Переходные процессы в линейных электрических цепях. Электрические фильтры

     2) Если корни попарно сопряжённые комплексные числа:

(1.4)

     где и – постоянные интегрирования; – корни характеристического уравнения;

     3) Если все корни характеристического  уравнения равные между собой действительные числа:

(1.5)

     где – постоянные интегрирования; – корни характеристического уравнения:

     Если  среди корней характеристического  уравнения имеются корни различного типа, то искомое решение будет определяться как сумма решений для каждого типа по отдельности.

     Если  в системе дифференциальных уравнений, составленных с помощью I и II законов Кирхгофа, токи и напряжения и их производные связаны только линейно, то корни характеристического уравнения являются одинаковыми для всех токов и напряжений в схеме. Для определения корней характеристического уравнения необязательно составлять дифференциальное уравнение относительно искомой величины. Для вычисления разработано несколько методов.

     

     Первый  метод основан на том факте, что  если система алгебраических уравнений  имеет хоть одно ненулевое решение  и только нулевые правые части, то главный определитель этой системы должен равняться нулю. Если в системе линейных дифференциальных уравнений, записанной с помощью I и II законов Кирхгофа, правые части всех уравнений заменить нулями, то получится переход к системе дифференциальных уравнений связывающие только свободные составляющие токов и напряжений. Тогда, если считать, что свободная составляющая хотя бы одного тока не равна нулю, то главный определитель этой системы должен равняться нулю. Записав все корни характеристического уравнения как одну переменную, не зависящую то времени, выражение (1.3) можно переписать в виде:

     

.

     Тогда:

(1.6)

 

(1.7)

     Такие же выражения можно получить и  для свободных составляющих (1.4) и (1.5).

     Подставив выражения (1.5) и (1.6) вместо производных  и интегралов в исходную систему, получаем систему алгебраических уравнений. Записав главный определитель системы и, приравняв его к нулю, имеем уравнение, которое имеет такие же корни, что и характеристическое.

     

     Метод главного определителя удобен, если в  схеме имеются только два независимых  контура. Если же число независимых контуров больше, этот метод становится громоздким. В этих случаях применяют метод входного сопротивления. С целью получения характеристического уравнения составляют выражение входного сопротивления пассивного двухполюсника на переменном токе [обозначим его ], заменяют в нём на р (получают ) и приравнивают нулю. Корни уравнения совпадают с корнями характеристического уравнения. Этот метод основан на том, что в схеме отсутствуют магнитно-связанные ветви.

     Постоянные  интегрирования определяются с помощью  начальных условий, то есть значений токов и напряжений в схеме  в момент . Начальные значения тока в ветви с индуктивность и напряжения на емкостном элементе называют независимыми начальными условиями. Согласно первому и второму законам коммутации они равны тем значениям, которые они имели непосредственно до коммутации. Начальные значения других токов и напряжений называют зависимыми начальными условиями. Их значения могут быть не равны тем значениям, которые они имели непосредственно до коммутации. Зависимые начальные условия можно найти, записав законы Кирхгофа для момента и выразив их через независимые начальные условия.

     2.Операторный метод расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях

     Операторный метод расчёта переходных процессов  в линейных электрических цепях  основан на том, что функции действительного  переменного (например, времени) , называемой оригиналом, соответствует другая функция комплексного переменного , называемая изображением.

     Это соответствие производится по формуле:

(1.8)

и обозначается: .

     Интеграл (1.8) называется интегралом Лапласа. В курсе математического анализа доказывается, что этот несобственный интеграл сходится только в том случае, когда модуль функции , если и увеличивается с ростом t, но всё же медленнее, чем модуль функции , равный , где – действительная часть комплексной переменной р. Все функции, характеризующие переходные процессы в линейных электрических цепях, удовлетворяют этому условию.

     Переход от изображения к оригиналу может  быть выполнен при помощи интеграла Бромвича:

(1.9)

     которое представляет собой решение интегрального  уравнения (1.8) относительно неизвестной функции и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (1.9) вычисляется по бесконечной прямой на комплексной плоскости , параллельной мнимой оси и расположенной правее всех полюсов функции . Интеграл (1.9) сложен для вычисления, поэтому для перехода от изображения к оригиналу пользуются таблицами оригиналов. Если полученное изображение является дробно-рациональной функцией, то можно также воспользоваться теоремой разложения, по которому:

(1.10)

     где – полюса функции ; – первая производная от по переменной p.

     Если  уравнение  имеет комплексно сопряжённые корни, то нет необходимости вычислять слагаемые суммы, стоящей в правой части равенства (1.10) для каждого из сопряжённых корней в отдельности. Достаточно вычислить слагаемое суммы (1.10) только для одного комплексного корня , а для другого корня взять сопряжённое этому слагаемому, то есть:

(1.11)

      Следует отметить что, при переходе от оригиналов к изображениям и обратно  выполняется свойство линейности: линейной комбинации оригиналов (изображений) соответствует такая же линейная комбинация изображений (оригиналов).

     Идея  операционного исчисления основана на том, что при его помощи можно  преобразовать интеграло-дифференциальные уравнения в алгебраические. Действительно:

(1.12)

 

(1.13)

     При расчёте переходных процессов в  линейных электрических цепях операторным  методом можно преобразовать  интеграло-дифференциальные уравнения, записанные с помощью I и II законов Кирхгофа, в алгебраические, и, решив эту систему, найти изображение искомой величины и получить окончательное решение, перейдя к оригиналу. Но для большей наглядности в операторном методе расчёта переходных процессов исходную схему цепи заменяют эквивалентной операторной. Рассмотрим, как преобразуются напряжения на пассивных элементах схемы замещения при переходе к изображениям токов.

     Рассмотрим  изображение напряжения на активном сопротивлении. Так как  , если является изображением тока в ветви с сопротивлением, то по свойству линейности, получим:

(1.14)

      Из выражения (1.14) видим, что при  преобразовании схемы на эквивалентный операторный, активные сопротивления в ней изменения не претерпевают.

     Рассмотрим  изображение напряжения на индуктивности. Так как, , если является изображением тока, протекающего через индуктивность, то согласно выражению (1.12) и свойству линейности изображение напряжения на индуктивности примет вид:

(1.15)

     Выражение (1.15) представляет собой одну из записей  закона Ома в операторной форме. Символически величину принято называть операторным индуктивным сопротивлением, а величину – внутренним ЭДС индуктивного элемента. Он возникает за счёт запасенной энергии магнитного поля внутри элемента, вследствие протекания тока через неё до коммутации. Как видно из выражения (1.15) внутренняя ЭДС индуктивного элемента направлена в ту же сторону, что и ток в ветви с индуктивностью. Отсюда в эквивалентной операторной схеме замещения индуктивный элемент можно заменить операторным индуктивным сопротивлением и направленным согласно с направлением тока источником ЭДС.

     Напряжение  на емкостном элементе можно выразить следующим образом:

      ;

     Тогда, если является изображением тока, который течёт через емкостной элемент, то согласно выражению (1.13) и свойству линейности изображение напряжения на емкости примет вид:

(1.16)

      Выражение (1.16) также является одной  из записей закона Ома в операторной  форме. Символично величина называется операторным емкостным сопротивлением, а величина – внутренним ЭДС емкостного элемента. Внутренняя ЭДС обусловлена запасом энергии в электрическом поле емкостного элемента вследствие наличия напряжения на нём до коммутации. Как видно из выражения (1.16) внутренняя ЭДС емкостного элемента будет направлена встречно току, протекающему через неё. Тогда емкостной элемент в эквивалентной операторной схеме замещения заменяется операторным емкостным сопротивлением и источником ЭДС, направленной встречно току, протекающему через этот емкостной элемент.

     Так как в эквивалентной операторной  схеме замещения все токи и  напряжения заменены их изображениями, то естественно ЭДС и токи соответствующих  источников тоже следует заменить их изображениями.

     

     Заменив исходную цепь эквивалентным операторным и, рассчитав её одним из известных способов, получаем изображение искомого тока (напряжения) и находим сам закон его изменения от времени, перейдя к оригиналу рассмотренными выше способами.

     Часть 2. Электрические фильтры

    Электрические фильтры - это четырехполюсники, содержащие индуктивные катушки, конденсаторы и резисторы и предназначенные для выполнения или подавления на нагрузочном устройстве напряжения заданного диапазона частот.

    Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания (с малым затуханием), называется полосой пропускания или полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с большим затуханием, называется полосой затухания или полосой задерживания. Качество фильтра считается тем выше, чем ярче выражены его фильтрующие свойства, т.е. чем сильнее возрастает затухание в полосе задерживания.

    В качестве пассивных фильтров обычно применяются четырехполюсники на основе катушек индуктивности и конденсаторов. Возможно также применение пассивных -фильтров, используемых при больших сопротивлениях нагрузки.

    Фильтры применяются как в радиотехнике и технике связи, где имеют место токи достаточно высоких частот, так и в силовой электронике и электротехнике.

    

    Для упрощения анализа будем считать, что фильтры составлены из идеальных катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. элементов соответственно с нулевыми активными сопротивлением и проводимостью. Это допущение достаточно корректно при высоких частотах, когда индуктивные сопротивления катушек много больше их активных сопротивлений ( \* MERGEFORMAT ), а емкостные проводимости конденсаторов много больше их активных проводимостей ( ).

    Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникающими в них резонансными режимами – резонансами токов и напряжений. 

    Классификация фильтров в зависимости от диапазона пропускаемых частот приведена в табл. 1.

 
 

    Таблица 1.   Классификация фильтров

Название фильтра	Диапазон пропускаемых частот
Низкочастотный фильтр (фильтр нижних частот)
Высокочастотный фильтр (фильтр верхних частот)
Полосовой фильтр (полосно-пропускающий фильтр)
Режекторный фильтр (полосно-задерживающий фильтр)	и     где