Сравнение особенностей применения способа фурье операторного метода лапласа для анализа электрических цепей

Рассмотрим сигнал, описываемый экспоненциальной функцией

s(t)=UUCP(-αt)σ(t) при положительном вещественном значении параметра α.

Такой сигнал, строго говоря, лишь условно можно назвать импульсом  из-за его поведения при t→∞. Однако условие α > 0 обеспечивает достаток быстрое (экспоненциальное) уменьшение мгновенных значений сигнала с ростом времени. Эффективную длительность подобных импульсов в радиотехнике обычно определяют из условия десятикратного уменьшения уровня сигнала: ехр(-ατ_т) =0.1, откуда τ_т = 2.3ОЗ/ос.

Спектральная плотность  экспоненциального видеоимпульса

Подставляя пределы, имеем

         (19)

Можно отметить две принципиальные особенности, отличающие спектральную плотность экспоненциального колебания от спектра импульса прямоугольной формы:

1. В соответствии с формулой (19) величина S(ω) не обращается в нуль ни при каком конечном значении частоты.

2. Спектральная плотность экспоненциального  импульса есть комплекснозначная  функция S(ω)=| S(ω) |exp[jψ(ω)], имеющая модуль (амплитудный спектр) | и аргумент (фазовый спектр)

ψ(ω)= -arctg(ω/α).

Соответствующие графики представлены на рис. 3, а, б.

Спектральная плотность гауссова видеоимпульса. Данный сигнал

описывается функцией вида s(t)=Uexp(-βt²)

Эффективную длительность гауссова импульса определим из условия десятикратного уменьшения мгновенного значения сигнала. Обратившись к чертежу, видим, что  длительность τ_n должна удовлетворять соотношению exp[-β(τ_n]/2)²]=0,1,

 

 

 

 

 

Рисунок 3. Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса:

а — нормированный амплитудный  спектр; б — фазовый спектр

преобразуя который получаем

        (20)

Спектральная плотность рассматриваемого импульса

       (21)

Преобразуем подынтегральное выражение  так, чтобы можно было воспользоваться  табличным интегралом

Для этого из показателя экспоненты в (21) выделим полный квадрат:

Таким образом,

Введем новую переменную , такую, что . Это позволяет представить искомую спектральную платность в виде

откуда окончательно имеем

        (22)

Итак, спектральная плотность гауссова импульса вещественна и описывается гауссовой функцией частоты.

Спектральная плотность  дельта-функции.

 Пусть сигнал s(t) представляет собой короткий импульс, сосредоточенный в точке t=0 в имеющий площадь А. Такой сигнал имеет математическую модель s(t) = Aδ(t). Спектральная плотность этого сигнала

На основании фильтрующего свойства дельта-функции входящий сюда интеграл численно равен значению классической функции в точке, где сосредоточена  обобщенная функция. Поэтому

         (23)

 

Итак, дельта-импульс  имеет равномерный спектр на всех частотах. Интересно интерпретировать этот результат на векторной диаграмме.

 В момент возникновения  импульса (t = 0) все элементарные гармонические составляющие складываются когерентно, поскольку в соответствии с (23) спектральная плотность вещественна. Амплитуды этих составляющих при увеличении частоты не убывают (ср. с предыдущими примерами). Таким образом, при t = 0 наблюдается бесконечно большое значение сигнала. Во все другие моменты времени сигнал будет обращаться в нуль, так как векторная сумма.

Связь между длительностью  импульса b шириной его спектра. Если проанализировать частные случаи, изученные выше, то можно сделать очень важный вывод: чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр.

Под шириной спектра  здесь и в дальнейшем будем  понимать частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности  не меньше некоторого наперед заданного  уровня, например изменяется в пределах от

| S |_max до 0,1| S |_max.

