Термодинамічні системи. Перший закон термодинаміки

     Таким чином,  теплообмін з нагрівачем і  холодильником в розглянутій  тепловій машині повинен відбуватися  при ізотермічних процесах, що  еквівалентно вимогу нескінченної  повільності протікання цих процесів. Очевидно, що така умова може  бути виконано тільки приблизно. 

     Інший процес, який може протікати без виникнення  теплових потоків - це адіабатичний  процес. Якщо він протікає нескінченно  повільно, то такий процес є  рівноважним й оборотним. 

     Зазначені  два рівноважних процесу (ізотермічний  і адіабатичний) можуть бути використані  для складання оборотного циклу.  Такий зворотній кругової процес  у принципі може складатися  з великої, в межі навіть  нескінченного, числа наступних  один за одним ізотермічних  і адіабатичних процесів. Однак,  для організації найпростішого  кругового процесу досить використання  двох ізотерм і двох адіабати. Такий рівноважний термодинамічний  цикл отримав назву циклу Карно.  Можливість здійснення такого  циклічного процесу пов'язана  з тим, що за допомогою адіабатичного  процесу завжди можливий перехід  між будь-якими ізотермами, а за  допомогою ізотермічного - між  будь-якими адіабати.

     Складений  таким чином цикл має для  термодинаміки таке ж важливе  значення, як і матеріальна точка  в механіці. Будь-який квазірівноважний процес може бути апроксимовані великим числом таких елементарних циклів. Подібно до того, як в механіці питання про можливість вважати тіло матеріальної точкою вирішується залежно від умов конкретного завдання, так і в термодинаміці питання про те, чи є циклічний процес квазірівноважним чи ні, залежить від умов того завдання, яке необхідно вирішити.

     Очевидно, що  між тілами, які перебувають при  однакових температурах і, отже, в стані теплової рівноваги,  не може відбуватися теплообмін. З цього випливає, що якщо вважати  процеси суворо ізотермічними,  то при їх протіканні робоче  тіло не має нагріватися від  нагрівача і охолоджуватися холодильником.  Тобто в циклічному процесі,  що складається з двох ізотерм  і двох адіабати, не може відбуватися  передача теплоти між нагрівачем (або холодильником) і робочим  тілом. Однак, на прикладі такого  найпростішого ідеального циклу  (аналогічно тому, як це робиться  в механіці на прикладі матеріальної  точки) можна вивчити основні  закони термодинаміки, провести  їх аналіз.

     Оборотний  цикл Карно складається з двох  ізотерм, що описують процес  теплопередачі від нагрівача  до робочого тіла і від робочого  тіла до холодильника, і двох  адіабати, що описують розширення  і стискання робочого тіла  в тепловій машині (рис.1). Температура нагрівача вважається рівною T₁, а температура холодильника – відповідно T₂. При цьому температури нагрівача T₁ і холодильника T₂ постійні, що повинно забезпечуватися нескінченно великою теплоємністю використовуваних теплових резервуарів.

Рис.1

Термодинамічний цикл Карно 

     При першому  ізотермічному процесі 1-2 відбувається  передача робочому тілу теплоти Q₁, причому ця теплота передається нескінченно повільно, при практично нульовий різниці температури між нагрівачем і робочим тілом. Далі робоче тіло піддається адіабатичного розширення без теплообміну з навколишнім середовищем (процес 2-3). При подальшому ізотермічному процесі 3-4 холодильник забирає у робочого тіла теплоту Q₂. Процес 4-1 представляє собою адіабатичне стиснення, що переводить робоче тіло в первинний стан.

     Розрахуємо  коефіцієнт корисної дії циклу Карно в разі, якщо в якості робочого тіла використовується ідеальний газ, маса якого дорівнює M. Рівняння адіабати для змінних температур T й об’єм V має вигляд :

TV^γ-1 = const

Застосування цього рівняння до процесів 2-3 і 4-1 дозволяє отримати умови

T₁ V₂^γ-1 = T₂ V₃^γ-1

T₁ V₁^γ-1 = T₂ V₄^γ-1

Якщо поділити T₁ V₂^γ-1 = T₂ V₃^γ-1 на T₁ V₁^γ-1 = T₂ V₄^γ-1, то ми отримаємо:

 

Враховуючи, що процеси 1-2 і 3-4 є ізотермічними і, отже, відбуваються без зміни внутрішньої енергії  газу, для одержуваної і віддається теплоти на підставі першого закону термодинаміки Q = ∆U + A та формули A₁₂ =

можна записати:

Q₁ = A₁₂ = ,

Q₂ = A₃₄ =

Підстановка отриманих виразів  у формулу η = дає вираз:

η = ;

яке, у свою чергу, з урахуванням  співвідношення перетвориться до виразу:

η =

Отриманий вираз дозволяє визначити коефіцієнт корисної дії  циклу Карно оборотної теплової машини, якщо в ній в якості робочого тіла використовується ідеальний газ. З наведених формул випливає, що коефіцієнт корисної дії такий теплової машини завжди менше одиниці і  повністю визначається температурами  холодильника нагрівника і холодильника.

Теореми Карно

     Першу та  другу теореми Карно. можна  сформулювати у вигляді двох  наступних тверджень:

     1. Коефіцієнт  корисної дії, чи ефективність будь-якої оборотної теплової машини, що працює за циклом Карно, не залежить від природи робочого тіла і пристрої машини, а є функцією (Ф) тільки температури нагрівача T₁ і холодильника T₂:

η_обор = 1 – Ф(T₁, T₂)

 

     2. Коефіцієнт  корисної дії будь-якої теплової  машини, що працює з необоротним циклом(η_необор), менше коефіцієнта корисної дії машини з оборотним(η_обор) циклом Карно, за умови рівності температур їх нагрівачів і холодильників:

η_необор < η_обор

     Проведемо  доказ перший теореми Карно.  Нехай є дві теплові машини  з загальним нагрівачем і холодильником,  що працюють за циклом Карно,  але мають різні к.к.д., внаслідок, наприклад, різного пристрою або відмінності фізичний природи робочого тіла. Припустимо, що к.к.д. перший теплової машини більше ніж у другої:. Тоді, запустивши першу машину за прямим циклом Карно, а другу по зворотному (це завжди можна зробити внаслідок оборотності циклу Карно) і з'єднавши їх разом так, щоб одна машина могла здійснювати роботу над іншою, можна буде в такій системі або одержувати механічну роботу за рахунок відбору теплоти від холодильника, або передавати частину теплоти від холодильника до нагрівача. Реалізація тієї чи іншої можливості залежить від конкретної технічної реалізації розглянутої системи з двох теплових машин. Як перший, так і другий результат роботи такої системи суперечить другому початку термодинаміки. Аналогічні міркування можна виконати і в разі, коли. Таким чином, для всіх теплових машин, що працюють за оборотного циклу Карно, їх ККД повинен бути однаковий при однакових температурах нагрівачів і холодильників цих машин.

     Друга теорема  Карно може бути обґрунтована тим, що при протіканні незворотного кругового процесу неминуче відбудеться перетворення частини роботи в теплоту, внаслідок що відбуваються усередині машини дисипативних процесів, пов'язаних з вирівнюванням параметрів стану (температури, тиску і т.д.) всередині робочого тіла або тертям рухомих частин. Це призведе до зменшення механічної роботи, до зменшення к.к.д. теплової машини в порівнянні з ідеальною машиною Карно. Отже, к.к.д. незворотною теплової машини завжди буде менше к.к.д. циклу Карно, якщо температури їх нагрівачів і холодильників однакові.

Природні процеси  завжди спрямовані в бік досягнення системою рівноважного стану (механічного, термічного або будь-якого іншого). Це явище відображено другим законом  термодинаміки, що має велике значення і для аналізу роботи теплоенергетичних  машин. Відповідно до цього закону, наприклад, теплота мимовільно може переходити тільки від тіла з більшою  температурою до тіла з меншою температурою. Для здійснення зворотного процесу  повинна бути витрачена певна  робота. У зв'язку з цим другий закон термодинаміки можна сформулювати наступним чином: неможливий процес, при якому теплота переходила б мимовільно від тіл більш  холодних до тіл більш теплим (постулат Клаузіуса, 1850 р.).

Другий закон термодинаміки  визначає також умови, при яких теплота  може, як завгодно довго перетворюватися  в роботу. У будь-якому розімкнутому термодинамічній процесі при  збільшенні обсягу відбувається позитивна  робота:

 

=

де  - кінцева робота, V₁ V₂ - відповідно початковий і кінцевий питома обсяг;

але процес розширення не може тривати нескінченно, отже, можливість перетворення теплоти в роботу обмежена.

Безперервне перетворення теплоти  в роботу здійснюється тільки в круговому  процесі або циклі.

Кожен елементарний процес, що входить до циклу, здійснюється при  введенні або виведенні теплоти , супроводжується утворенням чи витратою роботи, збільшенням або зменшенням внутрішньої енергії, але завжди при виконанні умови і , яке показує, що без введення теплоти () зовнішня робота може відбуватися тільки за рахунок внутрішньої енергії системи, і, введення теплоти до термодинамічній системі визначається термодинамічним процесом. Для здійснення циклу необхідно мати два джерела теплоти: один з високою температурою, інший з низькою. При цьому не вся витрачена кількість теплоти може бути перетворено в роботу, так як певна кількість теплоти передається холодного джерела.

Другому закону термодинаміки можна дати кілька формулювань:

• передача теплоти від холодного джерела до гарячого неможлива без витрати роботи;
• неможливо побудувати періодично діючу машину, яка здійснює роботу і відповідно охолоджуючу тепловий резервуар;
• природа прагне до переходу від менш імовірних станів до більш імовірним.

Слід підкреслити, що другий закон термодинаміки (так само як і перший), сформульований на основі досвіду.

У найбільш загальному вигляді  другий закон термодинаміки може бути сформульовано таким чином: будь-який реальний мимовільний процес є незворотнім. Всі інші формулювання другого закону є окремими випадками найбільш загального формулювання.

В. Томсон (лорд Кельвін) запропонував у 1851 р. наступне формулювання: неможливо за допомогою неживого матеріального агента отримати від будь-якої маси речовини механічну роботу за допомогою охолодження її нижче температури найхолоднішого з навколишніх предметів.

Якщо б не існувало обмежень, накладених другим законом термодинаміки, то це означало б, що можна побудувати тепловий двигун при наявності одного лише джерела теплоти. Такий двигун міг би діяти за рахунок охолодження, наприклад, води в океані. Цей процес міг би тривати до тих пір, поки вся внутрішня енергія океану не була б перетворена в роботу. Теплову машину, яка діяла б у такий спосіб, В. Ф. Оствальд вдало назвав вічним двигуном другого роду (на відміну від вічного двигуна першого роду, що працює всупереч закону збереження енергії). Тобто, побудувати вічний двигун другого роду неможливо.

Слід зауважити, що існування  вічного двигуна другого роду не суперечить першому закону термодинаміки; справді, в цьому двигуні робота провадилася б не з нічого, а  за рахунок внутрішньої енергії, укладеної в тепловому джерелі, так, що з кількісно боку процес отримання  роботи теплоти в даному випадку  не був би нереальним. Проте існування  такого двигуна неможливо з точки  зору якісної сторони процесу  переходу теплоти між тілами.

 

2.3 Нерівність Клазіуса

Переходячи до другого  початку термодинаміки, Клаузіус розглядає  кругові оборотні процеси і вказує, що в простому круговому процесі  типу циклу Карно відбуваються два  види перетворень: перехід теплоти  в роботу і перехід теплоти  більш високої температури в  теплоту більш низької температури. Друге початок «має виражати відношення між цими двома перетвореннями». Обидва ці перетворення - «явища однакової  природи» і в оборотному процесі  можуть заміщати один одного. Клаузіус формулює другий початок як принцип  еквівалентності перетворення наступним чином:

«Якщо ми назвемо еквівалентними два перетворення, які можуть заміщати один одного, не вимагаючи для цього  ніякого іншого тривалого зміни, то виникнення з роботи кількості теплоти Q, що має температуру Т, володіє еквівалентом Q / τ, а перехід кількості теплоти Q від температури T₁, до температури Т₂ має еквівалент Q (1 / τ 2-1 / τ 1),

де τ є деяка функція  температури, незалежна від роду процесу, за допомогою якого відбуваються перетворення ».

Клаузіус показує, що для  оборотного кругового процесу сума еквівалента дорівнює нулю.

Це, за Клаузіусом, є математичним виразом другого початку. «Те, що знаходиться під знаком інтеграла вираз , - пише Клаузіус,-є диференціалом деякої пов'язаної зі станом тіла величини, яка повністю визначена, якщо відомо стан тіла в даний момент, хоча б нічого не було відомо про шлях, яким тіло в розглядається стан прийшов ». Цю функцію Клаузіус ввів у 1865 р. і назвав ентропією (від грецького слова «тропе» - перетворення). Диференціал ентропії

 

Для визначення функції температури  τ Клаузіус розглядає оборотний  процес з ідеальним газом. У цьому  випадку відношення відданої і поглиненої теплоти Q і Q, буде дорівнює відношенню температур:

 

     Знак рівності  в цій формулі відповідає випадку  опису оборотної теплової машини, а знак менше - опису незворотною  теплової машини.

     Цю формулу  можна перетворити на вираз:

 

     Вираз у  свою чергу дає