Контрольная работа по "Економіко-математичні методи та моделі: Економетрика"

Побудувати довірчі зони регресії попиту і пропозиції. Зробити висновки.

 

 

Розв’язок

Припустимо, , що між попит і ціною існує стохастична залежність, яку можна описати квадратичною функцією у1=а0+а2х^2+а1*х. За допомогою ЛИНЕЙН знаходимо параметри регресії.

а2	а1	а01
8,14	-330,22	4155,82
2,96	73,24	430,93
0,97	86,65	#Н/Д
127,70	8,00	#Н/Д
1917620,40	60066,33	#Н/Д

 

Модель має вигляд y = 8,14x2 - 330,22x + 4155,82

Оцінимо отримані параметри. Оскільки t_i(i=1;3)>t_крит, параметри регресії є статистично значимими.

Застосувавши критерій Фішера дійдемо  висновку, що з вірогідністю 95% модель є адекватною статистичним даним та її можна застосовувати для прогнозування та економічного аналізу.

Оскільки t_i(i=1;3)>t_крит, параметри регресії є статистично значимими.

Припустимо, , що між пропозицією і ціною існує стохастична залежність, яку можна описати квадратичною функцією у1=а0+а1*х.

Застосувавши ЛИНЕЙН отримаємо, що модель має вигляд  у=425,61+85,18х. Оцінивши параметри моделі за критерієм Стьюдента робимо висновок, що параметри регресії є статистично значимими.

Саму ж модель з вірогідністю 95,% можна вважати адекватною статистичним даним та її можна застосовувати для прогнозування та економічного аналізу. Даний висновок ми робимо завдяки перевірки моделі за критерієм Фішера.

На наступному етапі розрахуємо рівноважну ціну. Використаємо графічний  та аналітичний методи та порівняємо результати. Також застосуємо підбір параметрів.

Для графічного методу побудуємо діаграми розсіювання та лінії тренду.

Рис.3

Точка рівноваги – приблизно 12 грн., 1448 грн.

Розв’яжемо систему рівнянь

8*x^2-415x+3730=0

D=(-415*-415)-4*8*3730

D=52865

Х=12

 

Далі використаємо сервіс підбір параметра. В цільову ячейку введемо рівняння, отримане за аналітичним методом

Рис. 4.

 

Використавши сервіс отримаємо значення 12 грн.

Отже, використавши графічний, аналітичний  методи та сервіс «Підбір параметру» отримали рівноважну ціну 12 грн. При цьому в даній точці попит дорівнює пропозиції та становить 1448 грн. Варто зазначити, що серед зазначених методів найбільш точними є аналітичний та підбір параметру.

Будуємо довірчі зони регресії попиту та пропозиції. Для цього використаємо формулу:

rУ=t*S

 

Розрахуємо коефіцієнти еластичності в точці рівноваги за формулою .

Розрахувавши коефіцієнт еластичності в точці перетину для попиту і пропозиції визначили, що крива попиту є еластичною, оскільки значення більше одиниці, і навпаки крива пропозиції нееластичні, оскільки значення коефіцієнта еластичності менше одиниці.

Висновки

Досліджено залежність попиту та пропозиції від ціни.

Було встановлено, що між попитом  і ціною існує стохастична  залежність, яку можна описати  за допомогою моделі: y = 8,14x2 - 330,22x + 4155,82. в свою чергу між ціною і пропозицією існує лінійна залежність, що описується функцією у=425,61+85,18х.

Отримані моделі було перевірено на адекватність статичним даним. Також було оцінено статистичну значимість параметрів регресії.

На основі отриманих даних було розраховано точку рівноважної  ціни за допомогою графічного, аналітичного методів та сервіс «Підбір параметру».

Побудовано довірчі інтервали  для базисних даних. Розраховано  коефіцієнти еластичності в точці  рівноваги.

  

Індивідуальне завдання №2

Задача №2

Завдання

Виробнича фірма випускає продукцію  із застосуванням праці робітників і основних засобів виробництва.

І	х1 (основні засоби)	х2 (працезатрати)	у (осяг випущеної продукції)
1	77,00	93,00	242,00
2	87,00	103,00	262,00
3	97,00	113,00	282,00
4	107,00	123,00	303,00
5	117,00	133,00	322,00
6	127,00	143,00	343,00
7	137,00	153,00	365,00
8	147,00	163,00	383,00
9	157,00	173,00	404,00
10	167,00	183,00	424,00
11	177,00	193,00	444,00

 

Побудувати виробничу мультиплікативну регресію, оцінивши її параметри.

