Волновая и квантовая оптика

Минимальная интенсивность  соответствует случаю, когда поляризатор не пропустит поляризованный свет; через него пройдет только половина поляризованного света J_min = 0,5 J_е .

Ответ: P=0,8.

 

Задача 14.  Плоско поляризованный монохроматический свет падает на идеальный поляризатор и полностью гасится им. Когда на пути пучка поместили кварцевую пластинку, интенсивность света стала равна половине интенсивности света, падающего на поляризатор. Определить толщину кварцевой пластинки, если постоянная вращения кварца 48,9˚град/мм.

 

Дано: J2= 1/2 J1 a=48,9 град/мм	Решение Так как поляризованный свет гасится поляризатором, то это означает, что его плоскость пропускания перпендикулярна плоскости колебаний поляризованного света
d – ?	(g = p / 2).

 Кварц – это  оптически активное вещество, и  при введении кварцевой пластинки  происходит поворот плоскости  колебаний на угол j = a × d, где d – толщина пластинки.

Это приводит к тому, что  угол между плоскостью пропускания  и новой плоскостью колебаний падающего на поляризатор поляризованного света станет равным b = p/2 – j .

По закону Малюса  J₂ = J₁ ×cos² ( p/2 – j ) = ½· J₁ ;

sin² j = 1/2 ;     sin² j =

;     j = 45° .

d = j / a = 45/48,9 = 0,92 (мм) .

Ответ: d = 0,92 (мм).

 

 

4.   Тепловое  излучение

Основные формулы:

 

Закон Стефана-Больцмана

R_э = s T₄ ,

где R_э – энергетическая светимость черного тела (энергия, излучаемая с единицы поверхности тела, в единицу времени, во всем спектральном интервале излучения); T – абсолютная температура тела; s – постоянная Стефана-Больцмана ( s = 5,67^.10^–8 Вт/(м^{2 .} К⁴) ).

Закон смещения Вина               l_max = b΄/ T΄ ,

где l_max – длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности тела; b΄ – постоянная Вина       (b΄ = 2,9·10^-3 м·К ).

Второй закон Вина      ( r_{l, T}) _max = b΄΄× T⁵ ,

где (r_{l, T})_max – максимальная излучательная способность (максимальная спектральная плотность энергетической светимости); b΄΄– вторая постоянная Вина (b΄΄=1,3 ^. 10^–5 Вт/ (м^{3 .} К⁵)).

Излучательная способность тела – это энергия, излучаемая нагретым телом в единицу времени, с единицы поверхности нагретого тела в узком спектральном  интервале от l до (l + Dl ).

Связь между энергетической светимостью и излучательной  способностью тела      .

Закон Кирхгофа                   

где – излучательная способность тела; – излучательная способность абсолютно черного  тела; – поглощательная способность тела.

 Поглощательная  способность тела – отношение энергии, поглощенной телом к энергии, падающей на тело, причем и та, и другая энергии берутся в единицу времени и приходятся на единицу поверхности нагретого тела.

Энергетическая  светимость серого тела

R_э = а_T × s × T4,

где а_T – поглощательная способность серого тела.

Примеры решения задач 

 

Задача 15. Исследование спектра излучения Солнца показало, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны 0,5 мкм. Определить энергетическую освещенность поверхности Земли, принимая Солнце за абсолютно черное тело.

 

Дано: lmax = 0,5 мкм = 5 × 10–7 м rc = 6,96 × 108 м r = 1,5 × 1011 м s = 5,67×10–8 Вт/(м2×К4)	Решение Энергетическая освещенность поверхности Земли равна потоку солнечной энергии, падающей на единицу поверхности Земли. Будем считать Солнце сферой, площадь поверхности  которой
Еэ – ?	S = 4 p rc2 .

Поток энергии, излучаемой Солнцем,

Ф_с = R_э × 4 p R² ,

где R_э = s ^.T⁴_c, так как, по условию задачи, Солнце – абсолютно черное тело.

Ф_с = s ^.T⁴_c × 4 p R² .

Температуру поверхности  Солнца Т_с определим из закона Вина

Т_с = b΄/ l_max .

Поток солнечной энергии распространяется от Солнца по всем направлениям в пределах 4p радиан (в дальнейшем будем считать Солнце точечным источником). На единицу любой поверхности находящейся на расстоянии r от Солнца, приходится энергия, равная Ф_с / (4p^. r²) .

 

Задача 16.  Внутри солнечной системы на том же расстоянии от Солнца, как и Земля, находится частица сферической формы. Полагая Солнце абсолютно черным телом с температурой Т_с = 6000 К и что температура частицы во всех ее точках одинакова, определить ее температуру, считая частицу серым телом.

 

Дано: r = 1,5.1011 м Тс = 6000 К Rс = 6,96.108 м l  = 500 нм	Решение Частица – серое тело, следовательно, ее поглощательная способность одинакова для всех длин волн  и  при данной температуре частиц        аl,Т = аT . Так как температура  частицы постоянна во всех ее точках, соблюдается условие равновесия:
Тr – ?	мощность излучения, поглощаемого частицей, равна

мощности излучения, испускаемой ею

N_погл = N_изл.

Определим N_погл, исходя из объяснения решения предыдущей задачи. Мощность солнечного излучения, падающего на единицу поверхности частицы, равна

Если учесть, что к  Солнцу обращена половина поверхности  частицы, то на поверхность частицы  падает мощность солнечного излучения, равная

,

где R_c – радиус частицы.

Частица – это серое тело, поэтому  она поглощает не всю энергию, а только часть ее.

.

Определим энергию, излучаемую частицей

.

Приравнивая правые части последних  соотношений, получим

 

 

Задача 17. Определить, за какое время зачерненный металлический шар диаметром D остынет с температуры T₁ до температуры T₂. Теплоемкость шара С. Остывание идет только за счет теплового излучения.

 

Решение

Теплоемкость твердого тела определяется формулой

,

где dU – это изменение внутренней энергии, так как при нагревании происходит незначительное изменение объема тела.

Вследствие теплового излучения происходит убыль внутренней энергии шара, равная         d U = – C d T .

С другой стороны, энергия, излучаемая нагретым шаром за время dt, равна                dE = s T⁴ × 4p R² ×d t .

Приравнивая правые части последних  соотношений, получим

– C d T = s T⁴ × 4p R² ×d t.

Проводим разделение переменных и решаем полученные интегралы

 

 

5.   Фотоэффект

Основные формулы:

Формула Эйнштейна      hn = A + (m×u²_max)/2,

где e = hn – энергия фотона, падающего на поверхность металла;       А – работа выхода электрона из металла; (m×u²_max )/2 – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Красная граница фотоэффекта      n_о = А / h      или      l_о = сh / A ,

где n_о – минимальная частота (l_о – максимальная длина волны), при которой еще возможен фотоэффект.

Условие наблюдения фотоэффекта       hn ³ A .

Примеры решения задач 

 

Задача 18. Фотон с энергией 10 эВ падает на серебряную пластину и вызывает фотоэффект. Определить импульс, полученный пластиной, если принять, что направления движения фотона и фотоэлектрона лежат на одной прямой, перпендикулярной поверхности пластин.

 

Дано: e=10эВ =16×10–19 Дж m=9,1×10–31 кг А = 7,5×10–19 Дж h = 6,62×10–34 Дж×c c = 3×108 м/с	Решение Если предположить, что  электрон вылетает навстречу падающему фотону, то по закону сохранения импульса                           (hn)/c = – mu + r ,
r – ?	где  (hn)/c – импульс фотона,  mu – импульс

электрона, r – импульс, полученный пластиной.

Импульс электрона найдем из уравнения  Эйнштейна

hn = A_в + ( m×u²_max )/2 ,

откуда                    .

Импульс, полученный пластинкой

 

 

Задача 19.  Электроны, вылетевшие из некоторого металла при облучении его светом с длиной волны 600 нм, задерживаются напряжением U = 0,69 В. При уменьшении длины волны падающего света в два раза, скорость фотоэлектронов увеличивается в два раза. Определить из этих данных постоянную Планка.

Дано: l1 = 600 нм = 6×10–7м l2 = 300 нм = 3×10–7м U = 0,69 В е = 1,6×10–19 К с = 3×108 м/с u2 = 2u1	Решение Записываем уравнение Эйнштейна  для двух случаев облучения металла                   h ×с/l1 = A + ( m×u2 )/2 ,               h ×с/l2 = A + ( m×(2u)2 )/2 . Так как металл неизвестен, исключаем  из
h— ?	этой системы работу выхода А электрона из металла.

Скорость u электрона определим из условия, что при облучении металла светом с длиной волны l, фотоэлектроны задерживаются напряжением U, то есть

(m u²) /2 = e U, откуда  u² = (2еU)/m .

 

 

6.   Давление  света

Основные формулы:

 

Давление, производимое светом при нормальном падении

где J – интенсивность света (энергия, переносимая волной через единичную поперечную площадку в единицу времени);                        r – коэффициент отражения; с – скорость света в вакууме.

Для абсолютно черной поверхности r = 0.

Для абсолютно белой  поверхности r = 1.

где N – число фотонов, падающих на поверхность площадью S за единицу времени; n – частота света.

Примеры решения задач 

 

Задача 20. Спутник в форме шара движется вокруг Земли на такой высоте, что поглощением солнечного света в атмосфере можно пренебречь. Диаметр спутника 10 м. Считая, что поверхность спутника полностью отражает свет, определить силу давления солнечного света на спутник.

 

Дано: d = 10 м; r = 1	Решение  Сила давления на поверхность  спутника
F – ?	F = P . S/2,

где P – давление солнечного света на поверхность спутника,               S – площадь поверхности спутника, причем мы учли, что спутник повернут к солнцу только половиной поверхности.

Так как поверхность  спутника полностью отражает свет, то r = 1 и давление света       P = (J/c) ^.2, 

откуда сила давления       F= (J ^. S)/c .

Для расчета интенсивности  солнечного света J воспользуемся результатом решения задачи № 15 из раздела «Тепловое излучение»: J = E_э = 1380 Вт/м².

Ответ:  F = .

 

Задача 21. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны l=0,663 мкм падает  на  зачерненную поверхность и производит на нее давление P = 0,3 мкПа. Определить  концентрацию фотонов в световом пучке.

 

Дано: l = 0,663 мкм = 6,63 .10–7 м P = 0,3 мкПа = 3 .10–7 Па r = 0	Решение Давление света на зачеркнутую поверхность (r=0) равно P=J/c . По определению интенсивность излучения равна
n – ?

где N – общее число фотонов в пучке, t – время, S – площадь поверхности.

Если принять, что свет распространяется в виде цилиндрического  пучка, то c·t·S – объем светового пучка, а N/V – концентрация фотонов, тогда

Ответ: n=10¹².  

 

 

Список литературы

 

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн.4. – М.: Наука, 1999.
2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1998.
3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1998.
4. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – СПб.: СпецЛит, 2001.
5. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Интеграл–пресс,1997.