

 

причем  следовательно,

 

Это и есть искомый закон  вращения тела 1.

Найдем реакции нитей 

 

 

 

При t₁=3c T₁=8615,25Н, T₁=8620Н.

Ответ: T₁=8615,25Н, T₁=8620Н.

 

 

Заключение

 

В результате курсовой работы были достигнуты изначально поставленные цели, а именно:

1. исследовано вращательное  и поступательное движения твердого  тела;

2. определены абсолютная  скорость и абсолютное ускорение  точки при переносном вращательном  движении;

3. решена задача по  расчету характеристик плоского  многозвенного механизма;

4. определены реакции  опор твердого тела при равновесии  плоской и пространственной системы  сил;

5. составлен закон движения  груза, используя интегрирования  дифференциальных уравнений движения  материальной точки.

Задание 1в. Ответ: ≈3,55см/с, ≈5,33см/с, ≈0.87с^-29,52см/с², =9,52см/с², 0,39 с^-1.

Задание 2. Ответ: =_м/с²,₌₄ см/с.

Задание 3. Ответ: =1 ω_ДЕ = 0,85 с^-1,, ε_АВ= 3,54 с^-2

Задание 4. Ответ: X_A=-46,4кН, Y_A= -8,26кН, R_B=78кН.

Задание 6. Ответ: N=5,74кН, Z_B=0кН, X_B=44,38кН, Z_A=5кН, X_A=34,38кН, Y_A=-80кН.

Задание 7. Ответ:  ) м.

Задание 8. Ответ: T₁=8615,25Н, T₁=8620Н.

 

 

Список использованной литературы

 

1. С.М. Тарг «Краткий курс теоретической механики» – М.: Высшая школа, 1986 г.

2. А.А. Яблонский «Курс теоретической механики» – М.: Высшая школа, 1984 г.

3. Н. В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д. Я. Меркин. «Курс теоретической механики». Том II. Динамика. -М., "Наука", 1985 г.

4. В.В. Добронравов, Н.Н.  Никитин, А.Л. Дворников. «Курс  теоретической механики» – М.: Высшая школа, 1983 г.

5. Н.А. Бражниченко и др. «Сборник задач по теоретической механике» – М.: Высшая школа, 1974 г.

6. И.В. Мещерский «Сборник  задач по теоретической механике» . -М., "Наука", 1986 г.