Экономико-математические методы и модели

От степени  структуризации проблем зависят  метод решения и факт их разрешимости. Если проблемы хорошо структурированы, то это означает наличие единого критерия оптимальности и возможности его количественного измерения, взаимозаменяемость переменных в плане многовариантности использования материальных средств, ограниченное число способов достижения цели. Если проблемы слабо структурированы, то в их постановке характерна многозначность цели. Ограниченное множество альтернатив, ограниченность ресурсов, времени расчетов и человеческих знаний затрудняют поиск решения и проведение всего комплекса обоснований и расчетов.

Для решения  стандартных проблем характерны четкость цели, возможность заранее выработать процедуры и правила ведения расчетов.

В заключение надо сказать, что существуют предпосылки  использования методов экономико-математического моделирования. Важнейшими из них являются, во-первых, высокий уровень знания экономической теории, экономических процессов и явлений, методологии их качественного анализа; во-вторых, высокий уровень математической подготовки, владение экономико-математическими методами.

Прежде  чем приступить к разработке моделей, необходимо тщательно проанализировать ситуацию, выявить цели и взаимосвязи, проблемы, требующие решения, и исходные данные для их решения, ввести систему обозначений, и только тогда описать ситуацию в виде математических соотношений.

 

3.Задача распределения  средств между предприятиями

 

Для увеличения объёмов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции, изготавливаемой 4 предприятиями города, выделены средства в размере 100 млн. руб. Использование i-ым предприятием x млн. руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением f_i(x).

Найти распределение  средств между предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпуска продукции.

 

Таблица 1

Объем выделенных ресурсов, x	Дополнительный  доход предприятия в зависимости  от объема выделенных средств, fi(x)
	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)
0	0	0	0	0
20	9	12	6	7
40	20	20	11	19
60	42	31	20	29
80	45	39	40	35
100	59	47	62	51

 

Рассмотрим  обратную схему Беллмана. Рекуррентные соотношения имеют вид:

 

Распределение ресурсов будем производить с  точностью 20 единиц.

Согласно  обратной схеме Беллмана начинаем с  определения условно оптимальных  капиталовложений, выделяемых для последнего четвертого (n-ого) предприятия. Для этого находим значения  для каждого x, принимающего значения 0, 20, 40, 60, 80, 100.

Показатель  эффективности 4-ого шага (4-ого предприятия), равный суммарному показателю эффективности  на всех шагах определяется как  .

Далее аналогично находим  - объединённый показатель эффективности деятельности 2 предприятий.

 

Произведем  вычисления значений функции  и представим их  в таблице 2.

 

 

Таблица 2.

Объем выделенных ресурсов, x	Показатели эффективности  предприятий в  зависимости от объема выделенных средств,  Z i(x)
	Z4(x)	Z 3(x)	Z 2(x)	Z 1(x)
0	0	0	0	0
20	7	7	12	12
40	19	19	20	20
60	29	29	31	31
80	35	40	41	41
100	51	62	62	62

 

Объединённый  показатель эффективности деятельности 3 предприятий - . Произведем вычисления значений функции и представим их  в таблице 2.

 

 

 

Объединённый  показатель эффективности деятельности 4 предприятий - . Произведем вычисления значений функции и представим их  в таблице 2.

 

 

 

Из таблицы 2 находим оптимальный план распределения  выделенных средств. В результате вычислений получили, что максимальное значение функции цели составляет

Чтобы найти  оптимальную стратегию управления, т.е. определить решение задачи- оптимальное  распределение средств между  предприятиями , необходимо снова пройти всю последовательность шагов – от последнего к первому.

 

 

Таким образом, в результате решения задачи распределения  средств между предприятиями  получили, что для обеспечения  максимальной эффективности деятельности (прибыли) всех предприятий, равной 62 у.е., первому, второму и третьему предприятиям согласно оптимальному распределению следует не выделять ресурсов, а четвертому предприятию необходимо выделить 100 единиц ресурса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Задача замены оборудования

 

Оборудование  эксплуатируется в течение 5 лет, после чего продается. В начале каждого  года принимается решение сохранить  оборудование или заменить его новым. Известны первоначальная стоимость  нового оборудования p(t)= p₀ =const, затраты на содержание оборудования r(t) и ликвидная стоимость оборудования j(t). Необходимо определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты на эксплуатацию в течение 5 лет.

 

Данные  о затратах на содержание оборудования и ликвидной стоимости приведены  в таблице 3.

