Вынужденные колебания нелинейного осциллятора

откуда следует, что при приближении  частоты воздействия  к собственной частоте амплитуда колебаний стремится к бесконечности (если учитывать диссипацию, она оказывается ограниченной).

В случае нелинейного осциллятора  частота свободных колебаний  обычно зависит от амплитуды (неизохронность). Например, для кубического осциллятора:

                                 (3)

колебания малой амплитуды, которые  еще можно приближенно считать  гармоническими, , происходят на частоте, сдвинутой на величину .

В грубом приближении для описания вынужденных колебаний нелинейного  осциллятора мы можем попытаться использовать то же самое соотношение (2), но вместо подставить модифицированную частоту свободных колебаний .

В результате получается неявное соотношение, связывающее амплитуду вынужденных колебаний А с частотой и амплитудой f внешнего воздействия:

                      (4)

Рис.4. Резонансные кривые - зависимость амплитуды вынужденных  колебаний от частоты воздействия в линейном осцилляторе (а) и в нелинейном осцилляторе с кубической нелинейностью при <0 (б) и >0 (в) в отсутствие диссипации.

На рис.4 показаны графики зависимости  амплитуды вынужденных колебаний  от частоты для линейного (а) и  нелинейного (б, в) осциллятора. Обратим  внимание на разное расположение резонансной кривой осциллятора с кубической нелинейностью при положительном и отрицательном значении параметра нелинейности . Если частота свободных колебаний возрастает с ростом амплитуды (при > 0), то верхняя часть графика резонансной кривой наклонена вправо, если же убывает (при < 0 ), то влево.

Следует отметить, что в отличие  от линейного случая амплитуда вынужденных  колебаний остается конечной даже при точном совпадении и . Причина, очевидно, заключается в неизохронности собственных колебаний нелинейного осциллятора: с ростом амплитуды увеличивается нелинейный сдвиг частоты и резонансные условия нарушаются. Вследствие этого нарастание амплитуды ограничивается.

Совокупность явлений, которые  наблюдаются в нелинейном осцилляторе  при внешнем периодическом воздействии  и проявляются в изменении  качественной природы и количественных характеристик вынужденных колебаний в зависимости от амплитуды и частоты воздействия, обозначают термином нелинейный резонанс. Важно подчеркнуть, что зависимость амплитуды от частоты, как видно из рис.4, может быть неоднозначной. Это очень существенный и характерный для нелинейного резонанса момент.

Литература: