Экономико-математические методы и прикладные модели

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И  ИНФОРМАТИКИ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТЧЁТ

о результатах выполнения Лабораторной работы по дисциплине

Экономико-математические методы и прикладные модели

Вариант 9

 

 

 

 

 

 

 

  Исполнитель:

                                                                 

     специальность                  

     группа                    

     № зачетной  книжки         

                        Преподаватель:

 

 

 

 

 

 

 

 

Уфа 2007 год

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

1. Задача об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

 

Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1,01; 1,01 и 9,45 т молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машиночаса. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 ч. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 т молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машиночасов, а автоматы по расфасовке сметаны — в течение 16,25 ч. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока.

Требуется определить объемы выпуска  молочной продукции, позволяющие получить наибольшую прибыль. К чему приведет задание по выпуску кефира в объеме не менее 10 т?

 

Решение:

 

Сформулируем экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через Х₁, Х₂ и Х₃ объемы выпуска молока, кефира и сметаны.

 

Целевая функция:

F(Х) =30X₁+22X₂+136Х₃ àmax

 

Ресурсные ограничения:

1,01X₁+0,01X₂+9,45Х₃≤136  (ограничение по сырью)

0,18X₁+0,19X₂≤21,4   (ограничение по рабочему времени)

3,25Х₃≤16,25  

Х₁≥100     (ограничение по производству молока)

Х₂≥10     (ограничение по производству кефира)

Х₁, Х₂, Х₃≥0     (прямое ограничение)

 

1. В нашей задаче оптимальные значения (Х₁,Х₂,Х₃) будут помещены в ячейках В2:D2, оптимальное значение целевой функции – в ячейке E4.
2. Введем исходные данные задачи:

 

 

3. Введем зависимость  для целевой функции:

• Поместим курсор в ячейку E4;
• Выберем на панели инструментов Мастер функцийà àМатематическиеàСУММПРОИЗВ;
• В строку Массив 1 введем $В$2:$D$2;
• В строку Массив 2 введем В3:D3.

 

 

4. Введем зависимости для ограничений:

• Скопируем ячейку E4;
• Вставим в ячейки E7:E9;

 

 

5. Запустим команду Поиск решения:

• В строке меню выберем СервисàПоиск решения;
• В поле Установить целевую ячейку введем $E$4;
• Введем направление целевой функции: Максимальному значению;
• В поле Изменяя ячейки введем адреса искомых переменных: $В$2:$D$2;
• В диалоговом окне Добавление ограничений введем ограничения по ресурсам.

 

 

6. Введем параметры  для решения задачи линейного программирования:

• В диалоговом окне Поиск решения выберем Параметры;
• Установим флажки в окнах Линейная модель и Неотрицательные значения;

 

 

7. После выполнения  всех вышеуказанных действий  на экране появится окно Результаты поиска решения.

• В окне Тип отчета выберем интересующий вид отчета;
• ОК.

 

Полученное решение означает, что максимальный доход 3895 руб. завод может получить при выпуске 100 т молока, 17,89 т кефира и 3,68 т сметаны. При этом сырье будет использоваться полностью,  из 21,4 часов рабочего времени будет использовано только 24, а из 16,25 часов рабочего времени автоматов по расфасовке сметаны – 12.

Введение ограничения по выпуску кефира в объеме не менее 10 т не повлияет на полученное решение, так как его выпуск уже превышает 10 т. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Задача о назначениях

 

Администрация деревоперерабатывающего предприятия «Смена» приняла на работу пять человек. Каждый из них имеет различные способности и навыки и затрачивает различное время на выполнение определенной работы. В настоящее время необходимо выполнить пять видов работ. Время выполнения работы каждым работником приведено в таблице.

 

Время вы-            полне-                ния,                                           Работник      ч.	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4	Работа 5
Р1	25	16	15	14	13
Р2	25	17	18	23	15
Р3	30	15	20	19	14
Р4	27	20	22	25	12 .
Р5	29	19	17	32	10

 

1. Требуется назначить на каждый вид работы одного из работников. Как это следует сделать, чтобы общее время, необходимое для завершения всех видов работ, было минимальным?
2. Предприятие «Смена» может принять на работу еще одного рабочего по совместительству, который выполняет каждую работу в течение следующего времени.

 

Время  вы-            полне-                ния,                                           Работник      ч.	Работа 1	Работа 2	Работа 3	Работа 4	Работа 5
Р6	28	16	19	16	15

 

Требуется определить, каким  образом данная мера повлияет на назначение рабочих и минимизацию общего времени выполнения работ.

 

Решение:

 

Сформулируем  экономико-математическую модель задачи.

