Вынужденные колебания нелинейного осциллятора

Введение

При резонансе происходит резкое возрастание  амплитуды вынужденных колебаний  осциллятора. Едва ли не важнейшей радиофизической  системой является осциллятор; поэтому  свободные колебания осциллятора  со случайными начальными условиями,  вынужденные колебания осциллятора, находящегося под воздействием случайной  силы, относятся к числу основных эталонных процессов, изучаемых  в статистической радиофизике.

Математическое описания движения нелинейных осцилляторов, подвергающихся внешним возмущениям,- задача достаточно трудная, и в настоящее время  она решена только для немногих частных  случаев. Трудность ее обусловлена  главным образом тем, что для  нелинейных систем неприменим принцип  суперпозиций, и поэтому получение  полного решения сложением отдельных  решений, столь удобное для линейных осцилляторов, теперь уже недопустимо. Это означает также, что результирующее движение не получается простым суммированием  собственных колебаний(общего решения  однородного уравнения) и вынужденных  колебаний(частного решения неоднородного  уравнения).

Использование переходных функций  в нелинейных системах также теряет смысл, так как их больше нельзя рассматривать  как элементы, из которых строятся более общие решения. Кроме того, теперь переходная функция не может быть определена в таком общем виде, как это имело место в линейных системах.

К приближенному описанию движения нелинейных систем можно приступить, располагая уже применявшимися ранее  способами. В нелинейных системах могут  проявляться  многочисленные новые  нелинейные эффекты, важные с технической  точки зрения. Среди многого другого  сюда относятся: возникновение неустойчивости форм движения, скачки амплитуды и  фазы, высокочастотные колебания, субгармоническое возмущение, комбинационные частоты, явление  затягивания.

 

Постановка задачи и возможности ее решения

Записываем уравнение с зависящим  от времени возмущающим членом в  правой части:

                                                                                                                               (1)              

Исследование решения этого  уравнения на фазовой плоскости, целесообразное, например, в случае автоколебаний, теперь хотя и возможно, но менее эффективно и более трудоемко,  так как время входит в явном  виде и возмущающий член.

Энергетический подход к решению  здесь также несколько утратил  свое значение. Однако он может оказаться  полезным при отыскании приближенных решений, и поэтому его следует  напомнить: представив функцию в виде:

                                                            (2)

Тогда умножив уравнение (1) на и почленно проинтегрировав по времени, можно получить энергетическое соотношение:

                                                                  (3)

Или

                                        (4)

Кроме кинетической и потенциальной  энергии, а также энергетической постоянной , в это соотношение входят поглощаемая демпфированием энергия и подводимая возмущением энергия . Так как последняя зависит и от времени, описание колебательного процесса нельзя получить только из (3). Однако можно высказать некоторые соображения и о чисто периодических решениях. А именно, если проинтегрировать уравнение энергии за один полный период, то первые два слагаемые  в (3) и постоянная исчезнут, так что останется соотношение:

                                                                        (5)

т.е. математическое выражение равенства  между подводимой и поглощаемой  энергией. Если известна форма колебаний, то это выражение можно применить  для определения амплитуды. Но форма  колебаний, т.е. закон изменения амплитуды  по времени  , должна быть найдена из решения уравнения движения. Тем не менее уравнение энергетического баланса (5) позволяет сделать ценные выводы, поскольку для здесь можно принять приемлемое выражение, например гармоническое колебание.

 

Вынужденные колебания  нелинейного осциллятора

Предположим, что мы изучили в  подробностях некоторую автономную колебательную систему, такую как  линейный или нелинейный осциллятор, генератор Ван-дер-Поля, или какую-нибудь другую. На нее можно смотреть теперь как на отдельный элемент - строительный блок, или «кирпичик», для построения составных объектов, которые будут служить моделями более сложных колебательных систем. Например, мы можем обратиться к задачам о воздействии одной колебательной системы на другую, к рассмотрению динамики связанных систем, к анализу моделей пространственно-протяженных сред, построенных из большого числа связанных элементарных блоков, и так далее. Это одна из глубоких общих идей в теории колебаний. Некоторые аспекты такого подхода обсуждаются в других курсах данного цикла - по теории волн, образованию структур, самоорганизации, динамическому хаосу. Рассмотрим особенности поведения простых нелинейных систем в присутствии периодического внешнего воздействия.

 

 

 

О моделях неавтономных систем, фазовом пространстве и стробоскопическом отображении

Рассмотрим пример механического  осциллятора - шарика на пружине, на который  действует внешняя сила, изменяющаяся во времени по синусоидальному закону. Дифференциальное уравнение, вытекающее из второго закона Ньютона, можно записать в виде

                                                                                                                              (1)

где m — масса шарика, функция f (x) характеризует пружину и определяет зависимость возвращающей силы от смещения, F и задают, соответственно, амплитуду и частоту внешней силы, воздействующей на осциллятор. Другой вариант - параметрическое воздействие, когда внешняя сила заставляет изменяться периодически какой-либо параметр колебательной системы, например, длину нити маятника или величину ускорения силы тяжести (маятник с колеблющимся в вертикальном направлении подвесом). Дифференциальное уравнение, описывающее динамику такого маятника при соответствующем задании закона изменения параметра во времени, будет иметь вид:

                                 (2)

Рис.1. Возбуждаемые внешним воздействием механические (а, б, в) и электрические (г, д, е) осцилляторы: «силовое» (а, б, г) и параметрическое (в, д, е)

Аналогичные два способа внешнего воздействия можно реализовать  и в осцилляторах другой физической природы, например, электрических. Если в колебательный контур включить источник переменного напряжения, реализуется способ возбуждения аналогичный силовому возбуждению механической системы (1). Если же периодически менять емкость конденсатора (сдвигая и раздвигая пластины) или индуктивность (вдвигая и выдвигая сердечник), то это отвечает параметрическому возбуждению.

На практике параметрическое возбуждение  осцилляторов в электро- и радиотехнике предпочтительнее реализовать без привлечения механически движущихся элементов. Например, можно поместить в конденсатор в качестве диэлектрика нелинейную среду и подать дополнительное переменное напряжение на пластины. Этим будет обеспечено периодическое изменение емкости. Другая возможность состоит в том, чтобы использовать в катушке индуктивности сердечник с нелинейным намагничиванием и подать переменный ток в дополнительную обмотку. В этом случае будет периодически изменяться индуктивность.

Если в отсутствие зависящего от времени воздействия мы имеем  автономную колебательную систему  с двумерным фазовым пространством, то при добавлении периодического внешнего воздействия динамика такой системы в общем случае будет описываться системой двух дифференциальных уравнений первого порядка

                                                                (3)

где x и y - динамические переменные. Функции f и g считаются зависящими от времени t по периодическому закону. При надлежащем выборе функций f и g такая модель позволяет рассматривать различные осцилляторы, в том числе автоколебательные модели типа уравнения Ван-дер-Поля, Рэлея, генератора с жестким возбуждением с внешним периодическим воздействием. Заметим, что при столь общей постановке задачи проведение различия между силовым и параметрическим воздействием может терять смысл.

Уравнения (3) описывают неавтономную систему. Этот термин означает, что в дифференциальных уравнениях присутствуют члены, явным образом зависящие от времени. Имея дело с такими системами, мы должны вполне определенным образом трактовать понятия фазового пространства и состояния колебательной системы. Для однозначного предсказания последующей динамики системы недостаточно просто задать значения переменных x и y, нужно еще указать к какому моменту времени в пределах периода внешнего воздействия они относятся. Поэтому состояние колебательной системы (3) определяется набором трех величин, (x, y, t). Множество всевозможных состояний есть фазовое пространство системы, и это пространство в данном случае трехмерное.

К такому же выводу можно прийти сугубо формальным путем. Представим систему  уравнений (3) как автономную с помощью искусственного приема. Для этого введем дополнительную динамическую переменную z, удовлетворяющую уравнению z = 1, и запишем .

                 (4)

Полученная система трех уравнений  первого порядка автономная, и  она формально эквивалентна (3). Ее фазовое пространство (x, y, z) трехмерное. Динамика третьей переменной z состоит в том, что она линейно нарастает во времени, так что ее можно просто отождествить с t.

В силу периодичности функций f и g по третьему аргументу, трехмерное фазовое пространство обладает структурой, периодически повторяющейся вдоль третьей координатной оси (времени). Поэтому можно ограничиться рассмотрением части пространства между плоскостями t=0 и t=T, где T - период. Верхнюю и нижнюю границы можно отождествить. Считается, что при пересечении верхней границы фазовая траектория мгновенно «перепрыгивает» на нижнюю, в точку с теми же координатами (x,y).

                             

             Рис.2. Трехмерное фазовое пространство  неавтономного осциллятора.

Полезный подход к анализу динамики неавтономных осцилляторов состоит  в использовании так называемого стробоскопического отображения. Представьте себе, что динамика изображающей точки в фазовом пространстве системы большую часть времени протекает в темноте и недоступна для наблюдения. Однако один раз за период внешнего воздействия T на короткий миг вспыхивает яркий свет, так что мы можем отслеживать дискретную последовательность состояний, отвечающую моментам вспышек.

                  

                Рис.3. Построение стробоскопического отображения.

Формально процедура состоит в  следующем. Выделим в трехмерном фазовом пространстве (x, y, t) плоскость (рис.3). В качестве координат на этой плоскости можно использовать естественные динамические переменные нашей системы, x и y. Возьмем фазовую траекторию, стартующую из некоторой точки (x, y) на данной плоскости и отследим ее до момента времени . Пусть в этот момент значения динамических переменных составят x' и y'. Они, очевидно, зависят от выбора начальных x и y.

                                       (5)

В силу периодичности фазового пространства по переменной t, мы можем отнести новую точку к исходному моменту времени t=t₀ и тем самым свести анализ дальнейшей динамики к повторению той же самой процедуры, с теми же функциями и . Таким образом, описание динамики сводится к последовательным итерациям двумерного отображения (5).

Найти явный вид стробоскопического отображения для конкретных нелинейных систем удается лишь в тех случаях, когда дифференциальные уравнения  допускают аналитическое решение. Гораздо чаще приходится реализовать  его как численный алгоритм. Тем не менее, стробоскопическое отображение оказывается очень продуктивным при теоретическом анализе, а также для наглядного представления компьютерных результатов в случае сложной динамики рассматриваемых систем.

Стробоскопическое отображение представляет собой частный случай более общей конструкции - отображения Пуанкаре, являющегося одним из основных рабочих инструментов в современной нелинейной динамике. Тот факт, что от описания в терминах дифференциальных уравнений можно перейти к описанию в терминах рекуррентных отображений, имеет большое методологическое значение. Отсюда следует, что оба класса динамических систем - с непрерывным и дискретным временем принципиально должны рассматриваться в едином контексте, в рамках общей системы представлений.

 

Нелинейный резонанс

Как известно, для линейного осциллятора  характерен эффект резонанса. Когда частота воздействия близка к собственной частоте осциллятора, амплитуда колебаний оказывается большой. Действительно, решение уравнения для вынужденных колебаний линейного осциллятора:

                                           (1)

можно искать в виде . Подстановка этого выражения в уравнение приводит к соотношению:

                                 (2)