Активные RC-фильтры

ГЛАВА 2. АКТИВНЫЕ RC-ФИЛЬТРЫ

В активных фильтрах, или фильтрах с обратными связями, используется параллельное соединение и другие виды соединений четырехполюсников. Четырехполюсник, по которому сигнал проходит с входа на выход, является неселективной цепью с коэффициентом передачи, не зависящим от частоты. В качестве такого четырехполюсника часто используют операционный усилитель. Четырехполюсник обратной связи обычно содержит селективную цепь.

2.1 Операционный усилитель

 

Операционный усилитель по принципу действия сходен с обычным усилителем [1, 5]. Как и обычный усилитель, он предназначен для усиления напряжения или мощности входного сигнала. Однако в то время как свойства и параметры обычного усилителя полностью определены его схемой, свойства и параметры операционного усилителя определяются преимущественно параметрами цепи обратной связи. Операционные усилители выполняют по схеме усилителей постоянного тока с нулевыми значениями входного напряжения смещения нуля и выходного напряжения. Они характеризуются также большим коэффициентом усиления,  высоким  входным и низким выходным сопротивлениями. Благодаря практически идеальным характеристикам операционных усилителей реализация различных схем на их основе оказывается значительно проще, чем на отдельных транзисторах.

На рис. 2.1 дано схемное обозначение операционного усилителя. Входной каскад его выполняется в виде дифференциального усилителя, так что операционный усилитель имеет два входа.

 

 

 

 

 

 

 

 

                         Рис. 2.1. Схемное обозначение операционного усилителя.

 

В области низких частот выходное напряжение U_a находится в той же фазе, что и разность входных напряжений Р-вход называется неинвертирующим и на схеме операционного усилителя обозначается знаком «плюс». N-вход является инвертирующим и обозначается на схеме знаком «минус».

Чтобы обеспечить возможность работы операционного  усилителя как с положительными, так и с отрицательными входными сигналами, используется двухполярное питающее напряжение U_П.

Дифференциальный  коэффициент усиления операционного  усилителя K=DU_a /DU_D имеет конечную величину, которая лежит в пределах от 10⁴ до 10⁵. Он называется также собственным коэффициентом усиления операционного усилителя, т. е. усиления при отсутствии обратной связи.

Передаточная характеристика идеального операционного усилителя должна проходить через нулевую точку. Для того чтобы сделать выходное напряжение равным нулю, необходимо подать на вход операционною усилителя некоторую разность напряжений. Эта разность напряжений называется напряжением смещения нуля U₀. Оно составляет обычно несколько милливольт и во многих случаях может не приниматься во внимание. Когда же этой величиной пренебречь нельзя, она может быть сведена к нулю. Для этого  во многих интегральных схемах предусмотрены специальные клеммы [1].

В дальнейшем будет предполагаться, что напряжение смещения нуля скомпенсировано и равно нулю. Тогда: U_a=KU_D=K(U_P-U_N). Таким образом, в пределах динамического диапазона выходное напряжение операционного усилителя пропорционально разности входных напряжений.

Если ввести последовательную обратную связь по напряжению, то коэффициент усиления такого усилителя имеет вид:

где K - коэффициент усиления усилительного каскада при отсутствии обратной связи, K_ф - коэффициент передачи четырехполюсника обратной связи.

При KK_Ф>>1 коэффициент усиления охваченного обратной связью усилителя К_А »1/K_Ф. Из этого соотношения следует, что коэффициент усиления усилителя с обратной связью определяется только обратной связью и не зависит от параметров самого усилителя.

Если в качестве цепи обратной связи  использовать простейший делитель напряжения и производить операцию вычитания  напряжений с помощью дифференциальных входов операционного усилителя, то получится изображенная на рис.2.2 базовая схема охваченного обратной связью неинвертирующего усилителя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если учесть, что для  этой схемы U_обр=U_N=I×R₁  и U_вых=I×(R₁+R_N), то коэффициент усиления усилителя с такой обратной связью K_A » 1/K_Ф=1+R_N  /R₁.

