Переходные процессы в линейных электрических цепях. Электрические фильтры

 

    Фильтр нижних частот (ФНЧ) (рис 2.1) — один из видов аналоговых или электронных фильтров, эффективно пропускающий частотный спектр сигнала ниже некоторой частоты (частоты среза), и уменьшающий (подавляющий) частоты сигнала выше этой частоты. Степень подавления каждой частоты зависит от вида фильтра.

    Реализация фильтров нижних частот может быть разнообразной, включая электронные схемы, программные алгоритмы, акустические барьеры, механические системы и т. д.

    В отличие от ФВЧ, фильтр нижних частот пропускает частоты ниже частоты среза, подавляя высокие частоты.

 

    

    

    Рисунок 2.1 – Простейший LC-фильтр нижних частот

 

    Фильтр верхних частот (ФВЧ) — электронный или любой другой фильтр, пропускающий высокие частоты входного сигнала, при этом подавляя частоты сигнала меньше, чем частота среза. Степень подавления зависит от конкретного типа фильтра.

    Простейший электронный фильтр верхних частот состоит из одного резистора и конденсатора. Произведение сопротивления на ёмкость (R×C) является постоянной времени для такого фильтра, которая обратно пропорциональна частоте среза в герцах.

    

    Рисунок 2.2 – Схема простейшего высокочастотного фильтра

    Полосно-пропускающий фильтр — фильтр, который пропускает частоты, находящиеся в некоторой полосе частот (рис. 2.3).

    Полосовой фильтр — линейная система и может быть представлен в виде последовательности, состоящей из фильтра нижних частот и фильтра высоких частот.

    Идеальные полосовые фильтры характеризуются двумя характеристиками:

• нижняя частота среза ;
• верхняя частота среза .

    В свою очередь, реализация полосового фильтра характеризуется шестью характеристиками:

• нижняя граница частоты пропускания ;
• верхняя граница частоты пропускания ;
• нижняя граница частоты задержания ;

• верхняя граница частоты задержания ;

    Примером реализации такого фильтра может служить колебательный контур (цепь из последовательно соединенных резистора, конденсатора и индуктивности).

    

    Рисунок 2.3 – Электрическая принципиальная схема полосно-пропускающего фильтра

    

    

    Полосно-заграждающий фильтр (проф. жаргон — режекторный фильтр) — электронный или любой другой фильтр, не пропускающий колебания некоторой определённой полосы частот, и пропускающий колебания с частотами, выходящими за пределы этой полосы (рис 2.4). Эта полоса подавления характеризуется шириной BW и расположена приблизительно вокруг центральной частоты (рад/с), или (Гц).

    

    Рисунок 2.4 – Электрическая принципиальная схема полосно-заграждающего фильтра

    Для реальной амплитудно-частотной характеристики частоты и представляют собой нижнюю и верхнюю частоты среза. Заграждающий фильтр, предназначенный для подавления одной определённой частоты, называется узкополосным заграждающим фильтром или фильтром-пробкой

 

РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

     Часть 1. Переходные процессы в линейных электрических  цепях.

    Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. 1.1). В цепи действует постоянная ЭДС. Требуется определить закон изменения во времени тока после коммутации.

Дано: E=100В,L=1 мл Гн,C=10мкФ,R₁=10 Ом, R₂10 Ом, R₃=4 Ом.

Определить: i₁

 

Классический метод

Рисунок 1.1- Схема электрической цепи

 

     1. Составляем систему дифференциальных  уравнений по первому и второму  законам Кирхгофа после коммутации:

 

     2. Определяем независимые начальные  условия исходя из законов  коммутации до включения рубильника:

 

     3. Записываем искомую величину  в виде:

     4. Определяем  , рассчитав режим цепи постоянного тока после коммутации.

     

     5. Составляем характеристическое  уравнение методом входного сопротивления  и определим корни характеристического  уравнения.

 

 

     6. Свободные составляющие тока  и напряжения примет вид:

     7. Искомое решение примет вид:

     8. Определим коэффициенты интегрирования  для полученных решений и их  производных для начального момента  времени:

     Значение  i(0) можно определить из уравнения (3) пункта 2.

 

 

 

 

 

 

Зависимость i(t) представлена в приложении 1.

 

     Операторный метод

     Исходную  схему заменяем на эквивалентную  после коммутации (рис.1.2)

 

Рисунок 1.2 – Электрическая схема после коммутации

 

     Для полученной схемы определяем токи, используя либо метод контурных токов, либо метод узловых потенциалов.

     Воспользуемся законами Кирхгофа, зададимся обходами контуров:

     Из  уравнения (1) выразим ток I₂(p):

     Ток I₂(p) подставим в уравнение (2):

     Выразим ток I₃(p):

(*)

     Подставим в уравнение (3), умножив обе части уравнения на cp:

(**)

      Приравняем (*) и (**):

     Выразим ток I₁(p):

=

     Величины  i(0) и U_c(0) определяются из классического метода пункта 2.

     Подставим величины E, i(0), r₂, c,L,r и упростим ток I₁(p):

     Получили  изображение тока I₁(p), переход к оригиналу осуществим при помощи «Таблицы оригиналов и их изображений по Лапласу»:

 

 

Ответ :

 

Зависимость i(t) представлена в приложении 2

 

      Часть 2. Электрические фильтры

     Задача. Фильтр высокой частоты собран по Т-образной схеме. Емкость каждого конденсатора C, индуктивность катушки L. На входные зажимы фильтра подано напряжение U₁ при частоте f. На выходные зажимы подано сопротивление z_H, согласованное с фильтром при частоте f.

     Вычислить характеристическое сопротивление фильтра z_c и коэффициент передачи g=a+jb. Используя величины z_c и g, определить комплексы токов на входе и выходе фильтра. Рассчитать все остальные токи и напряжения в схеме и построить полную векторную диаграмму токов и напряжений.

     Решение.

     Определим сопротивления ВЧФ:

 Ом

 Ом

     Составим  Т-образную схему высокочастотного фильтра типа k (рис.2.1)

Рисунок 2.1 – Т-образная схема высокочастотного фильтра

 

     Для высокочастотного фильтра  и , постоянная ослабления типа k определяется по (4), т.е. при и :

, откуда

 Нп

     Постоянная  фаза b определится как cos b=-1 или b=±π.

     Таким образом, постоянная передачи

     

     Для Т-образного ВЧФ типа k характеристическое сопротивление при согласованной нагрузке может быть найдено, как и для любого симметричного четырехполюсника:

 Ом,

     При согласованной нагрузке Ом

     Определим комплексы токов на входе и  выходе фильтра (рис.2.2).

Рисунок 2.2 – Комплексы токов на входе и выходе фильтра

     Полное  сопротивление цепи:

 Ом

     В неразветвленной части цепи проходит ток:

А

     Ток I₃(p) в параллельной ветви определится как:

=

     По I закону Кирхгофа определим I₂:

Векторная диаграмма  токов и напряжений ВЧФ представлена в приложении 2

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     Часть 1. Переходные процессы в линейных электрических  цепях.

     1)Под переходным (динамическим, нестационарным) процессом или режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния (режима) в другое. При установившихся, или стационарных, режимах в цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях переменного тока они представляют собой периодические функции времени. Установившиеся режимы при заданных и неизменных параметрах цепи полностью определяются только источником энергии. Следовательно, источники постоянного напряжения (или тока) создают в цепи постоянный ток, а источники переменного напряжения (или тока) – переменный ток той же частоты, что и частота источника энергии.

     2)Для  расчёта переходных процессов  в линейных электрических цепях  используют классический и операторный методы.

     Для анализа переходного процесса предварительно следует привести схему к минимальному числу накопителей энергии, исключив параллельные и последовательные соединения однотипных реактивных элементов (индуктивностей или емкостей). Система интегро-дифференциальных уравнений, составленных в соответствии с законами Кирхгофа или методом контурных токов, может быть сведена путем подстановки к одному дифференциальному уравнению, которое используется для составления характеристического уравнения.