Контрольная работа по «Эконометрика»

 

2. Рассчитаем параметры модели.

 параметр модели b находим по формуле , где

, где  ; .

В результате получим .

Проделав все необходимые действия в Excel (см. приложение №1), получим следующее значение b:

 и подставим в уравнение , получим

3. Для характеристики модели определим:
1. Линейный коэффициент множественной корреляции.

= 0,890

Найдем коэффициенты корреляции  между  Y и X1; между Y и X2

 

;             

 

получим =-0,84   =-0,86

 

2. Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации рассчитывается по следующей формуле:

0,793 Коэффициент детерминации находится в интервале [0;1], чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем лучше качество подгонки.

Найдем коэффициент детерминации, скорректированный с учетом числа независимых переменных

    0,758 

 

3. Средние коэффициенты эластичности

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели рассчитываются по формулам:

                         [%]                                        [%]    

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько % изменился результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака остается неизменным.

                                                        

4. Бета-, дельта – коэффициенты.

Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели можно сделать на основе расчета частных - коэффициентов,  которые для двухфакторной модели задаются формулами:

                                                                          ,

Где Sx1, Sx2, Sy – среднеквадратические ошибки выборки величин x1, x2, и y соответственно.

 

                                 

 

                                                       .

Частные - коэффициенты показывают, на какую долю своего среднеквадратического отклонения изменится в среднем результативный признак при изменении одного из факторных признаков на величину его среднеквадратического отклонения и неизменном значении остальных факторов.

При изменении xj на Sxj y изменится на .

Дельта коэффициент позволяет оценить долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов.

                                                 

   

           .

4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии (F- критерий Фишера).

Для того, чтобы оценить надежность необходимо определить F – критерий Фишера, который вычисляется по следующей формуле:

   где k - количество факторов

         n -  количество наблюдений

F-статистика проверяется на основе табличного со степенями свободы n1=k, n2=n-k-1 получим Fтабл=3,89.

Т.к. Fрасч>Fтабл, то гипотезу о том, что уравнение несущественно отвергаем с вероятностью 95%.

5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.

Особо важным для многофакторного регрессионного уравнения является t-критерий, на основе которого собираются существующие факторы в уравнении регрессии. На основе стандартной ошибки для каждого коэффициента регрессии оценивается t-статистика

                        

где j=1,к;

Существенность влияния j-го фактора на результат, где j=1,к проверяется на основе нулевой гипотезы H0: bj=0, где j=1,2. Если гипотеза верна, то t-статистика подчиняется  t-статистика подчиняется t-распределению, tтабл определяется для степени свободы n-k-1 с заданной вероятностью p.

Рассчитав tтабл и tрасч получим следующие значения:  

        tрасч1= 0,41               tрасч2=0,26               tтабл=2,18.

Так как tрасч1< tтабл, тогда фактор Х1 влияет на Y несущественно; а т.к. tрасч2< tтабл, тогда фактор Х2 влияет на Y несущественно.

6. Произвести проверку выполнения условий для получения «хороших» оценок  методом наименьших квадратов (МНК).

МНК дает «хорошие» оценки при соблюдении определенных условий относительно случайной компоненты (i= ) и независимых переменных Х1, Х2, …, Хк. Для получения  «хороших» оценок МНК и МРУ необходимы следующие условия:

1. Математическое ожидание случайной  компоненты равно 0:

2. Дисперсия должна быть постоянной:

3. Ковариация должна быть равна 0:

 Математическое ожидание случайной компоненты равно 0: .

Проверяем нулевую гипотезу о том, что среднее арифметическое значение уровня ряда остатков по модулю равно 0 ( ). С этой целью строится t-статистика.

,

где                 

- среднее квадратическое отклонение  для этой последовательности, рассчитывается  по формуле:

 

1.927

    2.4.2. Дисперсия должна быть постоянной (с помощью F-критерия Фишера)  ( ).

Одним из критериев выполнения этого условия является то, что величина F подчиняется  F распределению со степенями свободы , ; тогда         

   Fтаб. = = =4.28

Fрасч. вычисляется по следующей формуле:

получаем Fрасч. =0,86

  < , отвергаем  нулевую гипотезу о том, что дисперсия увеличивается с вероятностью 95%. Т.е. это говорит о том, что построенная линейная модель является не адекватной по данному признаку.

 

2.4.3. Отсутствие зависимости  между случайными компонентами ( ).

Выполнения этого условия можно проверить с помощью критерия Дарбина-Уотсона (D-W).  С этой целью строится статистика Дарбина-Уотсона (d- статистика), в основе которой лежит рассчитываемая формула:

    получаем dрасч.=0,01.  При сравнении расчетного значения с табличным могут возникнуть следующие ситуации:

1 – d2< dрасч.<2 – ряд остатков не коррелирован;

2 – dрасч.< d1 – остатки содержат положительную автокорреляцию;

3 – d1< dрасч.<d2  -  область неопределенности, когда нет оснований ни принимать, ни отвергать гипотезу о существовании автокорреляции

4 – dрасч.>2 – то такие значения следует преобразить по формуле:

и уже определить к какому интервалу относится.

Если относится ко второму случаю, то автокорреляция отрицательная. Если же ситуация оказалась не определенной (ситуация 3) применяют другой критерий в частности можно воспользоваться первым  коэффициентом  автокорреляции:         

     

Мы получили dрасч.=1,81 и  d1=0,95;  d2=1,54 d2< dрасч.<2 – ряд остатков не коррелирован.

 

7.Рассчитать и построить  точечные и интервальные прогнозы результирующего показателя при увеличении на Δ и на 2∆ .

 

∆        2∆ ∆ *2

    

 Вычислим сначала =1,740, = 3,480;  =2,157,

=4,314.

Затем  =134,47

            =136,21

           =173,21

           =175,37

           =237,08

          =240,10

        Доверительный интервал:

где  

где

     

tтаб.= = 2,16.     608,24             3,28

3,28=2,87

0,64

0,64=3,28

 

Для того, чтобы построить график точечные и интервальные прогнозы построим следующую таблицу (таб. №2):

Таблица №2 «Прогноз для многофакторной модели»

 

N	Y	X1	X2	Ŷ	точечныепрогнозы	нижняя граница	Верхняя граница
1	17,87	15,88	20,59	17,96
2	16,43	15,3	19,83	17,35
3	17,11	15,19	19,6	17,21
4	18,38	16,3	21,54	18,53
5	17,44	15,37	19,69	17,34
6	18,4	15,98	21,47	18,31
7	17,61	15,77	19,79	17,62
8	17,89	16	19,96	17,81
9	18,01	15,11	19,71	17,19
10	17,26	15,39	19,58	17,32
11	16,94	15,36	19,4	17,24
12	16,53	13,99	19,88	16,58
13	17,57	15,58	19,88	17,54
14	16,79	15	19,37	17,01
15	17,51	15,5	19,94	17,51
16	18,07	15,39	19,75	17,38
17		15,41	19,94		34,22	31,35	37,09
18		15,38	19,89		34,14	31,26	37,02

 

 

Изобразим интервальный прогноз на графике Рис.1.

 

 

 

 

                      
  

 

 

 

 

 

 

 

Приложение №1