Еще один способ включения  обратной связи изображен на рис.2.3.  Действие  обратной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

связи заключается в  том, что операционный усилитель  обеспечивает такую величину выходного напряжения, что напряжение на его входе U_N » 0. Тогда U_вых=I₂R_N, а U_обр=I₁R_1. Если записать для узла на N-входе первый закон Кирхгофа при условии, что идеального операционного усилителя входной ток равен нулю: I₁+I₂=0, то коэффициент усиления       

K_A » - R_N / R₁ . Это схема инвертирующего усилителя.

2.2 Активные  RC -фильтры нижних и верхних частот

 

2.2.1 Реализация фильтров первого порядка

Передаточная функция фильтра нижних частот первого порядка в общем случае имеет вид:

                                                        K(p)=K₀ / (1+a₁p).                                                           (2.1)

Фильтр с такой передаточной функцией может быть реализован, если в цепи обратной связи операционного усилителя использовать пассивный RC-фильтр первого порядка (рис.1.5). Для этого звена можно записать:

K_ф (p) = 1/(1 + w_cRCp).

Положим, что коэффициент  передачи постоянного сигнала K₀ равен 1. Параметр a₁ может быть выбран произвольно. Из сопоставления коэффициентов приведенных выражений получим: RC=a₁/w_c.

Для всех типов фильтров ( Баттерворта, Чебышева, Бесселя) первого порядка  значение коэффициента a₁ равно 1. При реализации фильтров более высокого порядка путем цепочечного соединения отдельных фильтров первого порядка (звеньев)  встречаются звенья, для которых a₁ ¹ 1 . Это значит, что эти звенья фильтра имеют частоту среза, отличную oт частоты среза самого фильтра: f_c1=f_c /a₁.

Активный  фильтр нижних частот 1-го порядка c RC-цепью обратной связи показан на рис.2.4. Получим передаточную функцию этого фильтра. Обозначим Z₁=R₁ и эквивалентное сопротивление  R₂C₁- цепи Z₂=R₂/ (1+jwC₁R₂). Сопротивления Z₁ и  Z₂ - это элементы цепи параллельной отрицательной обратной связи по напряжению. Будем считать, что ток утечки между точкой N  и землей отсутствует, а входное сопротивление усилителя бесконечно велико. Тогда ток входного сигнала будет протекать только через элементы цепи обратной связи Z₁ и Z₂ , т. е.  Если учесть, что то передаточная функция такого фильтра будет иметь вид:    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если собственный коэффициент  усиления  велик K>>1, то потенциал точки N близок к нулю,  и передаточная функция фильтра будет определяться только значениями элементов Z₁ и Z₂ цепи обратной связи:

где K₀ = - R₂ /R₁ ,   a₁=w_сR₂C₁.

Для расчета схемы необходимо задать частоту среза w_с, коэффициент передачи постоянного сигнала K₀ = - R₂ /R₁ (для этой схемы он должен быть задан со знаком минус) и емкость конденсатора С₁ . Приравняв коэффициенты полученной передаточной функции коэффициентам выражения (2.1), получим: R₂=a₁/w_cC₁ ,  R₁= - R₂ /K₀ .

Чтобы получить передаточную функцию фильтра верхних частот первого порядка, необходимо в выражении (2.1) величину p заменить на 1/p. Тогда 

На рис.2.5 показана схема активного фильтра верхних частот 1-го порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

Его передаточная функция может быть получена из формулы: K_A(p)= - Z₂/Z₁ и имеет вид:

 

Тогда из сравнения с выражением (2.2) получим K_∞= - R₂/R₁  ,  a₁=1/ ω_с R₁С₁. Как видно, частота среза определяется параметрами R₁  и C₁.

 

2.2.2 Реализация фильтров второго порядка

 

На основании выражения (1.3) запишем передаточную функцию фильтра нижних частот второго порядка в общем виде:

                                                       

                                                    (2.3)

Если передаточные функции второго и более высокого порядка характеризуются наличием комплексно-сопряженных корней полинома, стоящего в знаменателе, то они не могут быть реализованы с помощью пассивных RC-цепей. Один из способов реализации подобных фильтров состоит в применении активных фильтров. Схема активного RC-фильтра нижних частот второго порядка с отрицательной обратной связью изображена на рис. 2.6.

 При тех  же предположениях, что входное  сопротивление и собственный коэффициент усиления усилителя бесконечно велики, запишем на основании законов Кирхгофа следующие соотношения:

               

Из этих соотношений выразим  U_вх через I₁:     

С учетом того, что  получим выражение для передаточной функции

Приравняв коэффициенты этой передаточной функции коэффициентам выражения (2.3), получим:

K₀= - R₂ /R₁     a₁=w_сС₁(R₂+R₃+R₂R₃/R₁)   b₁=w_с²С₁С₂R₂R₃.

Как видно, расчетные формулы справедливы  для произвольных положительных  значений a₁ и b₁. Таким образом, задавая эти значения для конкретных типов фильтров (Баттерворта, Чебышева, Гаусса), можно реализовать эти фильтры по одной схеме. Коэффициент передачи постоянного сигнала K₀ фильтра оказывается отрицательным, поэтому прошедший через фильтр низкочастотный сигнал будет инвертирован. Для расчета фильтра можно, например, задать значения сопротивлений R₁ и R₃ и по приведенным формулам вычислить значения R₂, C₁ и С₂.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако чтобы реальная схема фильтра имела желаемую амплитудно-частотную характеристику, входящие в нее элементы могут быть подобраны, исходя из следующих соображений. При подборе сопротивлений никаких проблем не возникает, поскольку их стандартные номиналы задаются с однопроцентным допуском. Что касается конденсаторов, то допуск их номинальных значений, как правило, составляет 10% и более. В связи с этим лучше при расчете фильтра задавать значения емкостей конденсаторов и вычислять необходимые значения сопротивлений. Поэтому решим уравнения относительно сопротивлений:

Для того чтобы значение сопротивления R₂ было действительным, должно выполняться условие:

При выполнении этого условия в  процессе расчета фильтра не следует выбирать отношение C₂/C₁ много большим величины, стоящей справа.

Если заменить в схеме на рис.2.6 сопротивления на емкости и наоборот, то получится ФВЧ 2-го порядка с отрицательной обратной связью (рис.2.7). Чтобы записать выражение передаточной функции для фильтра верхних частот 2-го порядка, нужно в формуле (2.3) в соответствии с преобразованием частот вместо  p подставить 1/p . Тогда

причем полиномиальные коэффициенты знаменателя связаны  с подобными коэффициентами прототипа  следующим образом: a_1в= a₁/b₁, b_1в=1/b₁.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По аналогии с ФНЧ 2-го порядка, можно получить коэффициенты передаточной функции для фильтра верхних частот:

                     ,                        .

Активный  фильтр может быть также построен на основе операционного усилителя с положительной обратной связью. На рис.2.8 представлен фильтр нижних частот второго порядка с положительной обратной связью. Отрицательная обратная связь, сформированная в этой схеме с помощью делителя напряжения R₃, (a-1)R₃, обеспечивает коэффициент усиления, равный a, который имеет строго определенное значение. Селективные свойства положительной обратной связи обусловлены наличием конденсатора C₂. Передаточная функция фильтра описывается следующим выражением:

 

Расчеты можно упростить, положив R₁=R₂ =R  и C₁=C₂ =C. Тогда передаточная функция фильтра будет иметь вид:

 

Отсюда с учетом формулы (2.3) получим:

где Q_i – добротность полюсов звеньев фильтра. Она определяется по аналогии с  добротностью избирательных фильтров:

   Из выше приведенных соотношений видно, что коэффициент a определяется задаваемым типом фильтра и не зависит от частоты среза. Таким образом, выбрав значения коэффициентов a₁, и b₁ для конкретного типа фильтра, необходимо обеспечить и соответствующий коэффициент усиления a. Существенным недостатком рассматриваемой схемы фильтра нижних частот с положительной обратной связью является необходимость тщательной настройки коэффициента усиления, так как усилитель может переходить в режим самовозбуждения при значениях a, близких к 3. Положительным моментом является