Волновая и квантовая оптика

На рис.6,б представлена векторная диаграмма, соответствующая  случаю, когда отверстие пропускает половину первой зоны Френеля. Световой эффект в этом случае определяется вектором .

Из рис. 6 видно, что ОВ = ОА / (cos45˚) = OA× . Интенсивность световой волны пропорциональна квадрату ее амплитуды J~A², следовательно, интенсивность света в первом случае (рис. 6, а) J₁~ОA², во втором случае (рис. 6, б) J₂~ОВ².

,  следовательно, интенсивности увеличиваются в два раза.

2) Во второй задаче  отверстие пропускает  первую  зону Френеля. Векторная диаграмма для этого случая представлена на рис. 6, в. Результирующая амплитуда – вектор ОС. Из рис. 6, в видно, что ОС=2 · ОА, следовательно, , то есть интенсивность увеличивается в 4 раза.

3) Векторная диаграмма  для решения третьей задачи  представлена на рис. 6, г. Результирующий вектор амплитуды – вектор ОD. Сравнение рис. 6, б и 6, г показывает, что ОD = ОВ, следовательно, ответ будет такой же, как на первый вопрос задачи.

 

Ответ:   1) увеличивается  в 2 раза;

2) увеличивается в  4 раза;

3) увеличивается в  2 раза.

 

Задача 7.  На диафрагму с диаметром отверстия 1,96 мм рис. 7 падает нормально параллельный пучок монохроматического света (l=600 нм). При каком наибольшем расстоянии между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно?

 

Дано: D = 1,96 мм l = 600 нм	Решение
lmax –?

 

Так как на диафрагму падает параллельный пучок монохроматического света, то фронт этих лучей – плоскость. Диафрагма будет вырезать из плоскости волнового фронта кружок диаметром D, в котором укладывается определенное число (n) зон Френеля. Расстояние АВ = r = l + n^.l/2.

Из треугольника ОАВ

(l + n·l/2)² = (D/2)² + l² ,

l² + l·n·l + n^{2 .} (l ²/4) = D²/4+ l².

Ввиду малости величины l (l << l) величиной l² можно пренебречь, тогда

n = D²/(4 ll).

Последняя формула свидетельствует  о том, что с увеличением расстояния между диафрагмой и экраном число зон Френеля, укладывающихся в отверстии диафрагмы, изменяется. От того, четное или нечетное число зон Френеля укладывается в отверстии диафрагмы, зависит результат дифракции: при четном числе наблюдается минимум, при нечетном – максимум.

Зависимость интенсивности  света в центре дифракционной  картины от расстояния между диафрагмой и экраном представлена на рис. 9.

Из рис. 9 видно, что интенсивность максимумов падает, а интенсивность минимумов растет, приближаясь к интенсивности при полностью открытом фронте (n®¥). При приближении к  диафрагме

последний минимум наблюдается  при числе открытых зон Френеля n=2, это соответствует искомому расстоянию l_max. Подставляя значение n=2 в последнюю формулу, получим

2 = D² /(4 l_max l), откуда   l_max = D² /( 8 l) .

l_max = (1,96)^{2 .} 10^-6 /(8 6 ^. 10^-7) =0,8 (м).

Ответ:  l_max = 0,8 (м).

 

Задача 8.  На дифракционную решетку шириной 1 см падает нормально белый свет. Спектр проектируется линзой на экран, отстоящий от решетки на 3 м. Ширина спектра первого порядка 66 см. Определить: 1) постоянную решетки; 2) общее число главных максимумов, даваемых решеткой; 3) разрешающую способность решетки для максимума наибольшего порядка. Границы видимости спектра l_кр = 780 нм, l_ф = 400 нм.

Дано: L=1 см=10-2 м F=3 см=3.10-2 м lкр=780 нм=7,80.10–7м lф = 400 нм=4.10–7м	Решение  Рис. 10
1) d – ? 2) N – ? 3) R – ?

 

На рис.10 j_ф – угол дифракции, соответствующий углу отклонения от первоначального направления фиолетовых лучей,     j_кр – красных лучей. В точке О (центре дифракционной картины) собираются лучи, прошедшие дифракционную решетку без отклонения (j=0). В этой точке наблюдается центральный дифракционный максимум.

 l_ф – расстояние от центрального максимума до фиолетовой линии первого порядка, l_кр – до красной линии; D l – длина спектра первого порядка. Так как углы дифракции первого порядка малы, можно считать, что

sin j » tg j » j (рад).

