Сравнение особенностей применения способа фурье операторного метода лапласа для анализа электрических цепей

         (40)

где a_i (t) = А_i(р).

Если начальное значение функции a (t) равно нулю а (0₊) = 0, то дифференцированию функции а(t) соответствует умножение изображения этой функции на р (теорема дифференцирования):

         (41)

при a(0₊)≠0

        (42)

Проводным применением  теоремы дифференцирования, можно получить выражения для производных высших порядков:

Интегрированию функции  времени в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на р (теорема интегрирования):

         (43)

Смещению функции на t₀ соответствует умножение изображения на e^-pt₀ (теорема запаздывания):

        (44)

А смещению изображения A(p) в комплексной плоскости на комплексное число λ соответствует умножение оригинала на e^-λt ( теорема смещения):

Значение функции времени  при t=0 и t→∞ могут быть найдены с помощью предельных соотношений

Предполагается, что соответствующие  пределы существуют.

Если изображение A(p) может быть представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней:

    (45)

причем степень полинома М(р) выше, чем степень полинома N(p), а уравнение

M(p)=0           (46)

не имеет кратных  корней, то для перехода от изображения  к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения

       (47)

где p_k — корни уравнения (46).

Используя преобразование Лапласа, каждому уравнению, входящему в систему уравнений электрического равновесия цепи, можно поставить в соответствие уравнение, составленное относительно операторных изображений токов и напряжений. Уравнениям баланса мгновенных значений токов и напряжений соответствуют уравнения баланса операторных изображений токов и напряжений, а компонентным уравнениям, описывающим соотношения между мгновенными значениями токов и напряжений отдельных ветвей, соответствуют уравнения, связывающие операторные изображения токов и напряжений тех же ветвей. Вследствие того что изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций (40), для перехода от уравнений баланса мгновенных значений токов и напряжений ветвей к уравнениям баланса операторных изображений токов и напряжений достаточно в уравнениях  заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями

                     (48)

    (49)

Если уравнения баланса напряжений формировались относительно мгновенных значений напряжений отдельных элементов, то в операторной форме эти уравнения принимают вид

        (50)

Уравнения (48) и (49) или (50) будем называть уравнениями баланса токов и напряжений в операторной форме, а операторные изображения токов и напряжений — операторными токами и напряжениями.

По аналогии с ранее  рассмотренными понятиями комплексного входного сопротивления Z = Z (jω) и комплексной входной проводимости Y = Y (jω) введем понятия операторного входного сопротивления Z (р) и операторной входной проводимости Y (p).

Операторным входным  сопротивлением пассивного линейного двухнолюсника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях

        (51) 

где I(p)=i(t) и U (р) = u (t) — операторные изображения тока и напряжения на входе некоторого пассивного двухполюсника при t ≥ 0 и нулевых начальных условиях.

Величина, обратная Z (p), называется операторной входной проводимостью

      (52)

Операторное входное сопротивление и операторная  входная проводимость пассивного линейного  двухполюсника, подобно его комплексному входному сопротивлению и комплексной входной проводимости, не зависят от интенсивности внешнего воздействия и определяются только параметрами входящих в двух- нолю сник идеализированных пассивных элементов и схемой их соединения.

Как следует  из выражений (51), (52), каждому пассивному линейному двухполюснику при нулевых начальных условиях может быть поставлена в соответствие операторная схема замещения, на которой рассматриваемый двухполюсник представляется своим операторным входным сопротивлением или операторной входной проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах — их операторными изображениями. Если в рамках решаемой задачи двухполюсник не находится при нулевых начальных условиях, то его операторная эквивалентная схема должна содержать независимый источник тока или напряжения, характеризующий начальные запасы энергии в цепи.

Рассмотрим операторные  компонентные уравнения и операторные схемы замещения идеализированных пассивных двухполюсников.

Сопротивление. Соотношения между  мгновенными 

значениями тока и  напряжения на зажимах

сопротивления u_R = Ri_R; i_R = Gu_R-

Учитывая, что умножению функции  времени на постоянное число соответствует умножение изображения функции на это же число (39),

 для получения компонентных  уравнений 

сопротивления в операторной  форме достаточно

заменить мгновенные значения токов и напряжений

их операторными изображениями

         (53)

         (54)

Подставляя соотношения (43), (44) в (41), (42), находим выражения для операторного входного сопротивления и операторной входной проводимости

       (55)

Операторная эквивалентная  схема сопротивления приведена  на рис. 4.

Используя теоремы дифференцирования (42) и интегрирования (43), получаем

      (56)

       (57)

Операторные компонентные уравнения емкости (56) и (57) являются равносильными и могут быть получены одно из другого. При нулевых начальных условиях (u_C(0)=0) они принимают вид

Таким образом, операторное  входное сопротивление Z_C(p) и операторная входная проводимость емкости Y_C(p) определяется выражениями

     (58) 

Операторным компонентным уравнениям (56) и (57) соответствуют параллельная и последовательная схемы замещения емкости ( рис. 5, а, б), содержащие независимый источник тока Cu_C(0) или напряжения u_C(0)/p. При нулевых начальных условиях независимые источники тока или напряжения. характеризующие начальный запас энергии в емкости, выключается, и в операторной эквивалентной схеме емкости остается только один элемент – операторное входное сопротивление или операторная входная проводимость емкости (рис. 5, в).

