Логиккалық элементтер

	Кіріспе
1.	Логикалық айнымалылар және функциялар
2	Буль алгебрасының негізгі  функциялары
2.1	Кері айналдыру логикалық  функциясы
2.2	Конъюнкция функциясы
2.3	Шеффер функциясы
2.4	Пирс функциясы
3	Логикалық элеменнтердың  қолданылуы
3.1	Логикалық функцияны ықшамдау
3.2	Карно картасы
	Қорытынды
	Пайдаланылған әдебиет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Логикалық айнымалылар және функциялар

 

Цифрлық құрылым оның кірісіндегі  дабылдың жұмьақ сандарынан (Х₁, Х₂, ...Х_n) логикалық амалдарды қолдану арқылы дабылдың кажетті(шығысындағы) жұмбақ сандарын (Ү₁,Ү₂,...Ү_m) алуға мүмкіндік береді. Қолдануға қажетті логикалық амалдардың жиынтығын-логикалық функцияларды математикалық логика заңдылықтарына сүйеніп анықтайды. Цифрлық электроника құрылымының күйін, жұмыс істеу барысын сипаттау үшін Буль алгебрасының «логикалық айнымалы», «логикалық функция» деген ұғымдарын пайдаланады. Логикалық айнымалылар ретінде төмендегідей қосалқы тұжырымдар қолданылады: «шын»-«өтірік», не «ақиқат»-«жалған», не «иә»-«жоқ», не «І»-«0». Логикалық айнымалылардың «1»-«0» мәндері көбірек пайдаланылады. Логикалық айнымалылар шаппа, айырғыш-қосқыш тағы сол сияқты нысандардың күйлерін өте дәл сипаттайды.

Сонымен, цифрлық электроникада логикалық айнымалылар екі логикалық тұжырымдарға сәйкесті «1» және «0» мәндерін қабылдайды.

Логикалық функция логикалық  айнымалыларға қолданылатын логикалық амалдарды анықтайды. Логикалық фукциялар Ү₁,Ү₂,...Ү_m логикалық айнымалылардың мәндерінің комбинацияларына және оларға қолданылатын логикалық амалдар жиынтығына байланысты не «логикалық ақиқат»-«1», не «логикалық жалған»-«0» тұжырымдарын тағайындайды, қабылдайды.

Әрқайсысы тек «0» немесе «1» мәндерін қабылдайтын саны К-ға теі логикалық айнымалылардың әртүрлі  комбинацияларының саны 2^к-ға тең. Мысалы, логикалық айнымалылардың саны К=2 болғанда,олар арқылы құрылатын комбинациялардың саны 2²=4ке тең: х₁х₂=00, 01,10,11. Логикалық айнымалылардың әр комбинациясына және олардың араларындағы қолданылатын логикалық амалдарға байланысты логикалық функция не «логикалық ақиқат» - «1», не «логикалық жалған» - «0» тұжырымдарын тағайындайды.

Саны К-ға тең логикалық  айнымалыларға тәуелді логикалық  функцияларды үш логикалық амалдарды: «логикалық жоққа шығару» (-), «логикалық қосу» (+;v), логикалық көбейту»( ·;^;&) пайдаланып құрастыруға болады.Логикалық тұжырымдардың өзара тепе-тендігін (=) белгісі арқылы көрсетеді.

Төменде 1-кестеде «логикалық жоққа шығару», «логикалық қосу», «логикалық көбейту» амалдарын х₁ және х₂ логикалық айнымалыларына қолдану арқылы логикалық «жоққа шығару» – «инверсия», «логикалық қосу»– «дизъюнкция», «логикалық көбейту» – «конъюнкция» логикалық функцияларын құрастыру мысалдары көрсетілген.