Из рисунка видно, что

j_ф » l_ф /F ;   j_кр » l_кр /F ;   D l = l_кр– l_ф = F(j_кр – j_ф).

 

Постоянная решетки d, длина волны l и угол дифракции j связаны между собой соотношением

d×sinj = k×l    (условие главного максимума),

где k – порядок максимума.

По условию задачи k =1,  sinj » j  = l/d.

 

Общее число главных  максимумов, даваемых решеткой, определяется максимальным порядком k_max и равно N_max=2 k_max+1, так как дифракционная картина симметрична: число максимумов справа от центрального, слева от центрального и сам центральный максимум. Максимальный порядок, даваемый решеткой, получим из условия дифракционного максимума, положив sinj = 1, так как угол отклонения лучей решеткой не может превышать 90˚, при этом

         k_max=d/l_min; k_max=1,7^.10^-6/4^.10^–7=4,(25), то есть максимальный порядок равен 4 (всегда округляем в сторону уменьшения, так как максимум следующего порядка не виден).

Общее число главных  дифракционных  максимумов

N_max = 2 ^. 4 + 1 =9.

Разрешающая способность  дифракционной решетки определяется соотношением

R = k ^. N,

где N – общее число штрихов (щелей) решетки, k – порядок дифракционного максимума.

По условию задачи k = k_max = 4. Число щелей найдем из ширины L дифракционной решетки, так как L=N ^. d ,

N=L/d.

R = k_max ^. L/d;

R = (4^. 10–2)/(1,7^.10^–6) = 23529.

Ответ:   d = 17 мкм,    N_max = 9,     R = 23529.

 

Задача 9. Минимальное значение угловой дисперсии некоторой дифракционной решетки D=1,266^.10^–3 рад/нм. Найти угловое расстояние между линиями с l₁=480 нм и l₂=680 нм в спектре первого порядка.

 

Дано: D=1,266.10–3 рад/нм l1=480нм=4,8.10–7 м l2=680нм=6,8.10–7 м k =1	Решение Угловое расстояние между линиями  равно разности углов дифракции, соответствующих этим линиям Dj = j2 – j1.
Dj – ?	Угловая дисперсия  определяется соотношением                   D=k /(d . cos j).

Минимальное значение угловой дисперсии соответствует минимальному значению k=1 и максимальному значению cos j =1,  то есть 

D_min =1/d,

следовательно, можно  определить период решетки 

d=1/ D_min;

d=1/ 1,266 ^.10^-6=7,9 ^.10^-7 (м).

Из условия дифракционного максимума

d sin j₁ = l₁   (k=1 по условию задачи )

d sin j₂ = l₂

sin j₁ = l₁/d =4,8^.10^-7/7,9 ^.10^-7 =0,6;    j₁ » 37˚;

sin j₂ = l₂/d =4,8^.10^-7/7,9 ^.10^-7 =0,6;    j₂ » 59˚;

Dj = 59˚ – 37˚=22˚.

Ответ:    Dj = 22˚.

 

Задача 10. Будут ли разрешены дифракционной решеткой, имеющей 100 штрихов, спектральные линии с длиной волн l₁=598нм и l₂ = 602 нм  в спектре а) первого б) второго порядка?

 

Дано: N=100 l1=598нм=5,98.10-7м l2=602нм=6,02.10-7м k=1, k=2	Решение Разрешающая способность дифракционной  решетки                      R==l/(d×l)=k ×N,                         (1) где d×l – наименьшая разность длин волн  двух спектральных линий, при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре,
R – ?	полученном посредством данной решетки.

Если разность длин волн Dl < dl, две линии сливаются в одну, то есть не разрешаются дифракционной решеткой.

Для порядка k=1  R₁=1^.100=100, для порядка k=2   R₂=2^.100=200.

В формуле (1) Dl =l₂ – l₁=602 – 598 = 4 (нм);

l =(l₂ + l₁)/2 = 600 (нм);

l /Dl = 600(нм)/4(нм)=150,  что больше R₁ и меньше R₂.  

