Эконометрика

Вариант №14

Задание 1

Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить, эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная рекламная политика и на рекламу начало выделяться х_i денежных средств. При этом фиксировалось число продаж у_i . Предполагая, что для данного случая количество продаж Х пропорциональны расходам на рекламу Y, необходимо:

1. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения показателей X и Y.
2. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y=ax+b.
3. Найти парный коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятности p=0,95 проверить его значимость.
4. Сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн. руб.
5. Построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных.

Таблица 1

Xi	Yi
0	38,0
0,5	40,9
1	39,1
1,5	39,7
2	39,3
2,5	38,4
3	41,4
3,5	42,9
4	41,3
4,5	42,7

х_i – это расходы на рекламу, млн. руб.;

y_i – это количество продаж, тыс. ед.

С помощью  табличного процессора Excel находим:

 

Таблица 2

x		y
Среднее	2,25	Среднее	40,37
Стандартная ошибка	0,478714	Стандартная ошибка	0,545089
Медиана	2,25	Медиана	40,3
Мода	#Н/Д	Мода	#Н/Д
Стандартное отклонение	1,513825	Стандартное отклонение	1,723723
Дисперсия выборки	2,291667	Дисперсия выборки	2,971222
Эксцесс	-1,2	Эксцесс	-1,29541
Асимметричность	0	Асимметричность	0,172418
Интервал	4,5	Интервал	4,9
Минимум	0	Минимум	38
Максимум	4,5	Максимум	42,9
Сумма	22,5	Сумма	403,7
Счет	10	Счет	10
Наибольший(1)	4,5	Наибольший(1)	42,9
Наименьший(1)	0	Наименьший(1)	38
Уровень надежности(95,0%)	1,082925	Уровень надежности(95,0%)	1,233077

По данным таблицы 2 находим, что:

1. выборочное среднее величины x_i равно  2,25 млн. руб.;
2. «исправленное» среднее квадратическое отклонение величины x_i равно 1,514млн. руб.;
3. «исправленная» выборочная дисперсия величины x_i равна 2,29;
4. выборочное среднее величины y_i равно 36,63 тыс. ед.;
5. «исправленное» среднее квадратическое отклонение величины y_i равно 1,72 тыс. ед.;
6. «исправленная» выборочная дисперсия величины y_i равна 2,97.

Результаты  регрессионного анализа представлены в таблице 3 и на рис.1

Таблица 3

Регрессионная статистика
Множественный R	0,727067801
R-квадрат	0,528627587
Нормированный R-квадрат	0,469706035
Стандартная ошибка	1,255237512
Наблюдения	10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	14,13603	14,13603	8,971719	0,017195
Остаток	8	12,60497	1,575621
Итого	9	26,741
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%
Y-пересечение	38,50727273	0,737771	52,1941	2,01E-11	36,80597	40,20857	36,80597
x	0,827878788	0,276394	2,995283	0,017195	0,190513	1,465245	0,190513
ВЫВОД ОСТАТКА					ВЫВОД ВЕРОЯТНОСТИ
Наблюдение	Предсказанное y	Остатки	Стандартные остатки		Персентиль	y
1	38,50727273	-0,50727	-0,42864		5	38
2	38,92121212	1,978788	1,672051		15	38,4
3	39,33515152	-0,23515	-0,1987		25	39,1
4	39,74909091	-0,04909	-0,04148		35	39,3
5	40,1630303	-0,86303	-0,72925		45	39,7
6	40,5769697	-2,17697	-1,83951		55	40,9
7	40,99090909	0,409091	0,345677		65	41,3
8	41,40484848	1,495152	1,263385		75	41,4
9	41,81878788	-0,51879	-0,43837		85	42,7
10	42,23272727	0,467273	0,39484		95	42,9

 

 

Рис. 1. Результаты регрессионного анализа: график остатков, график подбора, график нормального  распределения.