Бұл кестеніҮ₁= ,Ү₁= ,Ү= х₁ vх₂,Ү= х₁ х₂логикалық функцияларының ақиқат кестесі дейді. Сонымен, ақиқат кесте логикалық функциялардың логикалық айнымаларының мәндерін және оларға қолданылатын логикалық амалдарымен анықталатын логикалық тұжырымдарды тағайындайды.

 

 

Кесте 1

Логикалық айнымалылар		Логикалық «жоққа шығару»  –«инверсия» функциясы		«Логикалық қосу»– «дизъюнкция» функциясы	«логикалық көбейту»–  «конъюнкция» функциясы
х1 0 0 1 1	х2 0 1 0 1	Ү1= х1 1 0 1 0	Ү2= х2 0 1 1 1	Ү= х1vх2 0 1 1 1	Ү= х1v х2 0 0 0 1

 

Сонымен, логикалық функцияларды екі әдіспен Буль алгебрасының өрнектері   Ү₁= ,Ү₁= ,Ү= х₁ vх₂,Ү= х₁v х₂ арқылы (аналитикалық өрнек әдісі), не кестеге толтырылған мәндер (ақиқат кестесі) арқылы беруге болатындығын көреміз.

Логикалық айнымалы, әсіресе, логикалық функция ұғымдарын  тереңірек түсіну үшін мына төмендегі  өмірден алынған мысалдарды қарастырайық.

 

2.Буль алгебрасының негізгі функциялары

 

Буль алгебрасының негізінде  «және»–«конъюнкция», «немесе» – «или»  – «дизъюнкция», «инверсия» («жоққа шығару», не «емес», не «кері айналдыру») функциялары жатады. Осы функцияларды жеке-жеке қарастырайық,

2.1 Кері айналдыру  логикалық функциясы

«Жоққа шығару»-«инверсия» логикалық функциясы логикалық  ұжырымды жоққа шығарып, кері тұжырымға айналдырады. «Инверсия» функцияссының әсерінен «иа» тұжырымы «жоқ» тұжырымына, яғни логикалық «1» логикалық «0»-ге айналдырады және керісінше, логиклық «0» логикалық «1»-ге айналады.

«Инверсия» функциясын  (Ү) логикалық айнымалының төбесінде  сызылған сызықпен көрсетеді:

 

Бұл функция былай оқылады: «игірік  емес», «игірік х₂ емес».

«Инверсия» функциясы  сызба бейнелерде мына таңбаларымен белгіленеді:

 

 

 

 

 

 

 

 

Буль алгебрасының пастулаттары

«Конъюнкция», «дизъюнкция», «инверсия» функцияларының ақиқат кестелерінен мынандай пастулаттар шығады.

«Конъюнкция»логикалықфункциясы  үшін

 

«Дизъюнкция» логикалықфункциясы үшін

 

«Инверсия» логикалықфункциясы үшін

 

қатынастары дұрыс болады.

Буль алгебрасының заңдары

Буль алгебрасының пастулаттарын  және толықтауыш функцияларының қасиеттерің  пайдаланып күрделі өрнектерді ықшамдауға болады. Ол үшін логикалық қосынды (х v=1), не логикалық көбейтінді (х v=0) ретінде топтау керек.

Күрделі теңдеулерді ықшамдауда қолданылатын теңдіктер

1	х+0=х	13
2	х+1=1	14	х1·х2= х1·х2
3	х+х=х	15	х1·(х2+х3) = х1х2+ х1х3
4	х+=1	16	х1(х1+х2) = х1
5	х1+х2 х2+ х1	17	х1(+ х2) =х1х2
6	х1+х2· х3=( х1+х2)( х1+х3)	18	(х1+х2) =х2
7	х1+ х1·х2=х1	19
8	х1+· х2= х1+х2	20	х1х2+ х1х2х1х2
9	+ х1·х2=+ х2	21	+
10	х·0=0	22
11	х·1=х	23	х2+х2
12	х·х=х	24	(х1+х2) (х1+)х1

 

Бұл теңдіктің дұрыстығына  теңдіктің екі жағындағы логикалық  функциялардың ақиқат кестелерін тікелей  құрастыру арқылы көз жеткізуге  болады.

