Экономико-математическое моделирование фирмы

.

      Для их построения из функции полезности необходимо выразить соответствующие значения объема проданных товаров каждой из фирм. Получим:

 

      Составим таблицу для построения кривых безразличия для уровней полезностей равных 66,3; 75 и 80 условным единицам. Беря произвольные значения количества проданных товаров одной из фирм, получим то необходимое количество товаров другой фирмы, которое в совокупности с товарами первой фирмы обеспечит необходимый уровень полезности.

      Расчетные данные представлены в таблице:

1000	299,79323	845,8801	1661,24
2000	230,538653	650,4331	1277,376
3000	197,847678	558,1742	1096,176
4000	177,541376	500,8667	983,6223
5000	163,251504	460,5385	904,4164
6000	152,44088	430,0292	844,4952
7000	143,864982	405,8267	796,9607
8000	136,829562	385,9717	757,9648
9000	130,911594	369,2703	725,1627
10000	125,836102	354,9465	697,0302
11000	121,415277	342,4703	672,5265

Таблица 23. Данные для построения кривых безразличия

Рисунок 16. Кривые безразличия

      Вид зависимости значения  от объема потребления i–го блага при постоянных объемах потребления других благ характеризует предельная полезность i–го блага:

. 

      Предельная полезность представляет собой прирост полезности набора благ при увеличении объема потребления i–го блага на единицу.

      Составим таблицу, отражающую зависимость предельной полезности от общего количества соответствующего блага, при фиксированном значении другого блага:

 

16	3	11	8
17	1,5	12	4
18	1	13	2,666667
19	0,75	14	2
20	0,6	15	1,6
21	0,5	16	1,333333
22	0,428571	17	1,142857
23	0,375	18	1
24	0,333333	19	0,888889
25	0,3	20	0,8

Таблица 24. Предельные полезности

Рисунок 17. Предельные полезности товара А

      При увеличении объема потребления, предельная полезность падает.

      Количественной характеристикой интенсивности эффекта замены (а значит и формы кривых безразличия) служит предельная норма замены:

. 

.

      Так как предельная норма замены показывает, на сколько единиц можно сократить потребление блага , чтобы при единичном увеличении потребления блага полезность набора благ не изменилась, то можно сделать следующий вывод: во сколько раз предельная полезность блага-заменителя превышает предельную полезность замещаемого блага, во столько же раз сокращение объема его потребления превзойдет прирост потребления блага-заменителя.

      Фиксируя значение ресурса заменителя, найдем значения соответствующих предельных норм замены. Это величина определяющая количество данного одного товара, от которого потребитель готов отказаться ради увеличения другого товара на единицу. При этом происходит замещение одного товара другим, а интенсивность замещения как раз показывает предельная норма замещения.

 

3.3. Задача потребительского выбора

      Решим задачу потребительского  выбора, при ограниченной сумме  расходов потребителей I=4 000 000 и ценах услуг, установленных фирмами исходя из их средних издержек в 5-й год, увеличенных на уровень рентабельности фирм.

      Рассчитаем значения цены на услуги фирм А и В:

	629,85
	5285,0523

 

      Условие задачи  потребительского выбора состоит  в следующем:

Решив данную систему, получили значение оптимального объема:

1742,999	559,134

 

      Графически задача потребительского выбора может быть решена путем построения бюджетной линии и кривой безразличия, таким образом, чтобы кривая безразличия касалась бюджетной линии. Соответствующая этой кривой безразличия полезность U будет максимально возможной полезностью при данном доходе I, а сочетание х_А и х_В – искомый набор благ.

      Данные графическое решение и данные для его построения (бюджетной линии и кривой безразличия) представлены ниже.

0	255,1051
1000	214,9356
2000	174,7661
3000	134,5966
4000	94,42715
5000	54,25767
6000	14,08818
6350	0,028859

Таблица 25. Данные для построения бюджетной линии

1000	845,8801
2000	650,4331
3000	558,1742
4000	500,8667
5000	460,5385
6000	430,0292
7000	405,8267
8000	385,9717
9000	369,2703
10000	354,9465
11000	342,4703

Таблица 26. Данные для построения кривой безразличия

Рисунок 18. Решение задачи потребительского выбора

      Найденные графически  оптимальные объемы совпадают с объемами, найденными аналитически.

      Сравним найденные оптимальные объемы потребления с их объемами производства (табл.1). Оптимальные объемы для фирмы А сначала превышает, но в последствии становится меньше объема производства. Это свидетельствует о том, что вначале спрос на услуги, предоставляемые фирмой А превышает объем их производства, но позже фирма А осуществляет перевыпуск продукции. Оптимальный объем для фирмы В меньше объема производства на протяжении всех периодов. Это говорит о том, что фирма В осуществляет перевыпуск продукции.

3.4. Функции потребительского спроса

Для нахождения функций потребительского спроса на товары и , определить отношение предельных полезностей товаров к их ценам.

Найдем предельную полезность денег, т.е. сколько единиц полезности приносит потребителю 1 потраченный рубль на данный товар:

 

Предельная полезность денег равна 

Выразим функции потребительского спроса в виде зависимостей p_i(Q_i) из закона спроса Маршалла, принимая при этом объем другого товара, равным его оптимальному объему:

, .

_{Кривая спроса для логарифмической функции}

 

 

По полученным выражениям составим таблицу для построения графиков функций потребительского спроса.

Qa	Qb	pa	pb
1328,1	5365,6	577,3569	2793,782
1616,9	6017,3	287,5344	2318,777
1831,6	6543,6	191,4367	2073,282
2012,1	7011	143,4829	1909,958
2173,6	7442,3	114,7409	1791,249

Таблица 27. Данные для построения функций спроса на услуги фирм А и B

Функции спроса на услуги фирм изображены на рисунках ниже.

Рисунок19. Функция спроса на услугу фирмы А

Рисунок 20. Функция спроса на услугу фирмы B

Можно сделать вывод о том, что при увеличении объемов предоставляемых услуг спрос на них снижается.

 

Глава 4. Выбор оптимальной программы  выпуска продукции корпорации на различных типах потребительского рынка.

     4.1. Определение равновесной цены на совершенно конкурентном рынке товара.

Определим равновесную цену на совершенно конкурентном рынке услуги, производимой фирмой В – это можно осуществить графическим способом, используя полученную в п. 3.4 кривую спроса и учитывая, что кривая рыночного предложения имеет вид p=c*Q+d.

Подставляя в функцию предложения  заданные условием коэффициенты, получим:

p=0,04*Q+10.

Данные для построения кривой предложения  представлены ниже.

pb	ps
279,3782	224,624
231,8777	250,692
207,3282	271,744
190,9958	290,44
179,1249	307,692

Таблица 28. Данные для построения функции предложения

Графически равновесие спроса и  предложения изображено на рисунке 43.

Рисунок 21. График равновесия спроса и предложения на услугу, производимую фирмой В

Таким образом, получим следующее  значение равновесной цены при равновесном объеме.

4.2. Графический анализ динамики долгосрочного состояния фирмы А.

      Проведем графический анализ динамики долгосрочного состояния фирмы А построив графики выручки, долгосрочных издержек по функции издержек, определенной в п. 2.2, и прибыли.

      Выручка фирмы А представляет собой прибыль от продаж товаров, без учета издержек на их производство и равна:

.

      _{Прибыль определяется по формуле:}

_{П=R – C.}

      Данные для построения функций выручки, издержек и прибыли представлены ниже.

0	0	247000	-247000
100000	62985000	34574924	28410075,8
200000	125970000	89709472	36260528,3
300000	188955000	1,57E+08	32039601,5
400000	251940000	2,33E+08	18543631,2
500000	314925000	3,18E+08	-2683464,1
600000	377910000	4,09E+08	-30632652
700000	440895000	5,05E+08	-64581294
800000	503880000	6,08E+08	-103980753
900000	566865000	7,15E+08	-148397186
1000000	629850000	8,27E+08	-197477044