По данным таблицы 3 находим, что:

1. линейное уравнение парной регрессии будет определяться по формуле  ỹ = 0,83 x_i + 38,5;
2. для коэффициента регрессии а = 0,83 величина t – критерия равна 2,99, а его уровень значимости составляет 0,017, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;
3. для коэффициента регрессии b = 38,5 величина t – критерия равна 52,2, а его уровень значимости составляет 2,01Е-11, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;
4. для построения уравнения регрессии величина F – критерия равна 8,971, а уровень значимости нулевой гипотезы составляет 0,017, что означает значимость полученного уравнения регрессии на указанном уровне.
5. Линейный коэффициент парной корреляции равен 0,727; так как коэффициент корреляции положителен и близок к единице, то между показателями x_i и y_i существует очень тесная прямая связь;
6. Прогнозное значение количества продаж определим по регрессионному уравнению y = 0,83 x_i + 38,5, подставив в него планируемую величину расходов на рекламу 5 млн. руб.:

y_пр = 0,83·5+38,5≈42,65 (тыс ед)

Задание 2

Имеются данные о доли расходов на товары длительного  пользования y_i от среднемесячного дохода семьи x_i . Предполагается, что эта зависимость носит нелинейный характер ỹ = a / x + b. Необходимо:

1. Найти уравнение нелинейной гиперболической регрессии ỹ= a / x + b.
2. Найти парный коэффициент корреляции и с доверительной вероятностью p = 0,95 проверить его значимость.

Таблица 4

y	x	X
24,7	2	0,5
21,5	2,5	0,4
22,1	3	0,333333
21,9	3,5	0,285714
20,3	4	0,25
19,1	4,5	0,222222
20,6	5	0,2
20,2	5,5	0,181818
18,7	6	0,166667
20,3	6,5	0,153846

y_i - это процент расходов на товары длительного пользования;

x_i – это доход семьи, тыс.руб. на 1 чел.

Произведем  линеаризацию модели путем замены х = 1/х_i.

С помощью  табличного процессора Excel находим:

Результаты  соответствующих показателей для  каждого признака представлены в  таблице 5.

Таблица 5

x		y
Среднее	4,25	Среднее	20,94
Стандартная ошибка	0,478714	Стандартная ошибка	0,543691
Медиана	4,25	Медиана	20,45
Мода	#Н/Д	Мода	20,3
Стандартное отклонение	1,513825	Стандартное отклонение	1,719302
Дисперсия выборки	2,291667	Дисперсия выборки	2,956
Эксцесс	-1,2	Эксцесс	1,653312
Асимметричность	0	Асимметричность	1,020459
Интервал	4,5	Интервал	6
Минимум	2	Минимум	18,7
Максимум	6,5	Максимум	24,7
Сумма	42,5	Сумма	209,4
Счет	10	Счет	10
Наибольший(1)	6,5	Наибольший(1)	24,7
Наименьший(1)	2	Наименьший(1)	18,7
Уровень надежности(95,0%)	1,082925	Уровень надежности(95,0%)	1,229915

Результаты  регрессионного анализа представлены в таблице 6 и на рис. 2

Таблица 6

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R		0,787637
R-квадрат		0,620372
Нормированный R-квадрат		0,572918
Стандартная ошибка		1,12359
Наблюдения		10
Дисперсионный анализ
		df		SS		MS		F		Значимость F
Регрессия		1		16,50436		16,50436		13,07323		0,006825
Остаток		8		10,09964		1,262455
Итого		9		26,604
		Коэффициенты		Стандартная ошибка		t-статистика		P-Значение		Нижние 95%		Верхние 95%		Нижние 95,0%		Верхние 95,0%
Y-пересечение		24,74182		1,109887		22,29219		1,73E-08		22,18241		27,30122		22,18241		27,30122
x		-0,89455		0,247406		-3,61569		0,006825		-1,46507		-0,32403		-1,46507		-0,32403
ВЫВОД ОСТАТКА										ВЫВОД ВЕРОЯТНОСТИ
Наблюдение		Предсказанное y		Остатки		Стандартные остатки				Персентиль		y
1		22,95273		1,747273		1,649412				5		18,7
2		22,50545		-1,00545		-0,94914				15		19,1
3		22,05818		0,041818		0,039476				25		20,2
4		21,61091		0,289091		0,2729				35		20,3
5		21,16364		-0,86364		-0,81527				45		20,3
6		20,71636		-1,61636		-1,52583				55		20,6
7		20,26909		0,330909		0,312376				65		21,5
8		19,82182		0,378182		0,357001				75		21,9
9		19,37455		-0,67455		-0,63677				85		22,1
10		18,92727		1,372727		1,295844				95		24,7