Де Морган постулаттары

1-пастулат. Логикалық айнымалылардың  логикалық қосындыларының толықтауышы  айнымалылардың толықтауыштарының логикалық көбейтіндісіне тең:

 

 

2-постулат. Логикалық айнымалылардың  логикалық көбейтінділерінің толықтауышы  айнымалылардың толықтауыштарының  логикалық қосындысына тең:

 

Де Морган постулаттарының  қорытындыларының орындалатындығына«және»–«жоққа шығару»,«немесе»-«жоққа шығару» логикалық  функцияларының ақиқат кестелерін мұқият талдау арқылы көз жеткізуге болады.

х1	х2	х3
0	0	0	1	1
0	0	1	1	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	1
0	1	1	1	1
1	0	1	1	1
1	0	0	1	1
1	1	1	0	0

 

 

х1	х2	х3
0	0	0	1	1
0	0	1	0	0
0	1	0	0	0
1	0	0	0	0
0	1	1	0	0
1	0	1	0	0
1	1	0	0	0
1	1	1	0	0

 

Де Морган постулаттарының  тұжырымдарының дұрыстығын талдауға арналған логикалық функцияларының ақиқат кестелері

Логикалық функциясының ақиқат кестесінен оның аналитикалық өрнегіне көшу әдістері

Логикалық жобаларды құрастыру  үшін сәйкесті логикалық функциялардың  ақиқат кестелері пайдаланылады. Ал көп жағдайларда ақиқаткестелерінің орнына логикалықыункциялардың аналитикалық түрі қажет болуы мүмкін. Сондықтан  логикалық функцияның аналитикалық түрін  оның ақиқат кестесіне сүйеніп  табу жолдарын білу керек болады. Логикалық функцияның ақиқат кестесінен  оның аналитикалық өрнегіне көшу әдістерін қарастырайық.

Логикалық функция

х1	х2	х3	Y
0	0	0	0
1	0	0	0
0	1	0	1
0	0	1	0
1	0	1	1
0	1	1	0
1	1	1	0

 

ақиқат кестесімен берілсін. Бұл кесте арқылы функцияның аналитикалық түрін мына ретпен табамыз,

1. Функцияны «1»ге айналдыратын логикалықайнымалылар мәндерінің топтарын табамыз. Олар

 

2. Табылған топтардың «0» мәнін қабылдайтын логикалық айнымалыларға «жоққа шығару» логикалық амалын қолдану арқылы айнымалылардың жаңа топтарын

 

табамыз

3. Әр жаңа топтың айнымалыларын өзара логикалық көбейту арқылы

функцияларын табамыз 

 

Табылған кейінгі функцияларды логикалық қосу арқылы

 

 

дизъюнктив түрінде берілген функцияны құрастырамыз.

Логикалық функцияны  ықшамдау

Белгілі бір цифрлық құрылымның жұмысын сиппаттайтын логикалық  функция-логикалық теңдеу ұғымды болмауы  мүмкін. Сол себепті логикалық  функцияның тағайындайтын  логикалық  амалдарын іс жүзіне асыратын электрондық  жүйені жасау үшін өте көп болса, соғұрлым оның дабылды өңдеу уақыты да көп болады.

Сондықтан логикалық фунцияны, оған сәйкесті логикалық құрылымдағы  логикалық элементтердің саны аз болатындай жағдайға келтіріп ықшамдау маңызды мәселелердің біріне жатады.

Логикалық  функцияны  ықшамдаудың бірнеше жолы бар. Біз  алгебраның ауыстырылымдық, терімділік заңдарына сүйеніп топтау және Карно картасын пайдалану әдістерін қарастырамыз.

Логикалық функцияның құраушы  мүшелерін топтағанда,