Перевірити адекватність побудованої  моделі вихідним даним. Зробити економічний  аналіз параметрів виробничої функції. Визначити прогнозне значення випуску  при Х1=163, Х2 = 203.

Побудувати інтервал довіри прогнозу з надійністю 0,95.

На основі побудованої регресії розв'язати задачу оптимального випуску  продукції: визначити, яка комбінація факторів виробництва є оптимальною, а також знайти максимальний об'єм випуску, якщо на витрати виробництва  існує обмеження в 160 тис. грн., вартість оренди одиниці фондів складає 4 тис. грн., вартість праці однієї людини - 6 тис. грн.

Побудувати ізокванту максимального  випуску та ізокосту. Знайти графічний  розв'язок задачі про комбінацію ресурсів і порівняти з аналітичним.

 

Розв’язок

Припустимо, що між обсягами випущеної продукції та затратами на працю та капітал існує залежність, яку можна описати за допомогою мультиплікативною функції:

Для побудови моделі зробимо заміну, використовуючи функцію LN. На основі отриманих значень будуємо модель. Використаємо функцію ЛИНЕЙН для знаходження параметрів регресії. Далі проведемо експонування (функція EXP) для отриманого значення А01

Отримаємо модель У=2,72Х^-0,86Х^1,82. проаналізуємо отриману модель.

Розрахований коефіцієнт детермінації R^2=0,9999, отже побудовану економію модель можна вважати адекватною і з її допомогою можна проводить економ. аналіз і прогнозування. При цьому достовірно 99,9% дисперсій економічного показників У.

Перевіримо адекватність побудованої  моделі статистичним даним за критерієм Фішера. Оскільки Fрасч=48569,53074>Fкрит=4,46  - модель адекватна статистичним даним з ймовірністю 95%.

За допомогою тесту Стьюдента  перевіряємо статистичну значимість параметрів. Провішивши розрахунки отримаємо:

• tа01=7,461>tкрит=2,31 параметр а0 статистично значимий  
• tа1=-5,230>tкрит=2,31 параметр а1 статистично не значимий  
• tа2=9,657>tкрит = параметр а2 статистично значимий.

Провівши розрахунок коефіцієнтів еластичності дійшли висновку, що  праця  є більш еластичною, виробництво екстенсивне.  

Розрахуємо  прогнозне значення випуску для  Х1=163, Х2=203. підставивши дані в отриману нами функцію одержимо, що Упрог=-130,6.  при цьому дане значення не є точним. З надійністю 95% можна сказати, що прогнозний випуск при заданих затратах праці та капіталу буде коливатися в межах від -130,63 тис.грн до -130,64 тис. грн.

Розглянемо задачі оптимального випуску  продукції. За заданими умовами будує  модель.

Цільова функції має вигляд У=2,72Х^-0,86Х^1,82. ЇЇ значення ми маємо намір максимізувати. При цьому в нас є обмеження на використання затрат – загальна сума не повинна перевищувати 160 тис. грн. Модель буде мати вигляд:

У=2,72Х^-0,86Х^1,82¦max;

Обмеження:

4x1+6x2<=160

X1>=0, X2>=0

Розв’яжемо задачу за допомогою  сервісу «Поиск решения».

Рис. 5

Отримаємо, що за умов використання капіталу на в кількості 18,62 од. та праці в кількості 12,08 ми отримаємо максимальний розмір випуску продукції у розмірі 65 тис. грн.

Побудуємо ізокосту та ізоквану для максимального випуску продукції.

Щоб побудувати ізокванту, необхідно виразити один з факторів виробничої регресії через інший фактор і стале значення показника регресії:

Якщо сталу  позначити через b, то отримаємо таку залежність . Рівняння ж ізокости має вигляд .

Рис. 6

Приблизно графічно можна встановити, що максимальний випуск досягається  за умови за умов використання капіталу на в кількості 18,6 од. та праці в кількості 12,08. По графіку можна сказати що ізокванта у мене  вийшла від’ємна, це пояснюється тим що а1 = -0,866.

Розрахуємо граничну норму заміщення. За нашими розрахунками 1 од. основних засобів замінюється 1,5 од. праці.

Висновки

Побудовано виробничу мультиплікативну регресію, оцінено її параметри. Перевірено адекватність моделі статистичним даним. Проведено економічних аналіз. Визначено прогнозне значення випуску при Х1=163, Х2=203.Побудовано інтервал довіри прогнозу з надійністю 0.95.

На основі побудованої регресії розв'язано задачу оптимального випуску продукції. Побудовано ізокосту та ізокванту максимального випуску, встановлено норму заміщення капіталу працею.