Рассмотрим прямоугольный  видеоимпульс, полагая при этом, что верхняя граничная частота  спектра ω_n — это частота, соответствующая первому нулю спектральной плотности. Нетрудно видеть, что

ω_вτ_n/2=π   или  f_вτ_n=1

Обратившись к экспоненциальному видеоимпульсу, можно условно положить, что на верхней граничной частоте модуль спектральной плотности уменьшается в 10 раз по отношению к максимальному значению. Отсюда следует, что

 или    ,

а значит,

Поскольку эффективная  длительность экспоненциального импульса

τ_n =2.303/α, произведение f_вτ_n = 3.647.

Наконец, спектр дельта-импульса, имеющего бесконечно малую длительность, неограниченно протяжен.

Итак, произведение ширины спектра импульса на его длительность есть постоянное число, зависящее только от формы импульса и, как правило, имеющее порядок единицы:

f_вτ_n=0(1)

Это соотношение имеет  первостепенное значение для радиотехники. Оно определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. Например, чем короче длительность импульса, тем шире должна быть полоса пропускания соответствующего усилителя. Короткие импульсные помехи имеют широкий спектр и поэтому могут ухудшать условия радиоприема в значительной полосе частот.

 

Основные свойства преобразования Фурье.

Научившись вычислять спектральные плотности достаточно простых, но часто  встречающихся импульсных сигналов, перейдем к систематическому изучению свойств преобразования Фурье.

 

Линейность преобразования Фурье.

 Это важнейшее свойство формулируется  так: если имеется некоторая  совокупность сигналов s₁(t), s₂(t),..., причем s₁(t) ↔ S₁(ω), s₂(t) ↔ S₂(ω),.... то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

                 (24)

Здесь a_i — произвольные числовые коэффициенты.

Для доказательства формулы (24) следует подставить сумму сигналов в преобразование Фурье (14).

 

Свойства вещественной и мнимой частей спектральной плотности. Пусть  s(t) — сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность в общем случае является комплексной:

Подставам это выражение в формулу  обратного преобразования Фурье (17):

Для того чтобы сигнал, полученный путем такого двукратного преобразования, оставался вещественным, необходимо потребовать, чтобы

Это возможно лишь в том случае, если вещественная часть A(ω) спектральной плотности сигнала есть четная, а  мнимая часть В(ω) —. нечетная функция частоты:

A(ω)= A(-ω), B(ω)= -B(-ω)       (25)

Спектральная плотность произведения сигналов.

Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.

Пусть u(t) и υ(t) —два сигнала, для которых известны соответствия u(t)↔U(ω), υ(t)↔V(ω). Образуем произведение

этих сигналов: s(t) = u(t)υ(t) и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу

       (26)

Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал υ(t) через его спектральную плотность и подставим результат в (26)

   

Изменив порядок интегрирования, будем иметь

откуда

     (27)

Интеграл, стоящий в  правой части, называют сверткой

функций V и U. В дальнейшем будем символически обозначать операцию свертки так:

Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свертке спектральных плотностей сомножителей:

      (28)

Нетрудно убедиться, что  операция свертки коммутативна, т. е. допускает изменение порядка следования преобразуемых функций.

Доказанная выше теорема  о свертке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения S(ω) =S₁(ω)S₂(ω), причем S₁(ω)↔ s₁(t) и S₂(ω)↔ s₂(t) то сигнал s(t)↔ S(ω) является сверткой сигналов s₁(t) и s₂(t) но уже не в частотной, а во временной области:

      (29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Операторный метод анализа переходных процессов

 

2.1. Основные преобразование Лапласа

Нахождение изображений функции времени (равно как и обратные переходы от изображений к оригиналу) выполняются с помощью специальных интегральных преобразований, приводимых в курсе высшей математики. В настоящее время в большей части современной технической литературы операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа, в основе которого лежит соотношение:

.        (30) 

Важно отметить, что функции, описывающие реально возможные  воздействия и соответствующие  им реакции, всегда преобразуемы по Лапласу. Полученную в результате такого преобразования функцию называют иногда лапласовым изображением функции или ее -изображением и обозначают:

.         (31)

Отыскание -изображения заданной функции называется прямым преобразованием Лапласа, а нахождение по известному – обратным преобразованием Лапласа.

Основные свойства и  правила этих преобразований:

Свойство  единственности. Каждому оригиналу (исходной функции) соответствует единственное изображение и наоборот, каждому изображению соответствует единственный оригинал.

Свойство  линейности. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений:

 – оригинал;       (32)

 – изображение.     (33)

 

Преобразование  операции дифференцирования. Если оригинал представляет производную от некоторой функции

,

то его изображение  имеет вид:

.        (34)

При нулевых начальных условиях (ННУ) и , т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на оператор  (при ННУ).

 

Преобразование  операции интегрирования. Если оригинал представляет от некоторой функции интеграл:

,         (35)

то его изображение  имеет вид: , т. е. интегрированию оригинала соответствует деление его изображения на оператор  .

Теорема запаздывания (оригинала). Если , то , где — время запаздывания, т. е. запаздыванию оригинала на время соответствует умножение его изображения на экспоненциальный множитель .

Теорема смещения (изображения). Если , то , т. е. умножению оригинала на экспоненциальный множитель соответствует смещение его изображения на величину .

Решение задач прямого  и обратного преобразований Лапласа  существенно упрощаются в тех  случаях, когда удается использовать справочные таблицы, которые содержат пары оригинал – изображение. Эти таблицы приводятся в справочниках.

Следует учесть, что при  обратном преобразовании Лапласа полученные функции иногда не подходят под табличные. В этом случае используется разложение этой функции на простые дроби или в ряд с последующим применением обратного преобразования Лапласа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Классический метод  анализа переходных процессов применяют  в основном тогда, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией времени либо постоянно. Если внешнее воздействие на цепь после коммутации имеет более сложный характер, то определение принужденной составляющей реакции цепи существенно затруднено, а при повышении порядка цепи усложняется определение постоянных интегрирования. Значительно большие возможности представляет операторный метод анализа переходных процессов, основанный на применении преобразования Лапласа. Подобно ранее рассмотренному методу комплексных амплитуд, операторный метод относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (изображениями). Взаимное соответствие между функцией времени a(t) и ее изображением А(р) в операторном методе устанавливается с помощью прямого

       (36)

или обратного

     (37)

преобразований Лапласа  и указывается знаком соответствия

a(t)=A(p)

Функция А(р) называется операторным изображением функции a(t) или изображением функции a(t) по Лапласу. Исходная функция времени a(t) по отношению к своему операторному изображению является оригиналом. Комплексное число p будем называть оператором преобразования Лапласа или комплексной частотой.

Из курса  высшей математики известно, что для  функций а(t), равных нулю при

t < 0, интегрируемых при t > 0 и удовлетворяющих неравенству

| a(t) | ≤ Ke^σt

где К и σ₀ — некоторые постоянные числа, интеграл (36) абсолютно сходится при Re (р) > σ₀. Изображение А(р) в полуплоскости Re (р) >σ₀ является аналитической функцией р, которая стремится к нулю при Re(p)→∞. На практике к интегрированию по формулам (36), (37) приходится прибегать сравнительно редко, так как для большинства часто употребляемых функций разработаны таблицы прямого и обратного преобразований Лапласа. Следует иметь в виду, что в ряде справочников, приведены таблицы преобразовании Карсона—Хевисайда

которое отличается от преобразования Лапласа только наличием множителя р. Напомним некоторые свойства преобразования Лапласа. Изображение по Лапласу постоянной величины К равно этой величине, деленной на р:

K=K/p     (38)

Умножение функции  времени а (t) на постоянное число К соответствует умножению на это же число ее изображения:

Ка(t) = КА(р).    (39)

Изображение суммы функций времени равно  сумме изображений этих функций: