Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

A = {aij }i, j = 1…n

B = {bi }x = {xi }

Если эту систему удалось привести к виду x = Cx + D, то можно построить итерационную процедуру

xk = Cxk -1 + D

xk → x*, где х* - решение заданной системы.

В конечном варианте система будет имееть вид:

x1 =c11 x1 +c12 x2 +c13 x3 +…c1n xn +d1

x2 =c21 x1 +c22 x2 +c23 x3 +…c2n xn +d1

x3 =c31 x1 +c32 x2 +c33 x3 +…c1n xn +d3

…………………………………………. .

xn =cn1 x1 +cn2 x2 +cn3 x3 +…cnn xn +dn

Условием сходимости для матрицы С выполняется, если сумма модулей коэффициентов меньше единицы по строкам или по столбцам, т.е.

, или  .

Необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы А были ненулевыми.

Для преобразования системы можно выполнить следующие операции:

x1= a11 -1 (c1 -a12 x2 - a13 x3 -… - a1n xn )

x2= a22 -1 (c2 -a21 x2 - a23 x3 -… - a2n xn )

………………………. .

xn= ann -1 (cn -an1 x2 - an3 x3 -… - an-1n xn-1 )

В результате получим систему:

x1= 0+ c12 x2 + c13 x3 -…+ c1 n -1 xn -1 + c1 n xn +d1

x2= c21 x2 +0 +c23 x3 +…+ c2n-1 xn-1 + c2n xn +d2

………………………………………………………. .

xn= cn1 x1 + cn2 x2 +cn3 x3 +…+ cnn-1 xn-1 + 0+dn

В ней на главной диагонали матрицы С находятся нулевые элементы, остальные элементы выражаются по формулам:

сij =-aij /aii , di =ci /aii (i,j=1,2,3…n, i<>j)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х1 ( k ), х2 ( k ), х3 ( k ) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х1 ( k -1), х2 ( k -1), х3 ( k -1).

2.2.2 Решение  СЛАУ методом простых итераций

Решить СЛАУ методом простых итераций с точностью  .

Для удобства преобразуем систему к виду:

Условие сходимости:

,

Принимаем приближение на 0-ом шаге:

, 

, 

На 1-м шаге выполняем следующее:

Подставляем принятые приближения в первоначальную систему уравнений

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

:

На 2-м шаге выполняем следующее:

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса

: 

На 3-м шаге выполняем следующее:

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса

: 

На 4-м шаге выполняем следующее:

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса

: 

На 5-м шаге выполняем следующее:

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

: 

На 6-м шаге выполняем следующее:

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

: 

Необходимая точность достигнута на 6-й итерации. Таким образом, итерационный процесс можно прекратить [14].