Это означает, что для  первого порядка  Dl < dl  и указанные в условии задачи линии не разрешаются данной дифракционной решеткой.

Для второго порядка Dl > dl  и линии видны раздельно.

Ответ: а) не разрешены;   б) разрешены.

 

 

3. Поляризация  света

Основные формулы:

 

Закон Брюстера          tg a_о = n₂₁,

где a_о – угол падения, при котором отраженные световые волны полностью поляризованы; n₂₁ – относительный показатель преломления.

Закон Малюса                   J = J_o cos² a ,

где J – интенсивность света, прошедшего систему поляризатор–анализатор; J_o–интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; a – угол между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора.

Степень поляризации  света

,

где J_max и J_min – максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором.

Угол поворота плоскости поляризации  оптически активными веществами равен:

а) в твердых телах j = a× d,

где a – постоянная вращения, d – толщина слоя оптически активного вещества;

б) чистых жидкостях j = [a]×r d,

где  [a] – удельное вращение, r – плотность жидкости;

в) в растворах j  = [a]×с d,

где с – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

 

 

 

Примеры решения задач 

 

Задача 11.  Угол преломления луча в жидкости 35˚. Определить показатель преломления жидкости, если известно, что  отраженные лучи максимально поляризованы.

 

Дано: b = 35˚	Решение По закону преломления  .
n – ?	По условию задачи отраженные лучи полностью поляризованы, следовательно, применим закон Брюстера

Сравнивая с предыдущей формулой, видим, что 

Ответ: n=1,43.

 

Задача 12. Естественный свет падает на систему из трех последовательно расположенных одинаковых поляроидов, причем плоскость пропускания среднего поляроида составляет угол 60˚ с плоскостью пропускания двух других поляроидов. Каждый поляроид обладает таким поглощением, что при падении на него линейно поляризованного света максимальный коэффициент пропускания составляет 0,81. Во сколько раз уменьшится интенсивность света после прохождения этой системы?

 

Дано: a = 60˚ t = 0,81	Решение При падении естественного  света на идеальный поляроид через него проходит свет, интенсивность которого Jp = ½· Jест.
Jест/J – ?	Но этот поляроид пропускает только долю, равную t от

этой интенсивности, то есть  J_p = t×½·J_ест. По закону Малюса интенсивность света, прошедшего второй поляроид

J₁ = J_p cos² a = (t /2)×cos² a.

Но второй поляроид тоже не идеальный и пропускает часть, равную t от J₁:

J₁= (t²/2) J_ест ×cos² a.

Свет интенсивности J₁ падает на третий поляризатор, который тоже пропускает часть t от интенсивности идеального поляризатора

J₂ = t J₁×cos² a = J_ест ×(t³ / 2) ×cos⁴ a.

Отклонение интенсивности J_ест, входящей в систему, к интенсивности J₂, выходящей из системы, равно

Ответ: в 60 раз.

 

Задача 13. На пути частично поляризованного света поместили поляризатор. При повороте поляризатора на угол a=60˚ из положения, соответствующего максимуму пропускания, интенсивность прошедшего света уменьшилась в h=3,0 раза. Найти степень поляризации падающего света.

 

Дано: a=60˚ h=3	Решение Максимум пропускания  соответствует случаю, когда плоскость, в которой преимущественно колеблется вектор частично поляризованной волны, параллельна плоскости     пропускания     поляризатора.      Поляризатор
Р – ?	полностью пропускает поляризованный свет и половину интенсивности естественного света

J₁= J_n + ½·J_е .

При повороте поляризатора из этого положения на 60˚, интенсивность пропущенного поляризованного света определится по закону Малюса, а интенсивность пропущенного естественного света будет равна, как и в первом случае, ½·J_е, то есть

J₂= J_n ×cos² a + ½·J_е .

По условию задачи J₁ / J₂ =h     или    J₁ = h J₂ .

J_n + ½·J_е = 3 × ( J_n ×cos² a + ½·J_е ) ;

J_n + ½·J_е = 3 J_n ×cos² 60° + 3/2·J_е ;

¼·J_n = J_е  , Þ   J_n = 4J_е .

Степень поляризации  частично поляризованного света  определяется формулой

Максимальная интенсивность

J_max = J₁ = J_n + ½· J_е =4 J_е + ½· J_е = 4,5 J_е .