Экономико-математические методы и модели

Матрица прямых затрат

                

                  

    

   

 

 

Вектор готовой продукции

 

           

 

Система уравнений межотраслевого баланса

 

 

 

Экономическое истолкование : Выпускаемая каждым экономическим объектом продукция частично потребляется другими объектами системы в качестве сырья, полуфабрикатов и т.п. (внутрипроизводственное потребление), а часть идет на личное и производственное потребление вне данной экономической системы (внепроизводственное потребление в виде конечного продукта)

 

Найдем валовые выпуски  отраслей Х1 ,Х2 и Х3

Для этого найдем разность  единичной матрицы и матрицы А

 

         

Найдем определитель этой матрицы 

Запишем матрицу в виде:

 

Главный определитель

∆ = 1 • (1 • 1-(-0.1 • (-0.1)))-(-0.3 • (-0.2 • 1-(-0.1 • (-0.1))))+(-0.2 • (-0.2 • (-0.1)-1 • (-0.1))) = 0.903

Транспонированная матрица

 

Алгебраические дополнения

 

∆_1,1 = (1 • 1-(-0.1 • (-0.1))) = 0.99

 

∆_1,2 = -(-0.2 • 1-(-0.1 • (-0.1))) = 0.21

 

∆_1,3 = (-0.2 • (-0.1)-(-0.1 • 1)) = 0.12

 

∆_2,1 = -(-0.3 • 1-(-0.1 • (-0.2))) = 0.32

 

∆_2,2 = (1 • 1-(-0.1 • (-0.2))) = 0.98

 

∆_2,3 = -(1 • (-0.1)-(-0.1 • (-0.3))) = 0.13

 

∆_3,1 = (-0.3 • (-0.1)-1 • (-0.2)) = 0.23

 

∆_3,2 = -(1 • (-0.1)-(-0.2 • (-0.2))) = 0.14

 

∆_3,3 = (1 • 1-(-0.2 • (-0.3))) = 0.94

Обратная матрица

 

 

 

 

 

=

(1.1•200)+(0.23•100)+(0.13•200)

(0.35•200)+(1.09•100)+(0.14•200)

(0.25•200)+(0.16•100)+(1.04•200)

 

 

 

Таким образом, чтобы удовлетворить  конечный спрос,  валовой выпуск первой отрасли  должен составитьвторой отрасли единиц

третьей отрасли единиц

Найдем коэффициенты полных затрат

 

 

 стоимость  части  валового продукта , которая необходима,для выпуска ею единицы конечного продукта

 

 

 

Игроки	B1	B2	B3	a = min(Ai)
A1	4	4	3	3
A2	2	6	4	2
A3	0	6	5	0
b = max(Bi)	4	6	5

 

Находим гарантированный  выигрыш, определяемый нижней ценой  игры a = max(ai) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 4.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 3 <= y <= 4. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

С позиции проигрышей игрока В стратегия B2 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 2 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 2-ой столбец матрицы. Вероятность q2 = 0.4 3

2	4
0	5

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:

1. В декартовой системе  координат по оси абсцисс откладывается  отрезок, длина которого равна  1. Левый конец отрезка (точка  х = 0) соответствует стратегии  B1, правый - стратегии B2 (x = 1). Промежуточные  точки х соответствуют вероятностям  некоторых смешанных стратегий  S1 = (p1,p2).

2. На левой оси ординат  откладываются выигрыши стратегии  B1. На линии, параллельной оси  ординат, из точки 1 откладываются  выигрыши стратегии B2.

Решение игры (m x 2) проводим с позиции игрока B, придерживающегося  максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Максиминной оптимальной стратегии игрока B соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A1A1 и A2A2, для которых можно записать следующую систему уравнений:

y = 4 + (3 - 4)q2

y = 2 + (4 - 2)q2

Откуда

q1 = 1/3

q2 = 2/3

Цена игры, y = 31/3

Теперь можно найти  минимаксную стратегию игрока A, записав соответствующую систему  уравнений, исключив стратегию A3, которая  дает явно больший проигрыш игроку A, и, следовательно, p3 = 0.