Имеем следующие обозначения:

х_{ij -} назначение i-го работника на j-ю должность;

с_ij - время, которое затрачивают рабочие на выполнение каждой операции;

n – количество рабочих;

m – количество работ;

Целевая функция:

 

Ресурсные ограничения:

(условие назначения работника только на одну должность)

(условие заполнения вакантной  должности)

 

 

 

 

 

F(X)=25x₁₁+16x₁₂+15x₁₃+14x₁₄+13x₁₅+25x₂₁+17x₂₂+18x₂₃+23x₂₄+15x₂₅+30x₃₁+ +15x₃₂+20x₃₃+19x₃₄+14x₃₅+27+20x₄₂+22x₄₃+25x₄₄+12x₄₅+29+19x₅₂+17x₅₃+32x₅₄+10x₅₅→min

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄+x₁₅=1   x₁₁+x₂₁+x₃₁+x₄₁+x₅₁=1

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄+x₂₅=1   x₁₂+x₂₂+x₃₂+x₄₂+x₅₂=1

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄+x₃₅=1   x₁₃+x₂₃+x₃₃+x₄₃+x₅₃=1

x₄₁+x₄₂+x₄₃+x₄₄+x₅₄=1   x₁₄+x₂₄+x₃₄+x₄₄+x₅₄=1

x₅₁+x₅₂+x₅₃+x₅₄+x₅₅=1   x₁₅+x₂₅+x₃₅+x₄₅+x₅₅=1

 

1. Создадим форму для решения задачи – матрицу назначения по должностям. Для этого выполним резервирование изменяемые ячейки: в блок B2:F6 введем 1.
2. Введем условие назначения работника только на одну работу:

• Поместим курсов в ячейку B7;

• На панели инструментов выберем знак « »;
• Выделим необходимые для суммирования ячейки B2:B6;
• ENTER;
• Аналогичные действия выполним для ячеек C7:F7.

3. Введем условие заполнения вакантной должности:

• Поместим курсов в ячейку A2;
• На панели инструментов выберем знак « »;
• Выделим необходимые для суммирования ячейки B2:F2;
• ENTER;
• Аналогичные действия выполним для ячеек A3:A6.

4. Введем исходные  данные 

В конкретном примере осуществляется ввод условной мощности работника (в ячейки A9:A13 вводится «1»), потребности в заполнении вакантной должности («1» - в ячейки B14:F14).

 

 

 

5. Введем зависимость для целевой функции:

• Поместим курсор в ячейку B16;
• Выберем на панели инструментов Мастер функцийà àМатематическиеàСУММПРОИЗВ;
• В строку Массив 1 введем B9:F13;
• В строку Массив 2 введем B2:F6;
• OK.

В поле ячейки B16 появится некоторое числовое значение, равное произведению «1» на производительность каждого работника на каждой операции.

 

6. Введем зависимости  из математической модели:

• СервисàПоиск решения;
• В поле Установить целевую ячейку введем $B$16;
• Введем направление целевой функции: Минимальному значению;
• В поле Изменяя ячейки введем блок ячеек: $B$2: $F$6;
• В диалоговом окне Добавление ограничений введем ограничения по ресурсам.

 

7. Введем параметры  для решения задачи линейного программирования.

• В диалоговом окне Поиск решения выберем Параметры;
• Установим флажки в окнах Линейная модель и Неотрицательные значения;
• OK;
• Выполнить.

8. После выполнения всех вышеуказанных действий на экране появится окно Результаты поиска решения;

• В окне Тип отчета выберем интересующий вид отчета;
• ОК.

 

Получим схему распределения работников по работам:

 

 

Полученное решение дает минимальное время, необходимое для завершения всех видов работ - 83 ед. и план назначения рабочих.

 

Добавление шестого рабочего приведет к уменьшению общего времени, на 2 ед. и изменению плана назначения.

 

3. Транспортная задача

 

Необходимо решить транспортную задачу – минимизировать расходы  на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие  затраты на доставку одной единицы продукции, объем заказа и количество продукции, хранящиеся на каждом складе.

Таблица тарифов на перевозку  продукции и объемов запасов  на складе и заказов:

 

Магазин   Склад	«Булочная»	«Хлеб»	«Сла-дости»	«Сдоба»	«Сладко-ежка»	Запасы на складе (ед. продукции)
«Крекер»	2,5	4	1	3	1,5	40
«Славянка»	3,5	2	3	1,6	4	55
«Сластена»	0	1	2,5	2	1	25
Объем заказа (ед. продукции)	20	50	40	30	50

 

Сформулируем экономико-математическую модель задачи.

Имеем следующие обозначения:

х_ij – объем поставки продукции от склада i к магазину j;

с_ij – затраты на перевозку продукции;

а_i – объем продукции на складе;

b_j – объем заказа

n –  количество магазинов

m – количество складов

 

 

Целевая функция:

 

F(X)=2,5x₁₁+4х₁₂+x₁₃+3x₁₄+1,5х₁₅+3,5x₂₁+2x₂₂+3x₂₃+1,6x₂₄+4х₂₅+x₃₂+2,5x₃₃+2x₃₄+х₃₅àmin

 

Ограничения:

(условие реализации  мощностей поставщиков)

 

 

(условие удовлетворения запросов  потребителей)

(прямое ограничение)

 

x₁₁+х₁₂+x₁₃+x₁₄+х₁₅ =40   x₁₁+x₁₂+x₃₁=20

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄+х₂₅=55   x₁₂+x₂₂+x₃₂=50

х₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄+х₃₅=25   x₁₃+x₂₃+x₃₃=40

x₁₄+x₂₄+x₃₄=30

х₁₅+х₂₅+х₃₅=50

 

1. Создадим форму для решения задачи – матрицу назначения по должностям. Для этого выполним резервирование изменяемые ячейки: в блок B1:F3 введем 1.