 

                      

Рисунок 5. операторные схемы замещения емкости:

а – параллельная при  нулевых начальных условиях; б  – последовательная при нулевых начальных условиях; в – при нулевых начальных условиях.

 

Индуктивность. Мгновенные значения тока и напряжения индуктивности  связаны между собой

Применяя к этим выражениям теоремы дифференцирования (42) и интегрирования (43), получаем компонентные уравнения индуктивности в операторной форме:

       (59)

      (60)

Уравнения (59), (60) равносильные и могут быть получены одно из другого с помощью элементарных преобразований. Используя их, определяем комплексное входное сопротивление и комплексную входную проводимость индуктивности

       (61)

и строим ее последовательную и параллельную схемы замещения (рис. 6, а, б). Как и операторные схемы замещения емкости, операторные схемы замещения индуктивности содержат независимый источник напряжения Li_L (0) или тока i_L (0)/p, характеризующий начальный запас энергии в индуктивности. Операторная эквивалентная схема индуктивности при нулевых начальных условиях приведена на рис. 6, в.

Анализируя  полученные результаты, нетрудно установить, что выражения для операторных  входных сопротивлений (проводимостей) идеализированных пассивных элементов имеют такую же структуру, как и выражения для комплексных входных сопротивлений (проводимостей) этих же элементов, и могут быть получены одно из другого путем замены jω на р.

Аналогичным образом  может быть получено выражение для  операторного входного сопротивления (проводимости) произвольного линейного двухполюсника, составленного из идеализированных пассивных элементов.

 

 

Поэтому для преобразования операторных схем замещения линейных пассивных двухполюсников при нулевых  начальных условиях можно использовать все рассмотренные ранее правила преобразования линейных пассивных цепей при гармоническом воздействии для преобразования операторных схем замещения тех же участков цепей при ненулевых начальных условиях — правила преобразования активных двухполюсников. В частности, последовательная и параллельная схемы замещения емкости или индуктивности могут быть преобразованы одна в другую с помощью рассмотренных ранее  приемов преобразования активных двухполюсников.

Используя операторные  эквивалентные схемы идеализированных пассивных элементов, можно получить операторную эквивалентную схему произвольного участка линейной цепи или всей цепи в целом. С этой целью каждый идеализированный пассивный элемент, изображенный на эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений, должен быть заменен операторной эквивалентной схемой, а токи и напряжения идеализированных источников тока или напряжения — представлены операторными изображениями соответствующих функций.

Операторная эквивалентная  схема цепи имеет такую же структуру, как и эквивалентная схема  цепи для мгновенных значений, но содержит дополнительные независимые источники энергии, определяющие запасы энергии цепи в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации.

Используя операторную  схему замещения цепи, можно с  помощью любого из известных методов  сформировать систему уравнений ее электрического равновесия в операторной форме, которая будет равносильна основной системе уравнений электрического равновесия цепи после коммутации.

В связи с тем что  операторная схема замещения  цепи может быть построена непосредственно  по эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений, этап формирования дифференциальных уравнений цепи может быть исключен. Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на формировании операторных уравнений электрического равновесия цепей по их операторным эквивалентным схемам, получил название операторного метода анализа переходных процессов. Этот метод представляет собой дальнейшее развитие операторного метода решения дифференциальных уравнений и позволяет анализировать процессы в цепи после коммутации, минуя этап формирования уравнений электрического равновесия цепи для мгновенных значений токов и напряжений.

Заключение

Наметим основные этапы  анализа переходных процессов в  линейных цепях с помощью операторного метода.

1. Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий, Выполняются так же, как и при использовании классического метода анализа переходных процессов.
2. Составление операторной эквивалентной схемы цепи после коммутации. Составление операторной эквивалентной схемы цепи производится непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями.
3. Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форм е. Система уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме может быть сформирована любым из рассмотренных в гл. 4 методов непосредственно по операторной схеме замещения цепи.
4. Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений. Может производиться любым методом, в том числе путем использования рассмотренного ранее метода сигнальных графов.
5. Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Как правило, производится путем применения таблиц обратного преобразования Лапласа и использования основных свойств преобразования Лапласа. Если изображение интересующей функции представляет собой отношение двух полиномов р, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремой разложения

 

 

Список используемой литературы:

 

1 Баскаков С.И. - Радиотехнические цепи и сигналы. МОСКВА 1988-448 с.

2 Воробьев Н.Н. - Теория рядов МОСКВА «НАУКА» 1979-408с.

3 Гоноровский И.С. - Радиотехнические цепи и сигналы  МОСКВА «СОВЕТСКОЕ РАДИО» 1977-600с.

4 Кузнецов В.А. Введение в электронике МОСКВА 1987-428с.

5 Нефедов В.И. Метрология  и радиоизмерение МОСКВА 2003 -402с.