4p1+2p2 = y

3p1+4p2 = y

p1+p2 = 1

или

4p1+2p2 = 31/3

3p1+4p2 = 31/3

p1+p2 = 1

Решая эту систему методом  Гаусса, находим:

p1 = 2/3              p2 = 1/3

 

Решение: все вычисления будем заносить в таблицу.

Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера , затем с номера 1 и т.д.

Во второй графе поставим число, характеризующее количество непосредственно предшествующих работ (КПР) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа.

Так, для работы (7,8) в графу 1 поставим число 3, т.к. на номер 7 оканчиваются 3 работы: (1,7),(4,7),(6,7).

Далее заполняем графы 4 и 5. Для работ, имеющих цифру 0 в  графе 2, в графу 4 также заносятся  нули, а их значения в графе 5 получаются в результате суммирования граф 3 и 4.

Для заполнения следующих  строк графы 4, т.е. строк начиная  с номера 2, просматриваются заполненные  строки графы 5, содержащие работы, которые  оканчиваются на этот номер, и максимальное значение переносится в графу 4 обрабатываемых строк.

Этот процесс повторяется  до тех пор, пока не будет заполнена  последняя строка таблицы.

Заполнение графы 4.

Графы 6 и 7 заполняются обратным ходом, т.е. снизу вверх. Для этого  просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и из графы 5 выбирается максимальная величина, которая записывается в графу 7 по всем строчкам, оканчивающимся на номер  последнего события (т.к. t_р(i)= t_п(i)).

Процесс повторяется до тех  пор, пока не будут заполнены все  строчки по графам 6 и 7.

Заполнение графы 7.

Содержимое графы 8 равно  разности граф 6 и 4 или граф 7 и 5.

Работа (i,j)	Количество предшествующих работ	Продолжительность tij	Ранние сроки: начало tijР.Н.	Ранние сроки: окончание tijР.О.	Поздние сроки: начало tijП.Н.	Поздние сроки:окончание tijП.О.	Резервы времени: полный tijП	Резервы времени: свободный tijС.В.	Резервы времени: событий Rj
(0,1)	0	5	0	5	1	6	1	0	1
(0,2)	0	2	0	2	0	2	0	0	0
(1,7)	1	8	5	13	6	14	1	1	0
(2,4)	1	3	2	5	9	12	7	0	7
(2,5)	1	5	2	7	2	7	0	0	0
(4,7)	1	2	5	7	12	14	7	7	0
(5,6)	1	4	7	11	7	11	0	0	0
(6,7)	1	3	11	14	11	14	0	0	0
(7,8)	3	1	14	15	14	15	0	0	0

 

Примечание.

а) графы 1 и 3 заполняются  на основе исходных данных.

б) в графе 2 записывается количество предшествующих работ по сетевому графику или определяется из графы 1 по числу работ, имеющих  второй цифрой в коде ту, с которой  начинается данная работа.

г) в графе 4 раннее начало работ, выходящих из исходного события, а раннее окончание этих работ  равно их продолжительности (гр. 5). Раннее начало последующих работ определяется путем выбора максимального из сроков раннего окончания предшествующих работ. Количество сравниваемых сроков равно количеству предшествующих работ  графы 2. Раннее начало последующих  работ можно определить после  того, как найдено раннее окончание  предшествующих. В свою очередь раннее окончание каждой работы находится  как сумма величин раннего  начала и продолжительности данной работы;

г) продолжительность критического пути определяется после заполнения граф 4 и 5 как максимальная величина из сроков раннего окончания работ, которые ведут к завершающему событию 9;

д) найденная величина критического пути Т_KP дням заносится в графу 7 для всех работ, ведущих к завершающему событию. Затем заполнение ведется снизу вверх. Находятся все работы, следующие за рассматриваемой, и определяются разности между поздним окончанием этих работ и их продолжительностями. Минимальная из величин заносится в графу 7;

е) в графе 6 позднее начало работы определяется как разность позднего окончания этих работ и их продолжительности (из значений графы 7 вычитаются данные графы 3);

ж) в графе 8 полный резерв времени работы определяется разностью  между значениями граф 7 и 5. Если он равен нулю, то работа является критической;

з) в графе 10 резерв времени  событий j определяется как разность позднего окончания работы, заканчивающегося событием j графы 7, и ранним началом  работы, начинающимся событием j;

и) значение свободного резерва  времени работы определяется как  разность значений графы 10 и данных графы 8 и указывает на расположение резервов, необходимых для оптимизации.

Критический путь: (0,2)(2,5)(5,6)(6,7)(7,8)

Продолжительность критического пути: 15

 

 

 

 

Работа (i,j)	Количество предшествующих работ	Продолжительность tij	Ранние сроки: начало tijР.Н.	Ранние сроки: окончание tijР.О.	Поздние сроки: начало tijП.Н.	Поздние сроки:окончание tijП.О.	Резервы времени: полный tijП	Резервы времени: свободный tijС.В.	Резервы времени: событий Rj
(1,2)	0	18	0	18	1	19	1	0	1
(1,3)	0	10	0	10	10	20	10	0	10
(1,4)	0	15	0	15	0	15	0	0	0
(2,5)	1	8	18	26	23	31	5	5	0
(2,6)	1	14	18	32	19	33	1	0	1
(2,7)	1	12	18	30	31	43	13	12	1
(3,5)	1	11	10	21	20	31	10	10	0
(3,7)	1	20	10	30	23	43	13	12	1
(4,5)	1	16	15	31	15	31	0	0	0
(4,6)	1	12	15	27	21	33	6	5	1
(4,7)	1	15	15	30	28	43	13	12	1
(5,7)	3	11	31	42	32	43	1	0	1
(5,8)	3	20	31	51	31	51	0	0	0
(6,7)	2	10	32	42	33	43	1	0	1
(6,8)	2	17	32	49	34	51	2	2	0
(7,9)	5	20	42	62	43	63	1	1	0
(8,9)	2	12	51	63	51	63	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

 

а) графы 1 и 3 заполняются  на основе исходных данных.

б) в графе 2 записывается количество предшествующих работ по сетевому графику или определяется из графы 1 по числу работ, имеющих  второй цифрой в коде ту, с которой  начинается данная работа.

г) в графе 4 раннее начало работ, выходящих из исходного события, а раннее окончание этих работ  равно их продолжительности (гр. 5). Раннее начало последующих работ определяется путем выбора максимального из сроков раннего окончания предшествующих работ. Количество сравниваемых сроков равно количеству предшествующих работ  графы 2. Раннее начало последующих  работ можно определить после  того, как найдено раннее окончание  предшествующих. В свою очередь раннее окончание каждой работы находится  как сумма величин раннего  начала и продолжительности данной работы;

г) продолжительность критического пути определяется после заполнения граф 4 и 5 как максимальная величина из сроков раннего окончания работ, которые ведут к завершающему событию 9;

д) найденная величина критического пути Т_KP дням заносится в графу 7 для всех работ, ведущих к завершающему событию. Затем заполнение ведется снизу вверх. Находятся все работы, следующие за рассматриваемой, и определяются разности между поздним окончанием этих работ и их продолжительностями. Минимальная из величин заносится в графу 7;

е) в графе 6 позднее начало работы определяется как разность позднего окончания этих работ и их продолжительности (из значений графы 7 вычитаются данные графы 3);

ж) в графе 8 полный резерв времени работы определяется разностью  между значениями граф 7 и 5. Если он равен нулю, то работа является критической;

з) в графе 10 резерв времени  событий j определяется как разность позднего окончания работы, заканчивающегося событием j графы 7, и ранним началом  работы, начинающимся событием j;

и) значение свободного резерва  времени работы определяется как  разность значений графы 10 и данных графы 8 и указывает на расположение резервов, необходимых для оптимизации.

Критический путь: (1,4)(4,5)(5,8)(8,9)

Продолжительность критического пути: 63

Решение задачи 4 методом  Динамическое программирование

Задача разбивается на шаги искусственным образом. В качестве 
шага выбирается некоторое подмножество городов, на которое разбивается всё множество в соответствии с заданной сетью транспортной магистрали. Сеть, изображенную на рисунке удобно разбить на четыре части. Процесс решения задачи разбивается на четыре шага.

2. В качестве параметра,  характеризующего состояние управляемой 
системы, перед каждым шагом выберем номер города, из которого 
нужно выехать, обозначим его S .