 

Таблица 3.

t	0	1	2	3	4	5
r(t)	600	800	1200	1500	1900	-
j(t)	-	8000	7000	5000	3000	1000
р(t)	10000	10000	10000	10000	10000	10000

 

 

Необходимо  определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Проведем  на размеченном графе условную оптимизацию.

 

5 шаг. В состояниях (5,t) оборудование продается, условный оптимальный доход от продажи равен ликвидной стоимости j(t), но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5,t) ставим величину дохода со знаком «-».

 

4 шаг. 

 

Состояние (4,1).

 

 

 

Таким образом, если система к последнему шагу находилась в точке (4,1), то следует идти в  точку (5,1) (укажем это направление  пунктирной линией), т.к. затраты в  этом случае будут минимальными (10000+600-8000=2600<800).

 

Состояние (4,2).

 

 

Состояние (4,3).

 

 

 

Состояние (4,4).

 

 

 

3 шаг. 

 

Состояние (3,1).

 

 

 

 

В данном случае, находясь в точке (3,1), оптимально  идти как в точку (4,2), так и в  точку (4,1) (в обоих случаях затраты  будут одинаковыми (-3600), возникает  альтернативность решения).

 

Состояние (3,2).

 

 

 

 

 

Состояние (3,3).

 

 

 

2 шаг. 

 

Состояние (2,1).

 

 

 

 

 

 

Состояние (2,2).

 

 

 

 

 

 

1 шаг. 

Состояние (1,1).

 

 

В данном случае, находясь в точке (1,1), оптимально  идти как в точку (2,1), так и в  точку (2,2) (в обоих случаях затраты будут одинаковыми (2600), возникает альтернативность решения).

После проведения условной оптимизации в точке (0,0) получим минимальные затраты  на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет с последующей продажей: руб.

 

Строим  оптимальные траектории, перемещаясь  из точки (0,0) по пунктирным линиям в  конечное состояние  .

Получаем  следующие наборы точек, соответствующие  управлениям:

 

 

 

 

Согласно  первой стратегии эксплуатации оборудования следует заменить в начале 3-его  и 5-ого годов, согласно второй –  в начале 2-ого и 4-ого годов, согласно третьей - в начале 3-его и 4-ого  годов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Характерной особенностью научно-технического прогресса в развитых странах является возрастание роли экономической науки. Экономика выдвигается на первый план именно потому, что она в решающей степени определяет эффективность и приоритетность направлений научно-технического прогресса, открывает широкие пути реализации экономически выгодных достижений.

Применение  математики в экономической науке  дало толчок в развитии, как самой экономической науки, так и прикладной математики в части методов экономико-математического моделирования. Пословица говорит: "Семь раз отмерь - один отрежь". Использование моделей и есть своеобразный математический способ "примерить" вырабатываемое решение, позволяющий экономить время, силы, материальные средства. Кроме того, расчеты по моделям противостоят "волевым" решениям, поскольку позволяют заранее оценить последствия каждого решения, отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные.

На всех уровнях управления, во всех отраслях используются методы экономико-математического моделирования. Выделим условно следующие направления их практического применения, по которым получен уже большой экономический эффект.

Первое направление — прогнозирование и перспективное планирование. Прогнозируются темпы и пропорции развития экономики, на их основе определяются темпы и факторы роста национального дохода, его распределение на потребление и накопление и т.д. Важным моментом является использование экономико-математических методов не только при составлении планов, но и в деле оперативного руководства по их реализации.

Второе направление - разработка моделей, которые используются как инструмент согласования и оптимизации плановых решений, в частности это межотраслевые и межрегиональные балансы производства и распределения продукции. По экономическому содержанию и характеру информации выделяют балансы стоимостные и натурально-продуктовые, каждый из которых может быть отчетным и плановым.

Третье направление — использование экономико-математических моделей на отраслевом уровне (выполнение расчетов оптимальных планов отрасли, анализ с помощью производственных функций, прогнозирование основных производственных пропорций развития отрасли). Для решения задачи размещения и специализации предприятия, оптимального прикрепления к поставщикам или потребителям и др. используются модели оптимизации двух типов: в одних для заданного объема производства продукции требуется найти вариант реализации плана с наименьшими затратами, в других требуется определить масштабы производства и структуру продукции с целью получения максимального эффекта. В продолжение расчетов осуществляется переход от статических моделей к динамическим и от моделирования отдельных, отраслей к оптимизации многоотраслевых комплексов. Если раньше были попытки создать единую модель отрасли, то теперь наиболее перспективным считается использование комплексов моделей, взаимоувязанных как по вертикали, так и по горизонтали.